Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)

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Trabajo realizado por estudiantes
Título Coordenadas Cilíndricas Parabólicas. Grupo 03
Asignatura Teoría de Campos
Curso 2025-26
Autores
  • Mikel Ugarte Janeiro
  • Juan Félix Aguilar Romero
  • Ernesto Pastor González
  • Alejandro Santisteban Sancho
  • Alejandro Vaquero Giménez
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Descargar póster pinchando aquí

Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de representación de puntos en el espacio, el cual se basa en la representación cilíndrica y en la forma parabólica para describir la posición de puntos de manera específica. Estas coordenadas resultan muy convenientes para el estudio de campos en los que vemos implicadas geometrías parabólicas.
Su repercusión en la ingeniería es notable y su uso es frecuente, debido a las características que presenta la parábola y sus propiedades tan resaltables. La relación que existe entre las coordenadas cartesianas y las cilíndricas parabólicas es la siguiente (con u>0):

[math] \begin{cases} x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = uv \\ x_3 = z \end{cases} [/math]



Contenido

1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 en coordenadas cartesianas

1.1 Lineas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧

Conocidas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) y las coordenadas cartesianas ( \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\)), las parametrizaciones de las líneas coordenadas (en cartesianas) se calculan variando uno de los tres parámetros (u, v, z) y manteniendo los otros dos constantes para cada una de las tres líneas coordenadas.


[math] \gamma_u(t): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = tv \\ x_3 = z \end{cases} [/math]


[math] \gamma_v(t): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\ x_2 = ut \\ x_3 = z \end{cases} [/math]


[math] \gamma_z(t): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = uv \\ x_3 = t \end{cases} [/math]


Las líneas coordenadas asociadas a u y a v tienen forma de parábolas, mientras que la asociada a z es una recta vertical.

1.2 Programas MATLAB y representaciones gráficas


Representación lineas coordenadas
clear; clc; close all;

% Dibujo de lineas coordenadas gamma_u y gamma_v en plano x_3=0
figure;
hold on; 
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
title('Lineas coordenadas \gamma_u y \gamma_v en el plano x_3=0');

% Curva gamma_u (fijamos v0) 
v0 = 1; 
u = linspace(0.01,5,400);
x1 = (u.^2 - v0^2)/2;
x2 = u .* v0;
plot(x1, x2, 'LineWidth', 2);

% Curva gamma_v (fijamos u0)
u0 = 1;        
v = linspace(0.01,5,400);
x1_v = (u0^2 - v.^2)/2;
x2_v = u0 .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'LineWidth', 2);

legend(['\gamma_u (v = 1)'], ...
       ['\gamma_v (u = 1)'], ...
       'Location','best');

hold off;


Representación lineas coordenadas
clear; clc; close all;

% Valores de u y v para curvas gamma_v y gamma_u
u_vals = linspace(0.1, 2, 5); 
v_vals = linspace(0.1, 2, 5); 

figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u con v fijo para diferentes valores de v_fixed)
for v_f = v_vals
    u = linspace(0.1, 2, 100);
    x1_u = (u.^2 - v_f^2) / 2;
    x2_u = u .* v_f;
    plot(x1_u, x2_u,'r','LineWidth', 1.5);
end

% Curvas gamma_v (variando v con u fijo para diferentes valores de u_fixed)
for u_f = u_vals
    v = linspace(0.1, 2, 100); % Resolución de v
    x1_v = (u_f^2 - v.^2) / 2;
    x2_v = u_f .* v;
    plot(x1_v, x2_v,'b', 'LineWidth', 1.5);
end

% Representación gráfica
title('Lineas coordenadas \gamma_u (para distintos valores de v) y \gamma_v (para distintos valores de u )');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'Curvas \gamma_u (u)', 'Curvas \gamma_v (v)'});
grid on;
axis equal;
hold off;


2 Campos velocidad, factores de escala y vectores tangentes de las líneas coordenadas [math]\gamma'_u, \gamma'_v, \gamma'_z[/math]

2.1 Campos velocidad


Denotamos con [math]\vec{r}_u, \vec{r}_v, \vec{r}_z[/math] a las parametrizaciones vectoriales asociadas a [math]\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z[/math], respectivamente.

El vector velocidad se obtiene como [math]\vec{r}'_i (t) = \frac{\partial x_1}{\partial i} \vec{i} + \frac{\partial x_2}{\partial i} \vec{j} + \frac{\partial x_3}{\partial i} \vec{k}[/math] .


