Comportamiento de un fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 6-C

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Comportamiento de un fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 6-C
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2022-23
Autores	Nicolás Hidalgo Hernández, David Majón Domínguez, Lucía Monge Mansilla, Julia Domínguez Cámara
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 INTRODUCCIÓN

Este artículo tiene por objetivo, el estudio del comportamiento de un fluido alrededor de un obstáculo circular, vamos a considerar que el fluido es incompresible, esto es, la densidad del fluido permanece constante en el tiempo, y tiene la capacidad de openerse a la compresion del mismo bajo cualquier condición, esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. El obstáculo con el que el fluido se encuentra es un círculo de radio unidad, y la región en la que se centra el estudio es el exterior de dicho obstáculo. En la imagen se puede apreciar la situación descrita:

Ilustración fluido

Para facilitar la visualización de los resultados obtenidos analíticamente o mediante hipótesis, se han utilizado gráficos que han sido realizados en el programa OCTAVE.

2 SUPERFICIE DE TRABAJO

La superficie de trabajo es la región ocupada por el fluido, en nuestro caso es el exterior de un círculo de radio [math]1[/math] en el plano, dimensión [math]2[/math], definiendo un anillo circular de radio interior [math]1[/math] y radio exterior [math]5[/math] , centrado en el origen. Para la representación se han utilizado coordenadas cilíndricas y se han definido los ejes en el intervalo [math][-5,5][/math]x[math][-5,5][/math].

• Coordenadas cilíndricas:

[math] x=\rho \cos \theta,\qquad y=\rho \sin \theta,\qquad z=z [/math]

Implementado el siguiente código en Octave, se obtiene la superficie de trabajo.

u=linspace(1,5,50)
v=linspace(0,2*pi,50)
[rho,th]=meshgrid(u,v)
X=rho.*cos(th)
Y=rho.*sin(th)
Z=zeros(size(X))
subplot(1,1,1)
mesh(X,Y,Z)
axis([-5,5,-5,5])
 
view (2)

Superficie ocupada por el fluido:

Mallado de la región ocupada por el fluido

3 CAMPO DE VELOCIDADES DEL FLUDIO

3.1 DEFINICIÓN DEL CAMPO

El campo de velocidad al que está sometido el fluido,[math]\vec{u}[/math], es el gradiente de la función pontencial [math]\phi[/math], así el campo de velocidad es:

[math]\vec{u}=\nabla\phi[/math]

siendo [math]\phi[/math]:

[math]\phi={(\rho+\frac{1}{\rho})\cos \theta+\sqrt{2}\theta}[/math]

Sabiendo que el gradiente de un campo escalar, como es la función [math]\phi[/math], en coordenadas cilindricas se define como:

[math]\nabla\phi(ρ,θ,z)=\frac{\partial \phi }{\partial ρ}\vec{e_ρ}+\frac{1}{ρ}\frac{\partial \phi }{\partial θ}\vec{e_θ}+\frac{\partial \phi }{\partial z}\vec{e_z}[/math]

obtenemos la expresión del campo [math]\vec{u}[/math]

[math] \vec{u}=\nabla\phi=\left( 1-\frac{1}{ρ^2}\right)\cos \theta \vec{e_ρ}+\left(\left(1+\frac{1}{ρ^2}\right)(-sen \theta)+\frac{\sqrt{2}}{ρ}\right)\vec{e_θ}[/math]

3.2 VISUALIZACIÓN DEL CAMPO VELOCIDAD Y LAS CURVAS DE NIVEL DE LA FUNCIÓN POTENCIAL

REPRESENTACIÓN CURVAS DE NIVEL

Las curvas de nivel de la función potencial, [math]\phi[/math], son las curvas en las que la función potencial toma un valor constante. Implementando el siguiente código en Octave, obtenemos su representación.

u=linspace(1,5,100)
v=linspace(0,2*pi,100)
[rho,th]=meshgrid(u,v)
X=rho.*cos(th)
Y=rho.*sin(th)
Z=zeros(size(X))
f=(rho+1./rho).*cos(th)+sqrt(2)*(th)
subplot(1,1,1)
contour(X,Y,f,80)

