Grupo 11C: Visualizacion de campos escalares y vectoriales en elasticidad

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 11C
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2022-23
Autores	Adrian Alvarez Iturri Rebeca Garcia Sebastian Jara Maria Prieto Ricardo Sotomayor
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región [math](x, y) ∈ [0, 10] × [0, 2][/math]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura [math]T(x, y)[/math], que viene dada por,

[math]T(x, y)=(x-6)^2+(10(y-3/2))^2[/math]

y los desplazamientos [math]\vec{u}(x, y)[/math] producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos [math]\vec{r_{0}}(x, y)[/math] el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto [math](x, y)[/math] de la placa después de la deformación viene dada por

[math]\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)[/math]

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos

[math]\vec{u}(x, y)=\vec{a}sin(k(\vec{d}\vec{r}))[/math]

Para nuestro trabajo tenemos los siguientes valores: [math]\vec{a}= \frac{2}{5}\vec{i},k=1 , \vec{d}=\vec{i} [/math].

1 Representación de la placa

Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo [math](x, y) ∈ [-0.5; 10.5] × [-0.5; 2.5][/math] y como paso de muestreo [math]h = 2/10[/math] para las variables [math]x[/math] e [math]y[/math].

Con las 3 primeras líneas de código (clc, clear y close all) realizamos una limpieza de programas anteriores para evitar que el programa o los gráficos no se ejecuten correctamente.

Tras crear el paso de muestreo [math]h[/math]. y las variables [math]x[/math] e [math]y[/math] con los valores que se nos indican, utilizamos el comando [math]meshgrid ()[/math], que nos devuelve las matrices [math]X[/math] e [math]Y[/math].

A continuación, utilizamos el comando [math]mesh ()[/math] con las matrices obtenidas. Sin embargo, al ser un comando que requiere de 3 matrices ([math]X[/math], [math]Y[/math] y [math]Z[/math]) y solo neesitamos 2, aquella que se corresponde con la tercera matriz será 0, por lo que multiplicaremos por 0 una de las dos matrices existentes, por ejemplo la [math]Y[/math].

Por último, ajustaremos los ejes según los límites que nos han indicado y escribiremos el título del gráfico y de los ejes.

Mallado

% La placa esta definida en x:[0;10],y:[0;2]
%Se pide:
%1. Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del s´olido. Tomar los ejes (comando
%axis) en el rect´angulo (x, y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−0.5; 2.5] y como paso de muestreo h = 2/10 para
%las variables x e y.
clc
clear
  close all
  % paso de muestreo h para las variables x e y
 h=2/10; 
 x=0:h:10;
 y=0:h:2;
  % mallado con las matrices X e Y
 [X,Y]=meshgrid(x,y); 
 mesh(X,Y,0*Y)
%ejes
 axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
 % Escribimos el título del gráfico y los nombres de los ejes 
 title('Mallado de la placa');
 xlabel('Eje X');
 ylabel('Eje Y');
 % Con el comando view (2), visualizamos el mallado en 2 dimensiones
 view(2);

2 Curvas de nivel de la temperatura

Dibujar las curvas de nivel de la temperatura (comando contour) y decidir en qué punto la temperatura es máxima a partir de la gráfica.

La temperatura del sólido viene dada por la función [math]T(x, y)=(x-6)^2+(10(y-3/2))^2[/math]. A partir de las variables [math]h[/math]. [math]x[/math] e [math]y[/math] creadas anteriormente, volvemos a utilizar el comando [math]meshgrid ()[/math] para obtener las matrcies [math]X[/math] e [math]Y[/math].

A continuación, definimos el campo de temperatura T en función de las matrices X e Y. Utilizaremos [math].[/math] cuando realicemos operaciones como elevar al cuadrado, pues el punto permite realizar esa operación a cada elemento de la matriz (la operación se realiza elemento a elemento gracias al punto).