[math]\gamma_u (t) = \underbrace{( t, v, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{t²-v²}{2}, tv, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_u (t) = u \vec{i} + v \vec{j}[/math]
[math]\gamma_v (t) = \underbrace{( u, t, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-t²}{2}, ut, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_v (t) = -v \vec{i} + u \vec{j}[/math]
[math]\gamma_z (t) = \underbrace{( u, v, t )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-v²}{2}, uv, t)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_z (t) = \vec{k}[/math]


Siendo [math]\vec{r}'_u (t), \vec{r}'_v (t), \vec{r}'_z (t),[/math] definidos anteriormente, los vectores velocidad asociados a las parametrizaciones [math]\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z[/math].


2.2 Factores de escala [math]h_u , h_v , h_z[/math]


Definimos los factores de escala como los módulos de las velocidades calculadas en el apartado anterior.


[math]h_u = |\vec{r}'_u (t)| = \sqrt{u² + v²}[/math] , [math] \qquad h_v = |\vec{r}'_v (t)| = \sqrt{u² + v²}[/math] , [math] \qquad h_z = |\vec{r}'_z (t)| = 1[/math]


2.3 Vectores tangentes


Los vectores tangentes, de forma genérica, quedan definidos como [math]\quad \vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|} \quad[/math] en este caso [math]\quad \vec{e}_i = \frac{\vec{r}'_i}{h_i}.[/math]


[math]\vec{e}_u = \frac{\vec{r}'_u}{|\vec{r}'_u (t)|} = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}[/math]
[math]\vec{e}_v = \frac{\vec{r}'_v}{|\vec{r}'_v (t)|} = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}[/math]
[math]\vec{e}_z = \frac{\vec{r}'_z}{|\vec{r}'_z (t)|} = \vec{k}[/math]


Siendo [math]\vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z[/math] los vectores tangentes a las lineas coordenadas [math]\Gamma_u, \Gamma_v, \Gamma_z ,[/math] respectivamente.


Representación de líneas coordenadas y vectores tangentes
clear; clc; close all;

% Parámetros
u = 1;
v = 1;
z = 0;
t = linspace(0, 3, 100);

% Curva coordenada gamma_u (varía u)
gamma_u = {t, v, z};

% Curva coordenada gamma_v (varía v)
gamma_v = {u, t, z};

% Transformación parabólica
x1_u = (gamma_u{1}.^2 - gamma_u{2}^2)/2;
x2_u = gamma_u{1} .* gamma_u{2};

x1_v = (gamma_v{1}^2 - gamma_v{2}.^2)/2;
x2_v = gamma_v{1} .* gamma_v{2};

% Punto base
x1 = (u^2 - v^2)/2;
x2 = u*v;

% Vectores unitarios
h = sqrt(u^2 + v^2);
e_u = [u/h, v/h, 0];
e_v = [-v/h, u/h, 0];

% Paleta de colores
color_u = [0.4 0.6 0.8];  
color_v = [0.9 0.5 0.4];
color_eu = [0 0.4470 0.7410];   
color_ev = [0.8500 0.3250 0.0980];

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
r_u = plot(x1_u, x2_u, 'color', color_u, 'LineWidth', 1.5);
r_v = plot(x1_v, x2_v, 'color', color_v, 'LineWidth', 1.5);

% Dibujar vectores unitarios
e_u = quiver(x1, x2, e_u(1), e_u(2), 0, 'color', color_eu, 'LineWidth', 1.5);
e_v = quiver(x1, x2, e_v(1), e_v(2), 0, 'color', color_ev, 'LineWidth', 1.5);


title('Vectores e_u y e_v');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
legend([r_u, r_v, e_u, e_v], {'Línea coordenada u', 'Línea coordenada v', 'Vector e_u', 'Vector e_v'});
grid on; 
axis equal;
hold off;



2.4 Ortonormalidad


Para comprobar que se trata de una base ortonormal primero se debe cumplir la ortogonalidad, comprobándose mediante el producto escalar de los vectores de la base, que deben quedar ortogonales dos a dos.


[math]\vec{e}_u · \vec{e}_v = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·\left(-\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\right) + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·\frac{u}{\sqrt{u²+v²}} = 0[/math]
[math]\vec{e}_u · \vec{e}_z = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1= 0[/math]
[math]\vec{e}_v · \vec{e}_z = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1 = 0[/math]


Como se puede comprobar se trata de una base ortogonal.