GRÁFICA:

Curvas de nivel función potencial

ORTOGONALIDAD ENTRE CURVAS DE NIVEL Y EL CAMPO VELOCIDAD

El gradiente de un campo escalar es ortogonal a las curvas de nivel de dicho campo escalar, tal como hemos definido el campo de velocidades, éste tiene que ser ortogonal a las curvas de nivel anteriormente representadas. Para comprobar dicha hipótesis, representamos el campo velocidad junto con las curvas de nivel, obteniéndose la gráfica siguiente:

u=linspace(1,5,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[rho,th]=meshgrid(u,v)
X=rho.*cos(th);
My=rho.*sin(th);
Mz=zeros(size(Mx));
f=(rho+1./rho).*cos(th)+sqrt(2)*(th); 

                                   
fx=inline('1+((y.^2-x.^2)./((x.^2+y.^2).^2))+(-sqrt(2))*y./(x.^2+y.^2)','x','y');                                                    
fy=inline('-2*(x.*y)./((x.^2+y.^2).^2)+(sqrt(2)*x)./(x.^2+y.^2)','x','y');              

d1=fx(Mx,My);
d2=fy(Mx,My);
hold on
subplot(1,1,1)
contour(X,Y,f,50); colorbar                                 
quiver(X,Y,d1,d2)                                           
axis([-5,5,-5,5])
hold off

Nota: para definir en Octave las componentes del campo vectorial se han utilizado coordenadas cartesianas

GRÁFICA:

Curvas de nivel función potencial y campo de velocidad

Si hacemos zoom a la gráfica anterior podemos ver con mayor precisión esta afirmación:

Zoom gráfica curvas de nivel y campo de velocidad

Se observa que las curvas de nivel y el campo velocidad son ortogonales tal como habíamos afirmado.

3.3 INTERPRETACIÓN [math]\vec{u}·\vec{n}=0[/math]

Sea [math]\vec{n}[/math] un vector ortogonal a los puntos del obstáculo, en nuestro caso [math]\vec{n}=\vec{e_z}[/math], en primer lugar vamos a comprobar que el producto [math]\vec{u}·\vec{n}=0[/math] , para ello realizamos el producto escalar del campo [math]\vec{u}[/math] por el vector [math]\vec{e_z}[/math]:

[math]\vec{u}·\vec{e_z}=\left(\left( 1-\frac{1}{ρ^2}\right)\cos \theta \vec{e_ρ}+\left(\left(1+\frac{1}{ρ^2}\right)(-sen \theta)+\frac{\sqrt{2}}{ρ}\right)\vec{e_θ}\right).\vec{e_z}=0[/math]

Por una parte, [math]\vec{n}=\vec{e_z}[/math] porque el obstáculo es un círculo de radio [math]1[/math] centrado en el origen y situado sobre el plano [math]xy[/math], por lo que un vector normal a dicha superficie tendrá la dirección del eje [math]z[/math], esto es, [math]\vec{n}=\vec{k}[/math] que expresado en la base física cilíndrica resulta [math]\vec{n}=\vec{e_z}[/math]

En términos matemáticos, el resultado es evidente y lógico pues el producto escalar de dos vectores ortogonales es nulo. Pero físicamente, podemos interpretar que la velocidad en la frontera del obstáculo es momentáneamente nula, ya que a medida que las partículas del fluido avanzan y chocan con el obstáculo, el vector velocidad es ortogonal al vector normal de la superfice del solido, siendo el resultado del producto de ambos vectores 0, así las partículas del fluido que entran en contacto con el obstáculo se detienen de forma que las partículas del fluido rodean al obstáculo para seguir avanzando.