Utilizaremos el comando [math]mesh()[/math] para representar la función de temperatura utilizando las matrices [math]X[/math], [math]Y[/math] y [math]T[/math]. Para representar las curvas de nivel, utilizaremos el comando [math]contour ()[/math], mediante el que dibujaremos 50 curvas de nivel. Como obtendremos dos gráficos, los representaremos en la misma ventana con el comando [math]subplot ()[/math].

Por último, ajustaremos los ejes según los límites indicados, escribiremos el título del gráfico y de los ejes y nos ayudaremos del comando [math]colorbar[/math] para incluir una barra de colores que permita identificar los valores del campo de temperaturas. De esta manera, los colores fríos indican un menor valor de la temperatura, mientras que los colores cálidos se corresponden con valores mayores.

Como podemos observar al ampliar el gráfico de la temperatura, es máxima en los puntos \((0,0)\) y \((10,0)\)

Curvas de nivel de la temperatura

%Trabajo 2
%pregunta2
% 2. Dibujar las curvas de nivel de la temperatura (comando contour) y decidir en qu´e punto la
% temperatura es m´axima a partir de la gr´afica

 clear
 close all
  % Paso de muestreo h para las variables x e y
  h = 2/10;
  % Región que ocupa la placa rectangular
  x = [0:h:10];
  y = [0:h:2];
  % Creación del mallado
 [X,Y]= meshgrid(x,y);
 % Función temperatura: T(x,y) = (x-6)^2 + (10(Y-3/2))^2
 T = (X-6).^2 + (10*(Y-3/2)).^2;
 % Escribimos el título del gráfico
 title('Curvas de nivel de la temperatura');
 % Escribimos los nombres de los ejes
 xlabel('Eje X');
 ylabel('Eje Y');
% Establecemos el límite de los ejes
 axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
 % Representación de la temperatura y las curvas de nivel
 subplot(1,2,1);
 mesh(X,Y,T);
 subplot(1,2,2);
 contour(X,Y,T,50);
 colorbar

3 Gradiente de la temperatura

Calcular [math]∇T[/math] y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que [math]∇T[/math] es ortogonal a dichas curvas. (Nota: es muy importante que la escala de los ejes sea la misma para apreciar el que forman las curvas de nivel y el gradiente).

Nos ayudaremos de gran parte del código del programa del ejercicio anterior, por lo que mantendremos las variables [math]h[/math], [math]x[/math] e [math]y[/math], así como las matrices [math]X[/math] e [math]Y[/math] obtenidas mediante el comando [math]meshgrid ()[/math] y la matriz [math]T[/math] que representa la temperatura.

En segundo lugar, calcularemos el gradiente de la temperatura, que es un vector cuya primera componente es la derivada del campo escalar de la temperatura respecto de [math]x[/math], multiplicada por el vector [math]\vec{i}[/math] y como segunda componente la derivada del campo escalar respecto de [math]y[/math], multiplicada por el vector [math]\vec{j}[/math].

[math]∇T = \frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} [/math]

Una vez calculado el gradiente, crearemos las variables [math]dx[/math] y [math]dy[/math] en función de las matrices [math]X[/math] e [math]Y[/math]. Por último, utilizaremos el comando [math]quiver ()[/math] para representar el gradiente de la temperatura.

Al tener que comprobar que las curvas de nivel del campo de temperatura y el gradiente son perprendiculares, nos ayudaremos del comando [math]hold on[/math] para poder representar las curvas de nivel y el gradiente en el mismo gráfico.

Gradiente de Temperatura

%pregunta3
% 3. Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Observar gr´aficamente que ∇T es ortogonal a
% dichas curvas. (Nota: es muy importante que la escala de los ejes sea la misma para apreciar el
% ´angulo que forman las curvas de nivel y el gradiente)

clc
 clear
  close all
  % Paso de muestreo h para las variables x e y: h = 1/10
  h = 2/10;
  % Región que ocupa la placa rectangular
  x = [0:h:10];
  y = [0:h:2];
  % Creación del mallado
 [X,Y]= meshgrid(x,y);
 % Función temperatura: T(x,y) = (x-6)^2 + (10*(Y-3/2)^2
 T = (X-6).^2 + (10*(Y-3/2)).^2;
 contour(X,Y,T,30);
 % Gradiente de T
 dx = 2.*(X-6);
 dy = 200*Y-300;
 % Título
 title('Gradiente de temperatura');
 % Escribimos los nombres de los ejes
 xlabel('Eje X');
 ylabel('Eje Y');
 % Representación de la temperatura y las curvas de nivel
 hold on
 quiver(x,y,dx,dy);
 axis equal
 colorbar

4 Representación del campo de desplazamientos

Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, cuando t=0.

