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Deprecated: The each() function is deprecated. This message will be suppressed on further calls in /home/mat/public_html/w/includes/diff/DairikiDiff.php on line 434
| − | {{ TrabajoED | Comportamiento de un fluido sometido a campos escalares y vectoriales. Grupo 16-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Álvaro Herrera Fernández, Raúl Lacruz Rodriguez, Jose Martín De los Rios, Bernabé Domene Lupiañez}}</nowiki></pre>
| + | Teoría de Campos es una asignatura del tercer semestre del [[:Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial|Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]. En este espacio se presentarán los trabajos de la asignatura. Como ayuda pueden consultarse abajo algunos artículos relacionados con la visualización de campos escalares y vectoriales. Se recomienda también el material correspondiente a gráficos del curso de introducción a la programación <ref>[//mat.caminos.upm.es/wiki/Curso_de_Introducción_a_la_Programación Curso de introducción a la programación]</ref> y del curso <ref>[//sites.google.com/site/carloscastroba/infomtica/ Material docente del curso de Introducción a la programación con Matlab/Octave]</ref>. |
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| − | ==INTRODUCCIÓN==
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| − | Con este proyecto buscamos analizar y visualizar tanto campos escalares como vectoriales (vistos durante en grado) en fluidos. En nuestro caso tendremos un fluido incompresible cuyo caudal fluctúa a través de un canal de paredes horizontales rectas y a su vez sometido a tres campos, dos escalares: presión y temperatura, y uno vectorial, velocidad.
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| − | La cinemática de los fluidos trata del movimiento de los mismos sin considerar las causas que lo forman. Se especializa en las trayectorias, velocidades y aceleraciones. A su vez, sabemos que un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo, y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición.
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| − | Para la realización del trabajo nos apoyamos el programa informático Matlab el cual nos ayudó a visualizar el comportamiento del fluido a través de gráficos.
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| − | ==SUPERFICIE DE TRABAJO==
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| − | La superficie en la que nos vamos a basar va a ser [0,8]x[0,1] en <math>\{\vec{j} {,} \vec{k} \}</math>, por lo que trabajamos en el plano x=0, entonces definimos la y en [0,8] y la z en [0,1], aunque el eje z lo definimos como [-1,2].
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| − | Para obsérvalo vamos a recurrir a octave:
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| − | {{matlab|codigo=
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| − | y=0:0.05:8;
| + | |
| − | z=0:0.05:1;
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| − | [yy,zz]=meshgrid(y,z);
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| − | figure(1);
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| − | mesh(yy,zz,0*yy);
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| − | grid on
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| − | axis([0,8,-1,2]);
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| − | view(2);
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| − | }}
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| − | La superficie de trabajo es la que se muestra en la siguiente imagen:
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| − | [[Archivo:Grafico 1.jpeg|400px|miniaturadeimagen|centro|Superficie de trabajo. Mallado]]
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| − | ==ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ESTACIONARIA==
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| − | En dinámica de fluidos , las ecuaciones de Navier-Stokes son ecuaciones que describen el movimiento tridimensional de sustancias fluidas viscosas.
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| − | Se pueden usar para predecir el clima, las corrientes oceánicas, el flujo de agua en una tubería o en un reactor, el estudio del flujo sanguíneo y muchas otras cosas como el diseño de submarinos.
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| − | En este epígrafe, en concreto, trataremos de demostrar que el campo de velocidad y el campo de presión al que está sometido el fluido verifica la ecuación estacionaria de Navier-Stokes, esto supondría que el fluido es incompresible pues estas ecuaciones determinan el comportamiento de los fluidos newtonianos, esto es, un fluido cuya resistencia a deformaciones puede considerarse constante en el tiempo. | + | |
| − | | + | |
| − | La ecuación estacionaria de Navier-Stokes es la siguiente:
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| − | <center><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> <br /></center>
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| − | Trabajando en componentes tenemos que:
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| − | <math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\vec{e_i} </math> , <math>\Delta\vec {u}=u_i\vec{e_i}</math>,
| + | |
| − | <math>\vec{u}=u_i\vec{e_i}</math>
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| − | En nuestro caso, <math>\vec{u}(y,z)=f(z)\vec{j} </math> es el campo vectorial velocidad , <math>\ p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)</math> es el campo de presiones del fluido y <math>μ</math> es la viscosidad del fluido.
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| − | Para la demostración, se trabajará en componentes respecto de la base cartesiana <math>\{\vec{j} {,} \vec{k} \}</math>.