3.4 CAMPO VELOCIDAD LEJOS DEL OBSTÁCULO

Cuando nos situamos en un punto muy alejado del obstáculo [math]ρ[/math] es muy grande, con lo que [math]\frac{1}{ρ}[/math] se puede considerar despreciable, en esos puntos el campo velocidad, gradiente de la función potencial, toma otros valores distintos veamos cual:

1. La función potencial en puntos alejados del obstáculo es:[math]\phi={\rho\cos \theta+\sqrt{2}\theta}[/math]
2. El campo velocidad, definido como [math]\vec{u}=\nabla\phi[/math], es:[math]\vec{u}=\cos \theta\vec{e_ρ}- sen \theta\vec{e_θ}[/math]

Se observa que el campo está expresado en términos de la base física cilíndrica, mediante un cambio de base, lo podemos expresar en la base física cartesiana, resultando:

[math]\begin{pmatrix} u_1\\ u_2\\ u_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos \theta & -sen \theta & 0\\ sen \theta & \cos \theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \cos \theta\\ -sen \theta \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}[/math]

Así el campo, expresado en la base física cartesiana en puntos muy alejados del obstáculo es:

[math]\vec{u}=\vec{i}[/math]

Si representamos el campo velocidad, nos damos cuenta que a medida que nos alejamos del obstáculo el campo velocidad es paralelo al eje [math]x[/math]:

Campo de velocidad lejos del obstáculo

Campo de veolicidad próximo al obstáculo

En la gráfica de la izquierda se ha ampiado para ver con mayor detalle el vector velocidad cerca del obstáculo, donde se observa que no es paralelo al eje x, en cambio en la gráfica de la derecha observamos que conforme nos alejamos del obstáculo el vector velocidad, lleva la dirección positiva del eje x, esto es, [math]\vec{i}[/math]

• Código Octave empleado para la representación:

u=linspace(1,5,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[rho,th]=meshgrid(u,v)
X=rho.*cos(th);
Y=rho.*sin(th);
                                   
fx=inline('1+((y.^2-x.^2)./((x.^2+y.^2).^2))+(-sqrt(2))*y./(x.^2+y.^2)','x','y');                                                    
fy=inline('-2*(x.*y)./((x.^2+y.^2).^2)+(sqrt(2)*x)./(x.^2+y.^2)','x','y');              

d1=fx(X,Y);
d2=fy(X,Y);
                                 
quiver(X,Y,d1,d2)                                           
axis([-5,5,-5,5])

3.5 VALOR DE LA VELOCIDAD EN LA FRONTERA DEL OBSTÁCULO

Anteriormente se expuso que el fluido bordea el obstáculo, en este epígrafe vamos a estudiar los valores de la velocidad en la frontera del obstáculo, posterior al choque ya analizado. Para ello vamos a tomar [math]ρ=1[/math], pues la frontera es la circunferencia centrada en el origen de radio [math]1[/math]. Así, en la frontera del obstáculo el campo velocidad [math]\vec{u}[/math] es:

[math]\vec{u}=(-2sen(θ)+\sqrt{2})\vec{e_θ}[/math]

Calculamos el módulo de [math]\vec{u}[/math]:

[math]|\vec{u}|=\sqrt{(-2sen(θ)+\sqrt{2})^2}=-2sen(θ)+\sqrt{2}[/math] PUNTOS DE VELOCIDAD MÁXIMA Y MÍNIMA

La función [math]sen\theta[/math] está acotada entre [math]-1≤sen (\theta) ≤ 1[/math], por lo que la velocidad será máxima en los puntos en los que [math]sen(\theta)=-1[/math] ya que el módulo del vector velocidad es [math]|\vec{u}|=-2sen(θ)+\sqrt{2}[/math], esto es [math]\theta=\frac{3}{2}π[/math] y mínima en los puntos en los que [math]sen(\theta)=1[/math], es decir para los valores [math]\theta=\frac{π}{2}[/math]

PUNTOS DE REMANSO

Los puntos de remanso son aquellos en los que la velocidad es nula, en este caso hacemos [math]|\vec{u}|=0[/math].

[math]|\vec{u}|=-2sen(θ)+\sqrt{2}=0 \mapsto \theta=\frac{π}{4}[/math]

4 CONDICIÓN DE INCOMPRESIBILIDAD

En la introducción, se menciono que este trabajo se centraba en el estudio del flujo de un fluido incompresible. En este epígrafe, vamos a tratrar de demostrar analíticamente que el fluido es incompresible.

