Deformaciones elásticas de una placa plana en 2D (Grupo 28-B)

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Trabajo realizado por estudiantes
Título Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 28-B
Asignatura Teoría de Campos
Curso 2022-23
Autores Alba Xiyi Montoro Poveda
Pau Vives Segui
Rubén Rufo Lucas
Alejandro Vadillo Muñoz
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura


Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región [math](x, y) ∈ [0, 10] × [0, 2][/math].

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura [math]T(x, y)[/math], que viene dada por
[math]T(x, y)=(x-3)^2+(10(y-\frac{1}{2}))^2[/math]
y los desplazamientos [math]u(x, y)[/math] producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos [math]\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}[/math] el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto [math](x, y)[/math] de la placa después de la deformación viene dada por
[math]\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)[/math]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector
[math]\vec{u}(x, y,t)=\vec{a} sin(k(\vec{d}*\vec{r}-vt))[/math]
donde a se conoce como amplitud, [math]k \gt 0[/math] es el número de onda, d es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación. La variable t representa el tiempo que congelaremos en t = 0 en los primeros 10 apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
[math]\vec{u}(x,y)=\vec{a} sin(k(\vec{d}*\vec{r}))[/math]
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular [math]a = 2/5\vec{j}[/math], [math]k = 1[/math], [math]\vec{d} =\vec{i}[/math]

1 Mallado de la placa

El primer paso y el más baásico es la representacion de nuestra placa rectangular plana. Para esto, tomaremos los ejes en el rectángulo [math](x, y) ∈ [0; 10] × [ 0; 2][/math] y como paso de muestreo [math] h = 2/10 [/math] para las variables [math] x [/math] e [math] y [/math].

El paso de muestro son las divisiones que queremos que se haga por unidad en ambos ejes, es decir, la unidad queda dividida en 5 partes. Por tanto creamos funciones [math] x [/math] e [math] y [/math]. para contener estos vectores.

Posteriormente creamos una malla que contiene una superficie con todas las combinaciones de los vectores [math] x [/math] e [math] y [/math], es decir creamos una matriz con las dimensiones las de los vectores [math] x [/math] e [math] y [/math].

Figura 1
% Se definen las variables.
h=2/10;
x=[0:h:10];
y=[0:h:2];
% Se realiza el mallado.
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Se representa el mallado con tres ejes, de ellos uno nulo.
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Se pone título a la gráfica.
title('Mallado de la placa');
% Se da nombre  a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
% Se cambia a vista cenital
view(2)


2 Curvas de nivel de la termperatura

Dibujar las curvas de nivel de la temperatura (comando contour) y decidir en qué punto la temperatura es máxima a partir de la gráfica. Usaremos los datos del apartado anterior definiendo ahora una nueva variable, la temperatura T dada en el enunciado. Para graficar el campo de temperaturas sobre la placa en 3D usaremos el comando mesh() con las matrices Mx, My y T. Tras ello graficamos las curvas de nivel, en este caso 30, con el comando contour(). Para aclarar la gráfica le pondremos título a la misma y le daremos nombre a los ejes.

Tras ello, le daremos equidistancia a los ejes en la gráfica de las curvas de nivel en 2D con el comando axis equal para que las curvas de nivel queden con su forma real. Por último, comprobamos en el gráfico 3D que la temperatura más alta son [math]274ºC[/math] y se da en el punto [math](x,y)=(2,10). [/math]

Figura 2
Figura 3









% Se definen las variables.
h=2/10;
x=[0:h:10];
y=[0:h:2];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
T=(Mx-3).^2 +(10.*(My-1./2)).^2;
figure(2)
% Campo de temperaturas en 3D.
mesh(Mx,My,T);
hold on
% Curvas de nivel.
contour(Mx,My,T,30);
hold off
% Se pone título a la gráfica.
title('Campo de temperaturas y curvas de nivel');
% Se da nombre  a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las T');
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
% Se le aplica una barra con colores asignados a cada temperatura.
colorbar;
% Temperatura más alta en (x,y)=(2,10) son 274ºC


3 Cálculo ∇T y dibujo como campo vectorial

Calcular [math]∇T[/math] y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que [math] ∇T [/math] es ortogonal a dichas curvas. (Nota: es muy importante que la escala de los ejes sea la misma para apreciar el ángulo que forman las curvas de nivel y el gradiente). Usaremos los datos del apartado anterior definiendo ahora una nueva variable, el gradiente de las temperaturas [math]∇T[/math] que dividiremos en [math]Fx [/math] y [math] Fy [/math] para poder representarlo.