Teniendo en cuenta los valores [math]\vec{a}= \frac{2}{5}\vec{i},k=1 , \vec{d}=\vec{i} [/math]. [math]\vec{u}= \frac{2}{5}\sin (x)\vec{i}[/math]

Campo de desplazamientos

%ejercicio2_4
%4. Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del solido, en t = 0
clc
 clear
 close all
 % Paso de muestreo h para las variables x e y
 h=2/10; 
 % Región que ocupa la placa rectangular
 x=[0:h:10];          
 y=[0:h:2];
 % Creación del mallado
 [X,Y]=meshgrid(x,y);
 % Definimos el campo de desplazamientos
 ux=(2/5).*sin(X);
 uy=(Y.*0);
 % Dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sóldio
 quiver(x,y,ux,uy,'g')
 % Establecemos el límite de los ejes
 axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
 axis equal
 % Escribimos el título del gráfico
 title('Campo de desplazamientos');
 % Escribimos los nombres de los ejes
 xlabel('Eje X');
 ylabel('Eje Y');
 view(2);

5 Sólido antes y después del desplazamiento

Representacion grafica del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores [math]u[/math], cuando t=0. Las dos figuras se muestra en una sola imagen con sus leyendas respectivas para una mejor visualización. Para que estén en una sola ventana, se debe usar el comando subplot.

%ejercicio2_5
%5. Dibujar el s´olido antes y despu´es del desplazamiento dado por el campo de vectores ~u (en t = 0).
%Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.
%Limpieza de programas anteriores
  clc
 clear
 close all
 
 %Definición de regiones
 h=2/10; 
 x=0:h:10;          
 y=0:h:2;
 
 %Matriz de x e y
 [Mx,My]=meshgrid(x,y);

 %Vector desplazamiento
 Ux=2/5.*sin(Mx);
 Uy=My.*0;
  figure
 
 %Antes del desplazamiento
 subplot(2,2,1)
 mesh(Mx,My,0*My)
 axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
 axis equal
 view(2)
 title('Situación inicial');
 xlabel('Eje X');
 ylabel('Eje Y');
 
 %Después del desplazamiento
 subplot(2,2,2)
 mesh(Mx+Ux,My+Uy,0*Uy)
 axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
 axis equal
 view(2)
 title('Situación final');
 xlabel('Eje X');
 ylabel('Eje Y');

6 Divergencia del campo vectorial sobre la placa

Dibujar [math]∇ · \vec{u}[/math]. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de [math]\vec{u}[/math] es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica? [math]\triangledown . \vec{u} = \frac{\partial u1 }{\partial x}+ \frac{\partial u2}{\partial y}+ \frac{\partial u3 }{\partial z} = \frac{2}{5}\cos (x) [/math].

Divergencia del desplazamiento

%ejercicio2_6
%6. Dibujar ∇ · ~u en t = 0. Determinar anal´ıticamente los puntos en los que la divergencia de ~u es
%m´axima, m´ınima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al
%desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?
 %Limpieza de programas anteriores
  clc
  clear
  close all
 %Definición de regiones
  h=2/10; 
  x=[0:h:10];          
  y=[0:h:2];
 %Matriz de x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
 div=2/5.*cos(Mx)+My.*0;
 surf(Mx,My,div)
 shading flat 
 axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
 axis equal
 view(2);
 title('Divergencia del vector desplazamiento ');
 xlabel('Eje X');
 ylabel('Eje Y');
 colorbar

7 Rotacional del sólido

Calcular [math]|∇ × \vec{u}|[/math] en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

7.1 Cálculo del rotacional

[math]∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{2}{5}\sin(x) & 0 & 0\end{vmatrix} = \vec{o} [/math].