Depués se comprueba que los vectores son unitarios, que como se han obtenido de la expresión [math]\vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|},[/math] por definición, lo son. Así queda comprobada la ortonormalidad de la base [math]\left\{ \vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z \right\}[/math].


2.5 Orientación


Para comprobar la orientación de la base se hace el producto vectorial de los dos primeros vectores de la base, de esta manera: [math]\vec{e}_u \times \vec{e}_v .[/math] Si el producto resulta el tercer vector de la base [math]\left( \vec{e}_z \right)[/math] entonces se considera la base orientada positivamente, si por el contrario nos da su opuesta [math]\left( -\vec{e}_z \right)[/math] se considera orientada negativamente.


[math]\vec{e}_u \times \vec{e}_v = \left| \begin{matrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0\end{matrix} \right| = \frac{u²}{u² + v²}\vec{k} - \frac{(-v)v}{u² + v²}\vec{k} = \vec{k} = \vec{e}_z[/math]


Como se comprueba, la base esta orientada positivamente.


3 Matrices de cambio de base [math]Q[/math] y [math]Q^{-1}[/math]


3.1 Cambio de cilíndricas parabólicas a cartesianas

La matriz de cambio de coordenadas cilíndricas parabólicas a coordenadas cartesianas se construye colocando en columnas las coordenadas en cartesianas de los vectores de la base cilíndrica parabólica de esta manera:


[math]Q = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/math]


3.2 Cambio de cartesianas a cilíndricas parabólicas

Al tratarse de una matriz que representa un cambio de coordenadas entre bases ortonormales, la matriz inversa ([math]Q^{-1}[/math]) es igual a la traspuesta ([math]Q^{t}[/math]), resultando la matriz de cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas parabólicas así:


[math]Q^{-1} = Q^{t} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/math]


4 Campo de posición [math]\vec{r}[/math]

4.1 Expresion del campo de posición en cartesianas


Para encontrar el campo de posición en la base cilíndrica parabólica se emplean las coordenadas conocidas en la base cartesiana. Como se ha calculado previamente la matriz de cambio de coordenadas en cartesianas a cilíndricas parabólicas, denotada [math]Q^{-1}[/math], se puede calcular de forma directa:


[math]h = h_u = h_v = \sqrt{u² + v²}[/math]


[math]\begin{pmatrix} v_u \\ v_v \\ v_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{u}{h} & \frac{v}{h} & 0 \\ -\frac{v}{h} & \frac{u}{h} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{v}{h} uv \\ -\frac{v}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{u}{h} uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{uh}{2} \\ \frac{vh}{2} \\ z \end{pmatrix}[/math]


Sustituyendo h resulta:


[math]\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z[/math]


5 El Gradiente en Coordenadas Cilíndrico-Parabólicas

5.1 Definición del sistema de coordenadas


Las coordenadas cilíndrico-parabólicas \((u, v, z)\) se relacionan con las cartesianas \((x, y, z)\) mediante:

[math] x = \frac{1}{2}(u^2 - v^2), \quad y = uv, \quad z = z [/math]

donde \(u \geq 0\), \(v \geq 0\), \(z \in \mathbb{R}\).

5.2 Factores de escala


[math] h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1 [/math]

5.3 Fórmula del gradiente


Para un campo escalar \(f(u, v, z)\), el gradiente en coordenadas cilíndrico-parabólicas es:

[math] \nabla f = \frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} \vec{e}_u + \frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} \vec{e}_v + \frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} \vec{e}_z [/math]

Sustituyendo los factores de escala:

[math] \nabla f = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \frac{\partial f}{\partial u} \vec{e}_u + \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \frac{\partial f}{\partial v} \vec{e}_v + \frac{\partial f}{\partial z} \vec{e}_z [/math]

5.4 Aplicación al campo \(f(x_1, x_2, x_3) = x_2\)


5.5 Paso 1: Convertir a coordenadas cilíndrico-parabólicas


Dado que \(x_2 = y\) en coordenadas cartesianas, y en cilíndrico-parabólicas \(y = uv\):

[math] f(u, v, z) = uv [/math]

5.6 Paso 2: Punto en coordenadas cartesianas


Punto dado: \((x_1, x_2, x_3) = (0, 1, 1)\) en cartesianas.