En primer lugar, calcularemos la divergencia del campo velocidad, que en coordenadas cilíndricas se define de la siguiente manera:

[math]\nabla·\vec{u}(ρ,θ,z)=\frac{1}{ρ}\left(\frac{\partial }{\partial ρ}(ρu_ρ)+\frac{\partial }{\partial θ}(u_θ)+\frac{\partial }{\partial z}(ρu_z )\right)[/math]

Operando, se obtiene la divergencia del campo velocidad:

[math]\nabla·\vec{u}(ρ,θ,z)=\frac{1}{ρ}\left(\left(1+\frac{1}{ρ^2}\right)\cos \theta-\left(1+\frac{1}{ρ^2}\right)\cos \theta\right)=\frac{1}{ρ}·0=0[/math]
¿Qué significa que la divergencia sea nula?

Podría parecer que ese resultado es fruto de la casualidad, pero la divergencia mide el cambio de volumen inducido por el campo, al ser nula implica que el movimiento de las partículas no afecta al volumen, es decir, localmente el fluido mantiene su volumen, ni se expande ni se contrae, coincidiendo con la definición dada de fluido incompresible. Por lo tanto, podemos concluir que el fluido es incompresible pues se cumple la condición de incompresibilidad [math]\nabla·\vec{u}=0[/math],

En segundo lugar, calculamos el rotacional del campo:

Hemos definido [math]\vec{u}[/math], campo de velocidades, como el gradiente de la función potencial, esto es [math]\vec{u}=\nabla\phi[/math], por las propiedades del operador rotacional, podemos concluir que el rotacional del campo de velocidades es nulo, ya que el rotacional del gradiente de un campo escalar, como es el caso de la función potencial, siempre es nulo, es decir:

• Prop: [math] \nabla\times \nabla f =0[/math] siendo [math]f[/math] un campo escalar.

En nuestro caso:

[math]\nabla\times \vec{u}=\nabla\times\nabla\phi=0[/math], ya que [math]\phi[/math] es un campo escalar

Demostración analítica El rotacional del campo [math]\vec{u}[/math] en coordenadas cilíndricas viene dado por la expresión:

[math] \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{ρ}\left| \begin{matrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ & & \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ & & \\ u_ρ & ρu_θ & u_z \end{matrix}\right| (1)[/math]

En nuestro caso:

[math] \vec{u}=\nabla\phi=\left( 1-\frac{1}{ρ^2}\right)\cos \theta \vec{e_ρ}+\left(\left(1+\frac{1}{ρ^2}\right)(-sen \theta)+\frac{\sqrt{2}}{ρ}\right)\vec{e_θ}[/math]

donde:

[math] \left \{ \begin{array}{l} u_ρ= \left( 1-\frac{1}{ρ^2}\right)\cos \theta \\ u_θ= \left(1+\frac{1}{ρ^2}\right)(-sen \theta)+\frac{\sqrt{2}}{ρ} \\ u_z=0 \end{array} \right. [/math]

Operando en la expresión [math](1)[/math] obtenemos:

[math] \nabla\times \vec{u} =\frac{1}{ρ}\left((-sen \theta)\left(1+\frac{1}{ρ^2}\right)\vec{e_z}-(-sen \theta)\left(1+\frac{1}{ρ^2}\right)\vec{e_z}\right)=0[/math]

quedando así demostrado que [math] \nabla\times \vec{u} = 0[/math]

Interpretación del resultado

El rotacional muestra la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto, esto quiere decir que las partículas no giran, el flujo es irrotacional que significa que el elemento de fluido en un punto dado no tiene una velocidad angular neta alrededor de ese punto.

5 LÍNEAS DE CORRIENTE

Las líneas de corriente del campo velocidad,[math]\vec{u}[/math], son las líneas tangentes al campo [math]\vec{u}[/math] en cada punto. En régimen estacionario las líneas de corriente están fijas y además nos indican las trayectorias seguidas por los elementos de fluido.