[math]∇T = \frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j}= 2(x-3)\vec{i} + 200(y-\frac{1}{2})\vec{j}[/math]

Utilizaremos el comando [math] contour() [/math] de las curvas de nivel para tener una referencia de las temperaturas. Para graficar el gradiente usaremos el comando quiver() con los datos [math]Mx, My, Fx [/math] y [math] Fy[/math]. Para aclarar la gráfica le pondremos título a la misma y le daremos nombre a los ejes. Por último, le daremos equidistancia a los ejes con el comando axis equal para que el gradiente quede perpendicular a las curvas de nivel con su forma real.

Figura 4
% Se definen las variables.
h=2/10;
x=[0:h:10];
y=[0:h:2];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
T=(Mx-3).^2 +(10.*(My-1./2)).^2;
% Derivada parcial respecto de Mx.
Fx=2.*(Mx-3);
% Derivada parcial respecto de My.
Fy=200.*(My-1./2);
figure(3)
% Curvas de nivel.
contour(Mx,My,T,30);
hold on
% Gradiente.
quiver(Mx,My,Fx,Fy);
hold off
% Se pone título a la gráfica.
title('Gradiente');
% Se da nombre  a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Se define el rango de visión de la gráfica.


4 Campo de vectores

El objetivo es dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en [math]t = 0 [/math].

Para este apartado usaremos los datos definidos anteriormente añadiendo los datos [math]ux=0 [/math] y [math] uy=(2/5)*sin(x)[/math] sacados del vector [math]u(x, y)[/math] dado en el enunciado.

Para graficar el campo de desplazamientos usaremos el comando [math] quiver() [/math] con los datos [math]Mx, My, ux [/math] y [math]uy [/math].

Para aclarar la gráfica le pondremos título a la misma y le daremos nombre a los ejes. Por último, le daremos equidistancia a los ejes con el comando axis equal para que los vectores queden con su forma real.

Figura 5
% Se definen las variables.
h=2/10;
x=[0:h:10];
y=[0:h:2];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
ux=0.*My;
uy=(2/5).*sin(Mx);
figure(4)
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
% Se pone título a la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Se da nombre  a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);


5 Sólido antes y después del desplazamiento

Buscamos representar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores [math]u (en t =0)[/math], y compararlos. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando [math]subplot[/math]. Para este apartado usaremos los datos definidos anteriormente usados en el apartado 4.

La gráfica de la situación inicial es la representada en el primer apartado, para la situación final hay que usar el comando [math] mesh() [/math] con las matrices [math] Mx+ux [/math] y [math] My+uy [/math]. Para representar todas las gráficas en la misma ventana tendremos que usar el comando [math] subplot() [/math] antes de cada gráfica.

Para aclarar las gráficas le pondremos títulos a las mismas y les daremos nombre a los ejes. Por último, le daremos equidistancia a los ejes con el comando axis equal para que las placas queden con su forma real.

Figura 6
% Se definen las variables.
h=2/10;
x=[0:h:10];
y=[0:h:2];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
ux=0.*My;
uy=(2/5).*sin(Mx);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Se pone título a la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre  a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Se pone título a la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
% Se da nombre  a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
view(2)
% Comparación entre las dos situaciones
subplot(2,2,3)
mesh(Mx,My,Mx*0);
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My,'LineWidth',1);
% Después del desplazamiento figura con las líneas más gruesas
hold off
% Se pone título a la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
% Se da nombre  a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
view(2)


6 [math]∇·\vec{u}[/math]

Calculamos la divergencia [math]∇·\vec{u}[/math].

Recordamos que [math]\vec{u}= 0·\vec{i} + \frac{2}{5}senx·\vec{j} + 0·\vec{k}[/math], y la divergencia de un campo vectorial es [math] \frac{\partial u_{1} }{\partial\ x}+\frac{\partial u_{2}}{\partial y}+\frac{\partial u_{3}}{\partial z} [/math]. Operando queda [math]∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{2}{5}senx}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=0 [/math]

Observamos que la divergencia del desplazamiento es nula y no hay cambio de volumen. Podemos apreciarlo en la gráfica debido a su color.