7.2 Representación del módulo del rotacional

%Limpieza de programas anteriores
  clc
  clear
  close all
  
  %Definición de regiones
  h=2/10; 
  x=[0:h:10];          
  y=[0:h:2];
 
 %Matriz de x e y
 [Mx,My]=meshgrid(x,y);
 
 %Cálculo del módulo del rotacional
 rot=Mx.*0;
 
 %Representación gráfica
 surf(Mx,My,rot)
 shading flat
 axis equal
 colorbar
 view(2);
 axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
 title('Módulo del rotacional');
 xlabel('Eje X');
 ylabel('Eje Y');

8 Tensor de tensiones

Definamos [math]Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t})/2[/math], la parte simétrica del tensor gradiente de [math]\vec{u}[/math] conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones [math]σ_{ij}[/math] a través de la fórmula [math]σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μԐ[/math], donde λ y μ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir [math]\vec{u}[/math] no tiene componente en la dirección de [math]\vec{k}[/math]) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando [math]λ = μ = 1[/math], dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje [math]\vec{i}[/math], es decir [math]\vec{i}·σ·\vec{i}[/math], las tensiones normales en la dirección que marca el eje [math]\vec{j}[/math], es decir [math]\vec{j}·σ·\vec{j}[/math] y las correspondientes al eje [math]\vec{k}[/math], es decir [math]\vec{k}·σ·\vec{k}[/math].

Para el cálculo de la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial [math]U[/math], utilizaremos la fórmula correspondiente, con la cual construiremos una matriz cuadrada como se vio anteriormente. La tercera columna es toda 0 por no tener el campo componente en [math]\vec{k}[/math]. Ahora, sumando este resultado a su traspuesto y dividiendo todo entre dos, obtenemos el tensor deformación, el cual es una matriz con las siguientes filas:

[math]Ԑ(\vec{u})=[/math] \begin{pmatrix} \frac{2}{5}\cos (x) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Sabiendo [math]\bigtriangledown . \vec{u}, \sigma es: \sigma = \lambda \triangledown . \vec{u}1+ 2\mu \varepsilon = \begin{pmatrix} \frac{2}{5}\cos (x) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{5}\cos (x) & 0 \\ 0 & 0 &\frac{2}{5}\cos (x) \end{pmatrix} + 2\varepsilon [/math].

[math] \sigma =[/math] \begin{pmatrix} \frac{6}{5}\cos (x) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{5}\cos (x) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{5}\cos (x) \end{pmatrix} Aplicando esto a las tensiones en las direcciones i, j y k, obtenemos: [math]\vec{i}. \sigma .\vec{i} = \frac{6}{5}\cos (x) [/math]

[math]\vec{j}. \sigma . \vec{j} = \vec{k} .\sigma . \vec{k} = \frac{2}{5}\cos (x) [/math]

Representación de las tensiones normales en la dirección [math]\vec{i}[/math]

Representación de las tensiones normales en la dirección [math]\vec{j}[/math]

Representación de las tensiones normales en la dirección [math]\vec{k}[/math]

%8. Definamos �(~u) = (∇~u + ∇~ut
%)/2, la parte sim´etrica del tensor gradiente de ~u conocido como
%tensor de deformaciones. En un medio el´astico lineal, is´otropo y homog´eneo los desplazamientos
%permiten escribir el tensor de tensiones σij a trav´es de la f´ormula
%σ = λ∇ · ~u 1 + 2µ�,
%donde 1 es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio R
%3 y λ, µ son los
%conocidos como coeficientes de Lam´e que dependen de las propiedades el´asticas de cada material.
%A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ~u no tiene componente en la direcci´on de
%~k) las tensiones no tienen por qu´e ser planas y puede haber tensiones en la direcci´on ortogonal
%al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las tensiones normales en la direcci´on que
%marca el eje ~i, es decir ~i · σ ·~i, las tensiones normales en la direcci´on que marca el eje ~j, es decir
%~j · σ · ~j y las correspondientes al eje ~k, es decir ~k · σ ·
%~k (dibujar las que no son nulas).