Líneas de corriente. Fuente: cidta.usal.es

Las líneas de corriente corresponden a [math]ψ=cte[/math], siendo [math]ψ[/math] la función de corriente de [math]\vec{u}[/math]. La función de corriente [math]ψ[/math], es el potencial escalar del que deriva el campo [math]\vec{v}[/math]. Por tanto, el mencionado campo, debe ser un campo gradiente, en caso contrario no admitiría función potencial. Una condición necesaria y suficiente para que el campo [math]\vec{v}[/math] admita función potencial y por tanto, sea un campo gradiente es que [math]\vec{v}[/math] tiene que ser irrotacional, esto es[math] \nabla\times \vec{v}=0[/math]

Definición del campo [math]\vec{v}[/math]

El campo [math]\vec{v}[/math] lo definimos como [math]\vec{v}=\vec{e_z}\times\vec{u}[/math], que es un campo ortogonal a [math]\vec{u}[/math] en cada punto:

[math]\vec{e_z}\times\vec{u} =\left| \begin{matrix} \vec{e_ρ} & \vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ & & \\ 0 & 0 & 1 \\ & & \\ \left( 1-\frac{1}{ρ^2}\right)cos \theta & \left(1+\frac{1}{ρ^2}\right)(-sen \theta)+\frac{\sqrt{2}}{ρ} & 0 \end{matrix}\right|=\left(\left( 1+\frac{1}{ρ^2}\right)sen \theta -\frac{\sqrt{ 2 }}{ρ} \right)\vec{e_ρ}+\left(\left( 1-\frac{1}{ρ^2}\right)cos \theta\right)\vec{e_θ}[/math]

Demostración analítica de que el campo [math]\vec{v}[/math] es irrotacional

[math] \nabla\times \vec{v} = \frac{1}{ρ}\left| \begin{matrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ & & \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ & & \\ v_ρ & ρv_θ & v_z \end{matrix}\right|=\frac{1}{ρ}\left(\left(1+\frac{1}{ρ^2}\right)cos\theta\vec{e_z}-\left(1+\frac{1}{ρ^2}\right)cos\theta\vec{e_z}\right)=0 [/math]

Como el campo[math]\vec{v}[/math] es irrotacional, podemos calcular la función potencial [math]ψ=cte[/math], para ello aplicamos la definición:

[math] \nabla \psi (ρ,θ)= \vec{v} \longleftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} v_ρ = \frac{\partial \psi }{\partial ρ} \\ v_θ= \frac{1}{ρ}\frac{\partial \psi}{\partial θ} \\ \end{array} \right. [/math]

Cálculo de la función de corriente [math]\psi[/math]

[math]\frac{\partial \psi }{\partial ρ}=v_ρ\rightarrow \frac{\partial \psi }{\partial ρ}=\left( 1+\frac{1}{ρ^2}\right)sen \theta -\frac{\sqrt{ 2 }}{ρ}[/math]

Integrando:

[math]\psi(ρ,θ)=\int\left( 1+\frac{1}{ρ^2}\right)sen \theta -\frac{\sqrt{ 2 }}{ρ}dρ=\left(ρ-\frac{1}{ρ}\right)sen \theta-\sqrt{2}ln(ρ)+f(θ)[/math]

Calculamos [math]f(θ)[/math]:

[math] v_θ= \frac{1}{ρ}\frac{\partial \psi}{\partial θ}\rightarrow\frac{\partial \psi}{\partial θ}=ρv_θ (2)[/math]

Sabemos que [math]\psi(ρ,θ)=\left(ρ-\frac{1}{ρ}\right)sen \theta-\sqrt{2}ln(ρ)+f(θ)[/math] derivamos dicha función con respecto de [math]θ[/math]:

[math]\frac{\partial}{\partial θ}\left(\left(ρ-\frac{1}{ρ}\right)sen \theta-\sqrt{2}ln(ρ)+f(θ)\right)=\left(ρ-\frac{1}{ρ}\right)cos \theta+f'(θ)[/math]

De acuerdo [math](2)[/math]:

[math]\left(ρ-\frac{1}{ρ}\right)cos \theta+f'(θ)=ρv_θ=ρ\left(\left( 1-\frac{1}{ρ^2}\right)cos \theta\right)\longleftrightarrow f'(θ)=0[/math]

