Categoría:TC22/23

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1 INTRODUCCIÓN

Con este proyecto buscamos analizar y visualizar tanto campos escalares como vectoriales (vistos durante en grado) en fluidos. En nuestro caso tendremos un fluido incompresible cuyo caudal fluctúa a través de un canal de paredes horizontales rectas y a su vez sometido a tres campos, dos escalares: presión y temperatura, y uno vectorial, velocidad.

La cinemática de los fluidos trata del movimiento de los mismos sin considerar las causas que lo forman. Se especializa en las trayectorias, velocidades y aceleraciones. A su vez, sabemos que un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo, y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición.

Para la realización del trabajo nos apoyamos el programa informático Matlab el cual nos ayudo a visualizar el comportamiento del fluido a través de gráficos.

2 SUPERFICIE DE TRABAJO

La superficie en la que nos vamos a basar va a ser [0,8]x[0,1] en {j,k}, por lo que trabajamos en el plano x=0, entonces definimos la y en [0,8] y la z en [0,1], aunque el eje z lo definimos como [-1,2]. Para obsérvalo vamos a recurrir a octave:

y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[yy,zz]=meshgrid(y,z);
figure(1);
mesh(yy,zz,0*yy);
grid on
axis([0,8,-1,2]);
view(2);

La superficie de trabajo es la que se muestra en la siguiente imagen:

Superficie de trabajo. Mallado

3 ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ESTACIONARIA

En dinámica de fluidos , las ecuaciones de Navier-Stokes son ecuaciones que describen el movimiento tridimensional de sustancias fluidas viscosas.

Se pueden usar para predecir el clima, las corrientes oceánicas, el flujo de agua en una tubería o en un reactor, el estudio del flujo sanguíneo y muchas otras cosas como el diseño de submarinos.

En este epígrafe, en concreto, trataremos de demostrar que el campo de velocidad y el campo de presión al que está sometido el fluido verifica la ecuación estacionaria de Navier-Stokes, esto supondría que el fluido es incompresible pues estas ecuaciones determinan el comportamiento de los fluidos newtonianos, esto es, un fluido cuya resistencia a deformaciones puede considerarse constante en el tiempo.

La ecuación estacionaria de Navier-Stokes es la siguiente:

Trabajando en componentes tenemos que:

[math](\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\vec{e_i} [/math] , [math]\Delta\vec {u}=u_i\vec{e_i}[/math], [math]\vec{u}=u_i\vec{e_i}[/math]

En nuestro caso, [math]\vec{u}(y,z)=f(z)\vec{j} [/math] es el campo vectorial velocidad , [math]\ p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)[/math] es el campo de presiones del fluido y [math]μ[/math] es la viscosidad del fluido.

Para la demostración, se trabajará en componentes respecto de la base cartesiana [math]\{\vec{j} {,} \vec{k} \}[/math].

El primer térmido de la ecuación será:

Susutituyendo, nuestro campo y operando tenemos:

Cálculamos ahora, el gradiente del campo de presiones, [math]\nabla p[/math], siendo [math]\ p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)[/math]

Por último, calculamos el Laplaciano,[math]\Delta\vec{u} [/math] , del campo de velocidades, [math]\vec{u}(y,z)=f(z)\vec{j} [/math]. Para calcularlo, utilizaremos la siguiente fórmula:

1. Cálculo de la divergergencia:

Así [math]\nabla(\nabla \cdot \vec{u})=0[/math]

De este resultado, que a priori, se puede interpretar como una casualidad, se deduce que el fluido es incompresible, pues la condición de incompresibilidad es [math]\nabla \cdot \vec{u}=0[/math]. Teniendo en cuenta que la divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo, ésta al ser nula, implica que el movimiento de las partículas no afecta al volumen, coincidiendo con la definición dada de fluido incompresible.

2. Cálculo del rotacional:

3. Cálculo de [math]\nabla\times(\nabla\times\vec u)[/math]

Sustituimos los resultados anteriores en [math]\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})[/math], obtenemos que:

Sustituimos por último, todos los términos en la expresión de la ecuación de Navier-Stokes estacionaria [math](\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} [/math]; resultando:

Por lo que:

Para averiguar f(z) tenemos que integrar 2 veces sobre [math]\frac{p_1-p_2}{μ}[/math]. Al hacerlo y sabiendo que la velocidad tiene que ser nula en los bordes, por lo que tiene que ser nula en z=0 y z=1, entonces:

4 CAMPO DE VELOCIDADES

Para la representación del campo se han tomado los siguientes valores:

Sustituyendo en la expresión del campo obtenemos:

Para su representación se ha implementado en Octave, el siguiente código:

[Y,Z] = meshgrid([0:0.25:8],[0:0.1:1]); 
uy=inline('((z.^2-z))./(2)','y','z');
uz=inline('0.*y','y','z'); 
U=uy(Y,Z);
V=uz(Y,Z);
axis([0,8,-1,2]);
quiver(Y,Z,U,V);

Resultando el siguiente gráfico:

Campo de velocidad del fluido

Lo primero que observamos, es que la velocidad es nula en las paredes del canal pues en [math]z=1[/math] y [math]z=0[/math] no existen líneas de campo, como ya habíamos demostrado analíticamente. Además, en las deducciones previas habíamos asegurado que la velocidad sería paralela a las paredes del canal, cosa que también observamos en la gráfica, pues las líneas de campo son paralelas a las rectas [math]z=1[/math] y [math]z=0[/math] que coincen con las paredes del canal.

Por otro lado, se observa que la velocidad máxima se alcanza en [math]z=1/2[/math], justo en el centro del canal, como a continuación se demuestra analíticamente.

4.1 CÁLCULO DE LA VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO

Los puntos de velocidad máxima se obtinen igualando a 0, la primera derivada parcial del campo:

Igualando a 0, las derivadas anteriores, obtenemos que la velocidad máxima se obtienen en los puntos de la recta [math]z=1/2[/math], tal como se había comentado en la interpretación gráfica.

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5 Referencias