%limpieza de todo lo anterior
lambda=1;
mu=1;
  clc
  clear
  close all
  %definición de las variables
  h=2/10; 
  x=(0:h:10);          
  y=(0:h:2);
  
 [X,Y]=meshgrid(x,y);
 tensioni=6/5.*cos(X)
 tensionj=2/5.*cos(X);
 tensionk=2/5.*cos(X);
 %tensiones normales en la dirección normal del eje i
 figure
  surf(X,Y,tensioni)
 shading flat
 axis equal
 colorbar()
 axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
 title('Tensión normal en dirección i');
 xlabel('Eje X');
 ylabel('Eje Y');
 view(2);
 %tensiones normales en la dirección normal del eje j
 figure
 
 surf(X,Y,tensionj)
 shading flat
 axis equal
 colorbar()
 axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
 title('Tensión normal en dirección j');
 xlabel('Eje X');
 ylabel('Eje Y');
 view(2);
%tensiones normales en la dirección normal del eje k (la variable
 %tensionesk se definió como x-x para hacer ver que siempre vale 0)
 figure
 
 surf(X,Y,tensionk)
 shading flat
 axis equal
 colorbar()
 axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
 title('Tensión normal en dirección k');
 xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);

9 Tensiones tangenciales

Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a [math]\vec{i}[/math], es decir [math]|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|[/math], en t=0.Dibujar solo las que son nulas.

La fórmula proporcionada por el enunciado permite calcular las componentes de la tensión que experimenta el sólido en cada punto pertenecientes a un plano perpendicular a [math]\vec{i}[/math].

[math]|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| [/math]

[math]|\begin{pmatrix} \frac{6}{5}\cos (x) & 0 & 0\\ 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} . \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix} - \frac{6}{5}\cos (x)\vec{i} | = 0 [/math]

10 Tensión de Von Mises

La tensión de Von Mises se define por la fórmula

[math]σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}[/math]

donde [math]σ_{1}[/math], [math]σ_{2}[/math] y [math]σ_{3}[/math] son los autovalores de [math]σ[/math] (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

. A continuacion se muestra su calculo en Octave/MatLab.

Tensión de Von Mises

%Limpieza de programas anteriores
clear
clc
close all

%Definición de regiones
 h=2/10; 
  x=[0:h:10];          
  y=[0:h:2];
 %matriz de X e Y y de Von Mises
 [X,Y]=meshgrid(x,y);
 MVonM=0.*X;
 %definimos la función de Von mises siendo t1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((t1-t2)^2+(t2-t3)^2+(t3-t1)^2)/2)^(1/2)','t1','t2','t3');
[f,c]=size(X);
 %asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión 
 %de Von Mises en cada punto
 for i=1:f
  for j=1:c
   deformaciones=[[6/5.*cos(X(i,j));0;0],[0;2/5.*cos(X(i,j));0],[0;0;2/5.*cos(X(i,j))]];
   lamdas=eig(deformaciones);
   t1=lamdas(1,1);
  t2=lamdas(2,1);
  t3=lamdas(3,1);
  MVonM(i,j)=VonMises(t1,t2,t3);
 end
 end
 
 %graficamos
 surf(X,Y,MVonM)
 shading flat
 axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
 axis equal
 title('Tensión de Von Mises');
 xlabel('Eje X');
 ylabel('Eje Y');
 view(2);
 colorbar

11 Campo de fuerzas que actúa sobre la placa

El campo de fuerzas [math]\vec{F}[/math] que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal

[math]\vec{F}=\frac{\partial^2 \vec{u}}{\partial t^2} - \triangledown . \sigma [/math]

donde [math]∇ · σ[/math] es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz [math]σ[/math]. Calcular la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que [math] \vec{F}= 0. [/math] Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando [math]\vec{a}= \frac{2}{5}\vec{i}[/math], ¿cual sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

11.1 Cálculo del campo de fuerzas

[math]\vec{u}= \frac{2}{5}\sin(x-vt)\vec{i}[/math]

La primera derivada: [math]\frac{\partial \vec{u}}{\partial t} = -\frac{2}{5}v\cos(x-vt)\vec{i}[/math].