Por tanto,

[math]f'(θ)=0 \longleftrightarrow f(θ)=cte[/math]

Sustituyendo, en [math]\psi(ρ,θ)=\left(ρ-\frac{1}{ρ}\right)sen \theta-\sqrt{2}ln(ρ)+f(θ)[/math] obtenemos que la función de corriente es:

[math]\psi(ρ,θ)=\left(ρ-\frac{1}{ρ}\right)sen \theta-\sqrt{2}ln(ρ)[/math]

REPRESENTACIÓN DE LAS LÍNEAS DE CORRIENTE

Líneas de corriente

Para la representación se ha utilizado el siguiente código en Octave:

v=linspace(1,5,50);
u=linspace(0,2*pi,50);
[rho,th]=meshgrid(rho,th)
X=rho.*cos(th);
Y=rro.*sin(th);
Z=zeros(size(X));
z=(rho+1./rho).*cos(th)+sqrt(2)*(th)
subplot(1,1,1)
contour(X,Y,z,50); colorbar                                                             
axis([-5,5,-5,5])

¿SON LAS LÍNEAS REPRESENTADAS LAS DE CORRIENTE? La respuesta es sí, porque se han definido como las líneas tangentes al campo de velocidad en cada punto, y como se puede observar en las gráficas, se cumple la definición por lo tanto las líneas representadas son las de corriente.

Líneas de corriente y campo velocidad

Para mejor visualización hacemos zoom en la gráfica anterior:

Líneas de corriente y campo velocidad

Para la representación se ha utilizado el siguiente código:

u=linspace(1,5,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[rho,th]=meshgrid(u,v)
X=rho.*cos(th);
Y=rho.*sin(th);
Z=zeros(size(X));
z=(rho-1./rho).*sen(Mtt)-(sqrt(2)*log(rho)); 

                                   
fx=inline('1+((y.^2-x.^2)./((x.^2+y.^2).^2))+(-sqrt(2))*y./(x.^2+y.^2)','x','y');                                                    
fy=inline('-2*(x.*y)./((x.^2+y.^2).^2)+(sqrt(2)*x)./(x.^2+y.^2)','x','y');              

d1=fx(X,Y);
d2=fy(X,Y);
hold on
subplot(1,1,1)
contour(X,Y,z,50); colorbar                                 
quiver(X,Y,d1,d2)                                           
axis([-5,5,-5,5])
hold off

ORTOGONALIDAD ENTRE LAS CURVAS DE NIVEL DE LA FUNCIÓN POTENCIAL Y LAS LÍNEAS DE CORRIENTE

Con la siguiente gráfica demostramos que las líneas de corriente son ortogonales a las curvas de nivel de la función potencial:

Líneas de corriente y curvas de nivel

Para obtener la gráfica se ha implementado el siguiente código en Ovtave:

u=linspace(1,5,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[rho,th]=meshgrid(ro,tt)
X=rho.*cos(th);
Y=rho.*sin(th);
Z=zeros(size(X));
hold on
f=(rho-1./rho).*sin(th)-(sqrt(2)*log(rho)); 
z=(rho+1./rho).*cos(th)+sqrt(2)*(rho)

subplot(1,1,1)
contour(X,Y,f,50); colorbar                                 
contour(X,Y,z,50); colorbar 
hold off                                  
axis([-5,5,-5,5])

6 ECUACIÓN DE BERNOULLI. CAMPO DE PRESIONES

La ecuación de Benouilli:

[math]\frac{1}{2}d|u|^2+p=cte[/math]

Se emplea en dinámica de fluidos para describir el movimiento del fluido a lo largo de una línea de corriente, es consecuencia de la ley de conservación de energía. Para poder aplicar la ecuación anterior, el fluido tiene que cumplir:

• La viscosidad, [math]μ=0[/math], es decir, se considera que la línea de corriente sobre la cual se aplica se encuentra en una zona no viscosa del fluido.
• El fluido debe poseer régimen estacionario, es decir, la velocidad media de las partículas permanece constate con respecto al tiempo.
• El flujo debe ser incompresible, siendo la densidad constante

En nuestro caso, consideraremos que el fluido cumple con todas las condiciones anteriores, tomando como valor de densidad 2, y como constante 10, para así calcular la presión del fluido con la ecuación de Bernouilli:

[math]\frac{1}{2}d|u|^2+p=cte\rightarrow \frac{1}{2}·2|u|^2+p=10\rightarrow p=10-|u|^2[/math]

Calculamos [math]|u|^2[/math] siendo, [math]\vec{u}[/math] el campo de velocidades.