Figura 7
% Se definen las variables.
h=2/10;
x=[0:h:10];
y=[0:h:2];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Calculamos la divergencia y da cero.
D=0.*Mx+0.*My
% Divergencia.
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Se pone título a la gráfica.
title('Divergencia');
% Se da nombre  a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
% Se le aplica una barra.
colorbar;
view(2)


7 Rotacional de [math]\vec{u}[/math]

Calculamos [math]|∇ × \vec{u}|[/math] en todos los puntos del sólido en t=0.

[math]∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ 0 & \frac{2}{5}sinx & 0\end{vmatrix} = \frac{2}{5}cosx \vec{k} [/math].

[math]|∇ × \vec{u}|= \frac{2}{5}cosx[/math]

Figura 8
% Se definen las variables.
h=2/10;
x=[0:h:10];
y=[0:h:2];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Calculamos el rotacional R dando lo siguiente:
R=2/5.*cos(Mx);
% Rotacional.
surf(Mx,My,R);
shading flat
% Se pone título a la gráfica.
title('Rotacional');
% Se da nombre  a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
% Se le aplica una barra.
colorbar;
view(2)


8 Tensor Tensiones

Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: [math]Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2[/math] que es la parte simétrica de [math]\vec{u}[/math].

El otro es el tensión de tensiones: [math]σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ[/math], donde [math]1[/math] es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio [math]R^3[/math] y [math]λ[/math] y [math]µ[/math] son coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado queremos comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, tomamos los valores de [math]λ=µ=1[/math] y empezamos a operar.


Empezamos calculando el gradiente de [math]\vec{u}[/math], para eso recordamos como se calcula el gradiente de un campo vectorial: [math] ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} [/math].

Como solo tiene en una direccion ([math]\vec{j}[/math]) valor de x, va a ser una matriz con una sola componente [math] ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{2}{5}cos(x) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} [/math] Luego la traspuesta del gradiente de u [math] ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & \frac{2}{5}cos(x) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} [/math].

Ahora ya podemos calcular el tensor de deformaciones [math]Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2=\begin{pmatrix}0 & \frac{1}{5}cos(x) & 0\\\frac{1}{5}cos(x) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} [/math]. También sabemos que [math]∇\vec{u}=0[/math]

Por tanto el tensor de tensiones nos queda como [math]σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{2}{5}cos(x) & 0\\\frac{2}{5}cos(x) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}[/math]

Una vez hemos sacado el tensor de tensiones, calculamos las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

[math]\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{2}{5}cos(x) & 0\\ \frac{2}{5}cos(x) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{2}{5}cos(x) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0[/math]

[math]\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{2}{5}cos(x) & 0\\ \frac{2}{5}cos(x) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{2}{5}cos(x) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0[/math]

[math]\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{2}{5}cos(x) & 0\\ \frac{2}{5}cos(x) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0[/math]


Como todas son nulas no es posible su representación.

9 Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a [math]\vec{i}[/math]

El objetivo es ver como varian las tensiones respecto al eje [math] \vec{i} [/math] en [math] t=0 [/math], es decir:

[math] |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|[/math] como hemos visto en el apartado anterior [math] |(\vec{i}·σ·\vec{i})|=0[/math], entonces [math]|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{2}{5}cosx & 0\\\frac{2}{5}cosx & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| = |\begin{pmatrix} 0\\\frac{2}{5}cosx\\0 \end{pmatrix}| = \frac{2}{5}cosx [/math]

Entonces, ya solo queda representarlo:

Figura 9
% Se definen las variables.
h=2/10;
x=[0:h:10];
y=[0:h:2];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Tensiones tangenciales.
T_tan=(2/5)*cos(Mx)
%Necesitamos una matriz de ceros del tamaño de "T_tan"
%por lo que la multiplicaremos por cero.
quiver(Mx,My,T_tan,T_tan.*0);
% Se pone título a la gráfica.
title('Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
% Se da nombre  a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
view(2)


10 Tensión de Von Mises

La tensión de Von Mises se define por la fórmula [math]σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}[/math] donde [math]σ_{1},σ_{2},σ_{3}[/math] son los autovalores de [math]σ[/math] (conocidas como tensiones elementales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de [math]Von Mises[/math] y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/MatLab usamos el comando [math] eig.m[/math]). Para este apartado usaremos los datos definidos anteriormente añadiendo el dato de la tensión de[math] Von Mises “VonMises”[/math]. También haremos un pequeño programa para asignar las tensiones y deformaciones a cada punto. Para graficar el campo de tensiones usaremos el comando [math] surf() [/math] con las variables[math] Mx, My [/math] y M_VonMises. Para aclarar la gráfica le pondremos título a la misma y le daremos nombre a los ejes. Por último, le daremos equidistancia a los ejes con el comando axis equal para que las tensiones se vean sobre la forma de la placa real.