La segunda derivada: [math]\frac{\partial^2 \vec{u}}{\partial t^2} = -\frac{2}{5}v^{2}\sin(x-vt)\vec{i}[/math]. Calculamos el nuevo [math]\sigma = \lambda \triangledown .\vec{u}1 + 2\mu \varepsilon [/math].

[math]\triangledown \vec{u} = \begin{pmatrix} \frac{2}{5}\cos (x-vt) & 0 & 0\\ 0& 0 & 0\\ 0& 0 & 0 \end{pmatrix}[/math].

[math]\triangledown \vec{u}^{t} = \begin{pmatrix} \frac{2}{5}\cos (x-vt) & 0 & 0\\ 0& 0 & 0\\ 0& 0 & 0 \end{pmatrix}[/math]

[math]\varepsilon = \begin{pmatrix} \frac{2}{5}\cos (x-vt) & 0 & 0\\ 0& 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/math].

Como el apartado 6 : [math]\triangledown . \vec{u} = \frac{\partial\frac{2}{5}sin (x-vt) }{\partial x} = \frac{2}{5}\cos (x-vt)[/math].

[math]\sigma =\lambda \triangledown . \vec{u} + \mu2\varepsilon = \begin{pmatrix} \lambda .\frac{2}{5}\cos(x-vt) & 0 & 0\\ 0 & \lambda .\frac{2}{5}\cos(x-vt) &0 \\ 0 & 0 & \lambda .\frac{2}{5}\cos(x-vt) \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} (2\mu )\frac{2}{5}\cos(x-vt) & 0 & 0\\ 0& 0 & 0\\ 0&0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (\lambda +2\mu ) \frac{2}{5}\cos(x-vt)&0 &0 \\ 0 & (\lambda )\frac{2}{5}\cos(x-vt) &0 \\ 0 & 0 & (\lambda )\frac{2}{5}\cos(x-vt) \end{pmatrix}[/math]

Ahora calculamos [math]\triangledown . \sigma [/math].

[math]\triangledown . \begin{pmatrix} (\lambda +2\mu ) \frac{2}{5}\cos(x-vt) & 0 & 0 \end{pmatrix} =-\frac{2}{5}\sin(x-vt)(\lambda + 2\mu ) [/math]

[math]\triangledown . \begin{pmatrix} 0 & (\lambda )\frac{2}{5}\cos(x-vt) & 0 \end{pmatrix} = 0 [/math]

[math]\triangledown . \begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{2}{5}\cos(x-vt) \end{pmatrix} = 0 [/math]

[math]\triangledown . \sigma = -\frac{2}{5}\sin(x-vt)(\lambda + 2\mu )[/math]

[math]\vec{F} = -\frac{2}{5}v^{2}\sin(x-vt)\vec{i} +\frac{2}{5}\sin(x-vt)(\lambda + 2\mu )[/math].

Suponiendo que [math]\vec{F} = 0 [/math].

Tenemos que [math]\frac{2}{5}v^{2}\sin(x-vt)\vec{i} = \frac{2}{5}\sin (x-vt)(\lambda +2\mu )[/math]

Entonces [math]v = \sqrt{\lambda + 2\mu } [/math]

12 Calcular el módulo del desplazamiento vertical trasversal

Fijado ahora el punto (1/2,1), calcular el módulo del desplazamiento vertical (dirección j) a lo largo del tiempo en el intervalo de t que pertenece [0,10] Tenemos que [math]\vec{u}= \frac{2}{5}\sin (0.5-vt)\vec{i}.\vec{j} = 0 [/math] .