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| − | El primer térmido de la ecuación será:
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| − | <center><big><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix}{\frac{\partial u_1}{\partial y}}&{\frac{\partial u_1}{\partial z}}\\{\frac{\partial u_2}{\partial y}}&{\frac{\partial u_2}{\partial z}}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} </math></big></center>
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| − | Susutituyendo, nuestro campo y operando tenemos:
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| − | <center><big><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix} 0 & f'(z) \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} f(z) \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></big></center>
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| − | | + | |
| − | Cálculamos ahora, el gradiente del campo de presiones, <math>\nabla p</math>, siendo <math>\ p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)</math>
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| − | | + | |
| − | <center><math>\nabla p=\begin{pmatrix} \frac{\partial p}{\partial x}\\ \frac{\partial p}{\partial y}\\ \frac{\partial p}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}</math></center>
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| − | | + | |
| − | Por último, calculamos el Laplaciano,<math>\Delta\vec{u} </math> , del campo de velocidades, <math>\vec{u}(y,z)=f(z)\vec{j} </math>. Para calcularlo, utilizaremos la siguiente fórmula:
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| − | | + | |
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| − | <center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>
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| − | <center>''La elección de utilizar esta expresión para calcular el Laplaciano, y no calcularlo como el gradiente de la divergencia, es porque entre sus términos, además de la divergencia, aparece el rotacional; operadores que se desarrollaran y serán útiles a lo largo del artículo.''</center>
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| − | 1. Cálculo de la divergergencia:
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| − | <center><math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial y}+\frac{\partial u_2}{\partial z} =0</math></center>
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| − | | + | |
| − | Así <math>\nabla(\nabla \cdot \vec{u})=0</math>
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| − | <center><font color="00 80 00">'''¿Qué siginifica que la divergencia sea nula?'''</font> </center>
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| − | De este resultado, que a priori, se puede interpretar como una casualidad, se deduce que el fluido es incompresible, pues la condición de incompresibilidad es <math>\nabla \cdot \vec{u}=0</math>. Teniendo en cuenta que la divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo, ésta al ser nula, implica que el movimiento de las partículas no afecta al volumen, coincidiendo con la definición dada de fluido incompresible.
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| − | 2. Cálculo del rotacional:
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| − | <center> <math>\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & f(z) & 0 \end{vmatrix}=-f'(z)\vec{i}</math></center>
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| − | 3. Cálculo de <math>\nabla\times(\nabla\times\vec u)</math>
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| − | <center><math>\nabla\times(\nabla\times\vec u)= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ -f'(z) & 0 & 0 \end{vmatrix}= -f''(z)\vec{j}</math></center>
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| − | | + | |
| − | Sustituimos los resultados anteriores en <math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math>, obtenemos que:
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| − | <center><math>\Delta\vec{u}=f''(z)\vec{j}</math></center>
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| − | | + | |
| − | Sustituimos por último, todos los términos en la expresión de la ecuación de Navier-Stokes estacionaria <math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math>; resultando:
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| − | | + | |
| − | | + | |
| − | <center><math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}=μ\begin{pmatrix} f''(z) \\ 0 \end{pmatrix}</math></center>
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| − | | + | |
| − | Por lo que:
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| − | <center><math>f''(z)=\frac{p_2-p_1}{μ}=\frac{p_1-p_2}{-μ}</math></center>
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| − | Para averiguar f(z) tenemos que integrar 2 veces sobre <math>\frac{p_1-p_2}{-μ}</math>. Al hacerlo y sabiendo que la velocidad tiene que ser nula en los bordes, por lo que tiene que ser nula en z=0 y z=1, entonces:
| + | |
| − | | + | |
| − | <center><math>f(z)=-(z^2-z)\frac{p_1-p_2}{2μ}</math></center>
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| − | ==CAMPO DE VELOCIDADES==
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| − | Para la representación del campo se han tomado los siguientes valores:
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| − | | + | |
| − | <center><math>p_1=2 \ {,} \ p_2=1 \ {,} \ μ=1</math></center>
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| − | | + | |
| − | Sustituyendo en la expresión del campo obtenemos:
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| − | <center><math>\vec{u}(y,z)=\frac{z^2-z}{-2}\vec{j}</math></center>
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| − | | + | |
| − | Para su representación se ha implementado en Octave, el siguiente código:
| + | |
| − | {{matlab|codigo=
| + | |
| − | [Y,Z] = meshgrid([0:0.25:8],[0:0.1:1]);
| + | |
| − | uy=inline('((z.^2-z))./(-2)','y','z');
| + | |
| − | uz=inline('0.*y','y','z');
| + | |
| − | U=uy(Y,Z);
| + | |
| − | V=uz(Y,Z);
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| − | axis([0,8,-1,2]);
| + | |
| − | quiver(Y,Z,U,V);
| + | |
| − | }}
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| − | Resultando el siguiente gráfico:
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| − | [[Archivo:VELOCIDAD.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro| Campo de velocidad del fluido]]
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| − | <center><font color="80 00 00">'''INTERPRETACIÓN'''</font> </center>
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| − | Lo primero que observamos, es que la velocidad es nula en las paredes del canal pues en <math>z=1</math> y <math>z=0</math> no existen líneas de campo, como ya habíamos demostrado analíticamente. Además, en las deducciones previas habíamos asegurado que la velocidad sería paralela a las paredes del canal, cosa que también observamos en la gráfica, pues las líneas de campo son paralelas a las rectas <math>z=1</math> y <math>z=0</math> que coincen con las paredes del canal.