Figura 10
% Se definen las variables.
h=2/10;
x=[0:h:10];
y=[0:h:2];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
M_VonMises=0.*My
% Definimos la función de Von Mises siendo
% T1,T2 y T3 las tensiones elementales.
VonMises=inline('(((T1-T2)^2+(T2-T3)^2+(T3-T1)^2)/2)^(1/2)','T1','T2','T3');
[a,b]=size(My);
% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:a
  for j=1:b
   Deformaciones=[[0;(2/5).*cos(Mx(i,j));0],[(2/5).*cos(Mx(i,j));0;0],[0;0;0]];
   Lamb=eig(Deformaciones);
   T1=Lamb(1,1);
   T2=Lamb(2,1);
   T3=Lamb(3,1);
   M_VonMises(i,j)=VonMises(T1,T2,T3);
  end
 end
% Von Mises.
surf(Mx,My,M_VonMises);
shading flat
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre  a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)


11 Campo de fuerzas [math]\vec{F}[/math] que actúa sobre la placa

El campo de fuerzas [math]\vec{F}[/math] que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal

[math]\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ[/math]

donde [math]∇·σ[/math] es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz [math]σ[/math].

Primero calculamos la segunda derivada sabiendo que [math]\vec{u}=\frac{2}{5}sen(x-vt)·\vec{j}[/math].

La primera derivada:[math]\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=\frac{2}{5}v·cos(x-vt)·\vec{j} [/math].

La segunda derivada: [math]\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=\frac{-2}{5}v^2·sen(x-vt)·\vec{j}[/math].

Ahora calculamos el nuevo tensor de tensiones [math]σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ[/math] para eso repetimos los cálculos del apartado 8, pero en ese caso con nuestra nueva [math]\vec{u}[/math].

Primero calculamos el gradiente y su traspuesta : [math] ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{2}{5}cos(x-vt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} [/math] y [math] ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & \frac{2}{5}cos(x-vt) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} [/math]. Con esto calculamos [math]Ԑ(\vec{u}) =\begin{pmatrix}0 & \frac{1}{5}cos(x-vt) & 0\\\frac{1}{5}cos(x-vt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} [/math].

También sabemos que la divergencia es cero [math]∇·\vec{u}=0[/math]. Se razona igual que el apartado 6, [math]∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{2}{5}sen(x-vt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=0 [/math].

Por tanto [math]σ= 2μԐ=μ·\begin{pmatrix}0 & \frac{2}{5}cos(x-vt) & 0\\\frac{2}{5}cos(x-vt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}[/math]. Nos dan la indicación de que para calcular [math]∇·σ [/math] hagamos la divergencia de los matriz [math]σ[/math] como la de los vectores que tiene por fila. Así que tenemos tres vectores:

[math]∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{2}{5}cos(x-vt) & 0\end{pmatrix}=0[/math]

[math]∇· \begin{pmatrix}\frac{2}{5}cos(x-vt) & 0 & 0\end{pmatrix}=-μ\frac{2}{5}·sen(x-vt) [/math]

[math]∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0 [/math]

Entonces [math]∇·σ= -μ\frac{2}{5}·sen(x-vt)[/math] y ya podemos calcular [math]\vec{F}= \frac{-2}{5}v^2·sen(x-vt)·\vec{j} +μ\frac{2}{5}·sen(x-vt) [/math]

Ahora suponemos que [math]\vec{F}=0 [/math] y debemos poner la velocidad en términos de [math]λ, μ[/math]. Entonces [math]\frac{2}{5}v^2·sen(x-vt)·\vec{j}= +μ\frac{2}{5}·sen(x-vt)[/math] sigue como [math] v^2=μ[/math] es decir [math] v=\sqrt{μ}[/math]

11.1 Onda longitudinal según [math]\vec{i}[/math]

Ahora habría que repetir los cálculos de [math]∇·σ [/math].

Primero calculamos la segunda derivada sabiendo que [math]\vec{u}=\frac{2}{5}sen(x-vt)·\vec{i}[/math].

