Categoría:ED14/15

1 Interpretación Analítica

El trabajo propuesto nos plantea el cálculo de la desintegración de un material radiactivo a lo largo del tiempo, sabiendo que estos materiales se van desintegrando proporcionalmente a la cantidad restante. Por lo que analíticamente, un material radiactivo se desintegra en función de la siguiente ecuación diferencial:

[math]M'(t) = −kM(t)[/math]

Donde M(t) es la cantidad de material radiactivo restante respecto del tiempo y K es una constante de desintegración que variará dependiendo del material. Por lo que cuanto mas alta sea la constante de desintegración, mas alto será el valor absoluto de la velocidad, es decir, el material se desintegrará en menos tiempo.
Tomando M₀ como la cantidad inicial y se plantea el siguiente problema de valor inicial:

[math] P.V.I. \left\{\begin{matrix}\ M(t_{0}) = −kM(t)\\ M(t_{0})=M_{0}\end{matrix}\right. \Longrightarrow M'(t)=\frac{\operatorname dM(t)}{\operatorname dt}= -K·M(t) \Longrightarrow \frac{1}{M(t)}·\operatorname dM(t)= -k·\operatorname dt [/math]

Integrando e imponiendo la condición inicial se obtiene la siguiente solución:

[math]M(t)=M_{0}e^{-kt}[/math]

Como se puede observar, cuando el tiempo es cero aun quedará todo el material inicial y según transcurra el tiempo la cantidad de materia ira decreciendo exponencialmente.

2 Interpretación y Resolución Numérica

En este caso, el trabajo propuesto nos plantea concretamente el caso del [math]C^{14}[/math], informándonos que este tiene una constante de desistegración [math]K=1,24·10^{-4}[/math] y que los huesos encontrados por un arqueólogo contienen un 8% de [math]C^{14}[/math].
La cantidad inicial del material es indiferente para cualquier tipo de cálculos porcentuales o temporales como se demuestra a continuación:

[math] \left\{\begin{matrix}\ M(t_{0}) = −kM(t)\\ M(t^{0.08})=0.08·M_{0}\end{matrix}\right. \Longrightarrow 0.08M_{0}=M_{0}·e^{-kt^{0.08}} \Longrightarrow 0.08=e^{-kt^{0.08}} \Longrightarrow t^{0.08}=\frac{-Ln(0.08)}{K} [/math]

Pero para su resolución numérica con Octave (o Matlab), debemos elegir una cantidad inicial. Nosotros lo hemos planteado con un valor de 100 para que represente el porcentaje inicial de material en vez de la cantidad material, pero repito, seria indiferente este valor para los cálculos porcentuales y temporales.

2.1 Euler

%Variables del Problema
h=0.1; % o h=0.01 dependiendo de la gráfica
t0=0;
k=1.24*10^(-4);
m0=100;
tn=40000;
t=0:h:tn;
m=t;
solucion=1;
m(1)=m0;
N=(tn-t0)/h; %si quisiera el numero de subintervalos
  
%con linespace(t0,tn,n+1)
for i=1:N;
  m(i+1)=m(i)+h*(-k*m(i));
  
  if m(1+i)<=0.08*m(1) & length(solucion)==1
    solucion(2)=t(i+1)/h;
  end
  
end

hold on
  plot(t,m)
  anyosDeDesintegracion=solucion(2)
  plot(solucion(2)*h,m(solucion(2)),'+')
hold off

2.2 Trapecio

%Variables del problema
t(1)=0;
h=0.1;
tn=40000;
k=1.24*(10^(-4));
m(1)=100;
t=t(1):h:tn;
n=(tn-t(1))/h;

for i=1:n;
  m(i+1)=(m(i)*(1-k*h/2))/(1+h*k/2);
  if m(i+1)<8;
    tmaximo=(1+i)
    break
  end
end

t=0:h:(length(m)-1)*h;
plot(t,m,'r')