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| − | Por otro lado, se observa que la velocidad máxima se alcanza en <math>z=1/2</math>, justo en el centro del canal, como a continuación se demuestra analíticamente.
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| − | === CÁLCULO DE LA VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO===
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| − | Los puntos de velocidad máxima se obtinen igualando a 0, la primera derivada parcial del campo:
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| − | <center><math>\vec{u}(y,z)=\frac{z^2-z}{-2}\vec{j} \mapsto \frac{\partial \vec{u}} {\partial y}=0 \ {,} \ \frac{\partial \vec{u} }{\partial z}=z-1/2 </math></center>
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| − | | + | |
| − | Igualando a 0, las derivadas anteriores, obtenemos que la velocidad máxima se obtienen en los puntos de la recta <math>z=1/2</math>, tal como se había comentado en la interpretación gráfica.
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| − | ==CAMPO DE PRESIONES==
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| − | El campo de presiones al que está sometido nuestro fluido es un campo escalar, con las siguiente expresión:
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| − | <center><math> p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)</math></center>
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| − | Para representarlo gráficamente se consideran nuevamente los valores:
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| − | <math>p_1=2 \ {,} \ p_2=1 \ {,} \ μ=1</math>
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| − | .Obteniendo, por tanto:
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| − | <center><math> p(x,y)=2-(y-1)=3-y</math></center>
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| − | Implementado el código siguiente en Octave:
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| − | {{matlab|codigo=
| + | |
| − | y=0:0.05:8;
| + | |
| − | z=0:0.05:1;
| + | |
| − | [Y,Z]=meshgrid(y,z);
| + | |
| − | figure 1
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| − | p=3-Y
| + | |
| − | surf(Y,Z,p)
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| − | view(2)
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| − | axis([0,8,-1,2])
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| − | }}
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| − | Obtenemos el siguiente gráfico:
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| − | [[Archivo:PRESIÓN.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro| Campo de presiones del fluido]]
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| − | <center> <font color="D2 69 1E">'''INTERPRETACIÓN'''</font> </center>
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| − | En el gráfico se observa que a medida que el fluido avanza por el canal la presión va disminuyendo. Pues las presiones altas están representadas con colores cálidos (amarillo hacia azules), y las presiones más bajas con colores fríos (azules hacia morados). Esto es así, porque para mantener el caudal de un fluido viscoso estable debe mantenerse una diferencia de presiones entre las paredes del canal, esta diferencia de presión es necesaria debida a la fuerza de arrastre o frenada que ejerce el canal sobre la capa de fluido en contacto con él. Y la que ejerce cada capa de fluido sobre la adyacente que se está moviendo con distinta velocidad. Estas fuerzas de arrastre o de frenado se denominan fuerzas viscosas. El resultado de su presencia, hace que la velocidad del fluido no sea constante a lo largo del canal siendo mayor cerca del centro y menor cerca de las paredes tal como se explicó y demostró en el punto anterior.