La primera derivada:[math]\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=\frac{2}{5}v·cos(x-vt)·\vec{i} [/math].

La segunda derivada: [math]\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=\frac{-2}{5}v^2·sen(x-vt)·\vec{i}[/math].

Ahora calculamos el nuevo tensor de tensiones [math]σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ[/math] para eso repetimos los cálculos del apartado 8, pero en ese caso con nuestra nueva [math]\vec{u}[/math].


Primero calculamos el gradiente y su traspuesta : [math] ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}\frac{2}{5}cos(x-vt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} [/math] y [math] ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}\frac{2}{5}cos(x-vt) & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} [/math]. Con esto calculamos [math]Ԑ(\vec{u}) =\begin{pmatrix}\frac{2}{5}cos(x-vt) & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} [/math].


En este caso desconocemos la divergencia [math]∇·\vec{u}[/math]. Se razona igual que el apartado 6, [math]∇·\vec{u}=\frac{\partial \frac{2}{5}sen(x-vt) }{\partial x}+\frac{\partial 0}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ t}=\frac{2}{5}cos(x-vt) [/math].


Por tanto [math]σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ=\begin{pmatrix}λ·\frac{2}{5}cos(x-vt) & 0 & 0\\0 & λ·\frac{2}{5}cos(x-vt) & 0\\ 0 & 0 & λ·\frac{2}{5}cos(x-vt)\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}μ·\frac{4}{5}cos(x-vt) & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}(\frac{2}{5}cos(x-vt))·(λ+2μ) & 0 & 0\\0 & λ·\frac{2}{5}cos(x-vt) & 0\\ 0 & 0 & λ·\frac{2}{5}cos(x-vt)\end{pmatrix} [/math].


Nos dan la indicación de que para calcular [math]∇·σ [/math] hagamos la divergencia de los matriz [math]σ[/math] como la de los vectores que tiene por fila. Así que tenemos tres vectores:

[math]∇· \begin{pmatrix}(\frac{2}{5}cos(x-vt))·(λ+2μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=(-\frac{2}{5}sen(x-vt))·(λ+2μ) [/math]

[math]∇· \begin{pmatrix} 0 & λ·\frac{2}{5}cos(x-vt) & 0\end{pmatrix}=0 [/math]

[math]∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & λ·\frac{2}{5}cos(x-vt)\end{pmatrix}=0 [/math]

Entonces [math]∇·σ=-\frac{4}{5}μ·sen(x-vt)-λ·\frac{2}{5}sen(x-vt) [/math]

Ya podemos calcular [math]\vec{F}= \frac{-2}{5}v^2·sen(x-vt)·\vec{i} \frac{2}{5}sen(x-vt)·(λ+2μ) [/math]

Ahora suponemos que [math]\vec{F}=0 [/math] y debemos poner la velocidad en términos de [math]λ, μ[/math]. Tenemos que [math]\frac{2}{5}v^2·sen(x-vt)·\vec{i}=\frac{2}{5}sen(x-vt)·(λ+2μ) [/math] así que llegamos a un resultado parecido al anterior: [math]v^2=(λ+2μ)[/math] y en funcion de [math]v[/math] queda como [math] v=\sqrt{λ+2μ}[/math]

12 Calcular el módulo del desplazamiento vertical trasversal

Fijamos el punto [math](1/2, 1)[/math] y calculamos el desplazamiento a lo largo de [math]t ∈ [0, 10][/math]. Tambien supongo que [math]v=1[/math] porque [math]μ=1[/math]

Similar al apartado 5, con la única diferencia que la función ahora depende del tiempo con [math]\vec{u}=\frac{2}{5}sen(x-vt)·\vec{j}[/math]. Entonces queda como [math]\vec{u}=\frac{2}{5}sen(0.5-vt)·\vec{j}[/math]

Algunos valores son:

[math]t=0, u=0.19 [/math]

[math]t=1, u=-0.19[/math]

[math]t=2, u=-0.4 [/math]

[math]t=3, u=-0.24 [/math]

[math]t=4, u=0.14 [/math]

[math]t=5, u=0.39 [/math]

[math]t=6, u=0.28 [/math]

-[math]t=7, u=-0.09 [/math]

[math]t=8, u=-0.38 [/math]

[math]t=9, u=-0.32[/math]

[math]t=10, u=0.03[/math]

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