[math]|u|^2= \left( 1-\frac{1}{ρ^2}\right)^2\cos^2 \theta +\left(\left(1+\frac{1}{ρ^2}\right)(-sen \theta)+\frac{\sqrt{2}}{ρ}\right )^2[/math]

Así el campo de presiones al que está sometido el fluido es:

[math]p=10-\left( 1-\frac{1}{ρ^2}\right)^2\cos^2 \theta +\left(\left(1+\frac{1}{ρ^2}\right)(-sen \theta)+\frac{\sqrt{2}}{ρ}\right )^2[/math]

6.1 REPRESENTACIÓN DEL CAMPO DE PRESIONES

Implementado el siguiente código en Octave:

u=linspace(1,5,50)
v=linspace(0,2*pi,50)
[rho,th]=meshgrid(u,v)
X=rho.*cos(th)
Y=rho.*sin(th)
p=10-(((1-1./rho.^2).^2).*(cos(th).^2)+(((sqrt(2).*rho)-(rho.^2.*sin(th))-(sin(th).^2))./(rho.^2)).^2)
surf(X,Y,p) 
colorbar
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

Obtenemos la representación del campo de presión al que está sometido el fluido:

Campo de presiones

6.2 VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE LA PRESIÓN

Si interpretamos la gráfica anterior, se observa que los valores mínimos de la presión representados en colores cálidos corresponden a los valores de [math]\theta=\frac{π}{2}[/math] y los valores máximos de la presión representados en colores fríos corresponden a los valores de [math]\theta=\frac{3π}{2}[/math]. Si comparamos estos resultados con los valores de la velocidad, vemos que zonas de máximas presiones se corresponden con velocidades mínimas y zonas de presiones mínimas se corresponden con velocidades máximas.

6.3 CURVAS DE NIVEL DEL CAMPO DE PRESIONES

En la siguiente gráfica se muestran las curvas de nivel del campo de presiones:

Campo de presiones del fluido

En la gráfica, podemos observar que en los valores de mayor variación de la presión las líneas de nivel están más acumuladas "juntas". Para la obtención de la gráfica anterior se implemento el código:

u=linspace(1,5,50)
v=linspace(0,2*pi,50)
[rho,th]=meshgrid(u,v)
X=rho.*cos(th)
Y=rho.*sin(th)
p=10-(((1-1./rho.^2).^2).*(cos(th).^2)+(((sqrt(2).*rho)-(rho.^2.*sin(th))-(sin(th).^2))./(rho.^2)).^2)
contour(X,Y,p,80)
colorbar                                                                                            
axis([-5,5,-5,5])

7 TRAYECTORÍA DE LAS PARTÍCULAS DEL FLUIDO

Las partículas del fluido, siguen la trayectoria de la línea de corriente, la partícula lleva inicialmente una dirección > a medida que avanzamos, la partícula rodea el obstáculo y cuando finalmente lo ha rodeado vuelve a la dirección inicial. En cuanto a las presiones, los valores extremos los encontramos en la frontera del obstáculo, conforme nos alejamos de él, estas se mantienen más o menos constantes, la zona de máxima presión se corresponde con zona de velocidad mímima [math]\theta=\frac{π}{2}[/math] y la de mínima presión, con zona de velocidad máxima [math]\theta=\frac{3π}{2}[/math]. Esto se debe a que una vez que la partícula ha llegado al obstáculo en donde su velocidad es momentaneamente nula y a medida que va avanzando, su presión disminuye a favor de aumentar su velocidad hasta alcanzar su valor máximo.