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| − | ==ROTACIONAL==
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| − | Para calcular el rotacional del campo, utilizamos la siguiente expresión:
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| − | | + | |
| − | <center> <big> <math>\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{(z^2-z)\cdot(p_1-p_2)}{-2μ} & 0 \end{vmatrix}</math></big></center>
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| − | Operando obtenemos, que: <math>\nabla\times\vec{u}=(2z-1)\frac{(p_1-p_2)}{2μ}\vec{k}</math>, sustituyendo los valores:
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| − | <center><math>p_1=2 \ {,} \ p_2=1 \ {,} \ μ=1</math></center>
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| − | Tenemos que:
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| − | <math>\nabla\times\vec u=y\vec{i}</math>, siendo el módulo del rotacional, <math>\left | \nabla\times\vec u \right |=z-1/2</math>, como se observa en la expresión, depende del valor de <math>z</math>. Tomando los valores máximos en los extremos del intervalo en el que está definido <math>z</math>, <math> [0,1]</math>, y el valor mínimo en <math>z=1/2</math>
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| − | Para visualizar esto de manera gráfica, nuevamente recurrimos a Octave,
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| − | {{matlab|codigo=
| + | |
| − | y=0:0.05:8;
| + | |
| − | z=0:0.05:1;
| + | |
| − | [Y,Z]=meshgrid(y,z);
| + | |
| − | rota=abs(Z-1/2);
| + | |
| − | surf(Y,Z,rota)
| + | |
| − | axis([0,8,-1,2])
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| − | view(2)
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| − | }}
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| − | Resultando el siguiente gráfico, donde se representa el rotacional:
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| − | [[Archivo:ROTACIONAL.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo velocidad]]
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| − | <center> <font color="00 80 80">'''INTERPRETACIÓN'''</font> </center>
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| − | El rotacional muestra la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Por otra parte, el rotacional caracteriza la rotación de un fluido, por lo que en los extremos del canal el efecto de giro será máximo, particularizando en <math>z=1</math> tendrá el valor máximo en el sentido positivo de <math>\vec{i}</math> , lo que implica rotaciones en sentido antihorario, y en <math>z=0</math> alcanzará también el valor máximo, pero en el sentido negativo de <math>\vec{i}</math> ,lo que provocará rotaciones en sentido horario. Para el valor <math>z=1/2</math>, que es un valor intermedio el rotacional es nulo y este punto coindice con la velocidad máxima.
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| − | Con esto quedan demostradas, las hipótesis anteriores, pues en el gráfico los puntos con mayor tendencia a la rotación aparecen representados con colores cálidos, amarillos hacia verde azulado, y los puntos con menor tendencia a la rotación aparecen representados con colores fríos, azules. Situados los primeros, en torno a las paredes del canal y los segundos en torno al centro del canal, <math>z=0</math>, <math>z=1</math> e <math>z=1/2</math>, respectivamente.
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| | + | Se ruega seguir las siguientes recomendaciones: |
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| | + | # Cada artículo debe iniciarse con una etiqueta que contenga la información del grupo. Se ruega editar esta página y copiar la plantilla que aparece a continuación, cambiando el título del trabajo e incluyendo nuestros nombres (el resto debe dejarse tal y como está): |
| | + | <pre><nowiki>{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 6-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Nuestros nombres }}</nowiki></pre> |
| | + | # Los artículos sobre los trabajos de la asignatura no deben ser una sucesión de preguntas y respuestas. Más bien hay que hacer una exposición en la que se planteen y resuelvan las cuestiones del trabajo. Dicho de otro modo, debe ser más un documental que una entrevista. |
| | + | # Los artículos deben ser autocontenidos y explicar bien el problema planteado. Es recomendable usar secciones para estructurar el trabajo y hacerlo más atractivo. La presentación será muy valorada. |
| | + | # El nombre elegido por cada artículo debe describir brevemente el problema. Por ejemplo, un título adecuado es: 'Deformaciones de una placa rectangular en 2-D (Grupo 7A)'. Un título poco adecuado es: 'Trabajo del grupo 7A' |
| | + | # Los artículos están orientados a visualización e interpretación. Por tanto, debe haber gráficas y todas ellas deben estar adecuadamente interpretadas. |
| | + | # Se deben incluir los programas con los que se han obtenido las gráficas. |
| | + | # Mirar los artículos escritos como ayuda. Se puede cortar y pegar de ellos para facilitar el trabajo. |
| | + | # Mirar la ayuda sobre cómo crear artículos que se encuentra en la página principal de MateWiki. |
| | + | # Para que el artículo aparezca publicado en esta categoría (Teoría de Campos) es necesario que al final del artículo se incluya la siguiente línea: |
| | <pre><nowiki>[[Categoría:Teoría de Campos]]</nowiki></pre> | | <pre><nowiki>[[Categoría:Teoría de Campos]]</nowiki></pre> |
| | <pre><nowiki>[[Categoría:TC22/23]]</nowiki></pre> | | <pre><nowiki>[[Categoría:TC22/23]]</nowiki></pre> |
(Editar alguno de los artículos de esta categoría para ver cómo hay que ponerlo.)