8 ECUACIÓN ESTACIONARIA DE NAVIER-STOKES

Trataremos de demostrar que el campo de velocidad y el campo de presión al que está sometido el fluido verifica la ecuación estacionaria de Navier-Stokes, esto supondría que el fluido es incompresible pues estas ecuaciones determinan el comportamiento de los fluidos newtonianos, esto es, un fluido cuya resistencia a deformaciones puede considerarse constante en el tiempo.

La ecuación estacionaria de Navier-Stokes es la siguiente:

[math]d(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} [/math]

En nuestro caso vamos a considerar que [math]μ=0[/math] ya que se trata de un fluido ideal y [math]d=2[/math]. Nuestros campos de velocidad y presión son:

[math]p=10-\left( 1-\frac{1}{ρ^2}\right)^2\cos^2 \theta +\left(\left(1+\frac{1}{ρ^2}\right)(-sen \theta)+\frac{\sqrt{2}}{ρ}\right )^2[/math] [math] \vec{u}=\nabla\phi=\left( 1-\frac{1}{ρ^2}\right)\cos \theta \vec{e_ρ}+\left(\left(1+\frac{1}{ρ^2}\right)(-sen \theta)+\frac{\sqrt{2}}{ρ}\right)\vec{e_θ}[/math]

Resultan campos muy complejos, por lo que para verificar la identidad de la siguiente línea usaremos una expresión general del campo en cartesianas tal que [math] \vec{u}=u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k}[/math].

[math] (\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u}=\frac{1}{2}\nabla(|\vec{u}|^2)-\vec{u}×\nabla×\vec{u}[/math]

Utilizando la notación de Einstein vamos desarrollando:

[math]\vec{u}×(\nabla×\vec{u})=ϵ_ijk u_j ϵ_klm \partial x_l u_m[/math]

Movemos el símbolo de Levi-Civita al lado izquierdo:

[math]ϵ_ijk u_j ϵ_klm \partial x_l u_m = (δ_il δ_jm - δ_im δ_jl) u_j \partial x_l u_m[/math]

Que desarrollándolo es igual a:

[math]\vec{u}×(\nabla×\vec{u}) = u_j\partial x_i u_j - u_j\partial x_j u_i[/math]
[math]u_j \partial x_i u_j - u_j \partial x_j u_i = \frac{1}{2} \partial x_i (u_j u_j) - (u·\nabla)u_i= \frac{1}{2} \partial x_i·(u · u)-(u·\nabla)u_i[/math]

Hemos llegado a esta igualdad teniendo en cuenta que [math]u_j·u_j= u·u [/math]. Tomando la componente i de la ecuación, obtenemos la igualdad:

[math] u×(\nabla×u)= \frac{1}{2}\nabla(u·u)-(u·\nabla)u[/math]

Así verificamos que cualquiera sea el campo de velocidades [math]\vec{u}[/math] y de presiones p (por tanto, también el nuestro) se satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria.

(El desarrollo con la notación de Einstein se basa en la página enlazada.)

9 PARADOJA D' ALEMBERT

Si [math]p\vec{n}[/math] es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, vamos a tratar de demostar que el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal, este hecho se conoce como Paradoja D' Alembert. Para ello, vamos a comprobar que la integral del campo [math]p·\vec{n}·\vec{i}[/math] a lo largo de la circunferencia [math]ρ=1[/math] se anula, ya que si se verifica, supondría que al sumar la proyeccion de todas las fuerzas [math]p\vec{n}[/math] sobre la dirección [math]\vec{i}[/math] la resultnte es nula.

Sea [math]\vec{n}[/math] un vector normal a la curva, esto es:[math]\vec{n}=\vec{-e_p}[/math]. Expresamos el vector [math]\vec{i}[/math] en coordenadas de la basa física cilíndrica, resultando [math]cos(\theta)\vec{e_ρ}-sen(\theta)\vec{e_θ}[/math]

El campo de presiones para [math]ρ=1[/math] es [math]p=[10-(\sqrt{2}-2·sin(θ))^2][/math]

Así [math]\int p \vec{n} \vec{i}[/math] es:

[math]\int_{0}^{2\pi} \left[(10-(\sqrt{2}-2·sin(θ))^2\right)·[-cosθ]dθ=0 [/math]