Convertimos a cilíndrico-parabólicas: [math] \begin{cases} x = 0 = \frac{1}{2}(u^2 - v^2) \\ y = 1 = uv \\ z = 1 \end{cases} [/math]

Resolviendo: [math] u^2 - v^2 = 0 \Rightarrow u = v \quad \text{(ya que } u, v \geq 0\text{)} [/math] [math] u \cdot u = 1 \Rightarrow u^2 = 1 \Rightarrow u = 1, \quad v = 1 [/math]

Por tanto, el punto en cilíndrico-parabólicas es: \((u, v, z) = (1, 1, 1)\)

5.7 Paso 3: Calcular derivadas parciales


[math] \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{\partial (uv)}{\partial u} = v [/math]

[math] \frac{\partial f}{\partial v} = \frac{\partial (uv)}{\partial v} = u [/math]

[math] \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial (uv)}{\partial z} = 0 [/math]

5.8 Paso 4: Aplicar fórmula del gradiente


[math] \nabla f = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} (v) \vec{e}_u + \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} (u) \vec{e}_v + 0 \cdot \vec{e}_z [/math]

5.9 Paso 5: Evaluar en el punto (1, 1, 1)


En \(u = 1\), \(v = 1\): [math] \sqrt{u^2 + v^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} [/math]

[math] \nabla f(1, 1, 1) = \frac{1}{\sqrt{2}} (1) \vec{e}_u + \frac{1}{\sqrt{2}} (1) \vec{e}_v [/math]

[math] \nabla f(1, 1, 1) = \frac{1}{\sqrt{2}} \vec{e}_u + \frac{1}{\sqrt{2}} \vec{e}_v [/math]

5.10 Paso 6: Magnitud del gradiente


[math] |\nabla f| = \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1 [/math]

5.11 Resultado final


El gradiente de \(f(x_1, x_2, x_3) = x_2\) en el punto cartesiano \((0, 1, 1)\) expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas es:

[math] \boxed{\nabla f = \frac{1}{\sqrt{2}} \vec{e}_u + \frac{1}{\sqrt{2}} \vec{e}_v} [/math]

con magnitud 1.

5.12 Interpretación geométrica


El gradiente apunta en la dirección de máximo crecimiento de \(f = x_2 = y\). En el punto \((0, 1, 1)\), esto corresponde a moverse en el plano \(xy\) aumentando la coordenada \(y\).

5.13 Visualización


Representación gráfica del gradiente
clear; clc; close all;

% Punto de interés
u0 = 1; v0 = 1; z0 = 1;

% Crear malla alrededor del punto
[u, v] = meshgrid(0.5:0.1:1.5, 0.5:0.1:1.5);

% Campo escalar f = uv
f = u .* v;

% Gradiente teórico en el punto
grad_u = 1/sqrt(2);
grad_v = 1/sqrt(2);

% Graficar
figure('Position', [100, 100, 800, 400])

% Subplot 1: Superficie y gradiente
subplot(1,2,1)
surf(u, v, f, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7);
hold on
% Punto de interés
scatter3(u0, v0, u0*v0, 100, 'r', 'filled');
% Vector gradiente
quiver3(u0, v0, u0*v0, grad_u, grad_v, 0, ...
        'LineWidth', 2, 'Color', 'k', 'MaxHeadSize', 0.5);
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('f = uv');
title('Campo escalar f = uv');
grid on; view(45, 30);

% Subplot 2: Curvas de nivel y gradiente
subplot(1,2,2)
contour(u, v, f, 10, 'LineWidth', 1.5);
hold on
% Punto de interés
scatter(u0, v0, 100, 'r', 'filled');
% Vector gradiente
quiver(u0, v0, grad_u, grad_v, ...
       'LineWidth', 2, 'Color', 'k', 'MaxHeadSize', 0.3);
xlabel('u'); ylabel('v');
title('Curvas de nivel y gradiente');
grid on; axis equal;


6 Divergencia

6.1 Fórmula genérica


La divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en el campo que queremos estudiar:

[math] div(\vec{F})=\nabla \cdot \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right] [/math] El resultado escalar nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a emanar o converger en un punto.

6.2 Campo vectorial \(\vec{r}\) y factores de escala que vamos a usar


[math]\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z[/math]

[math] h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad h_z = 1. [/math]

6.3 Sustituimos en la fórmula


[math] h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2[/math] [math] \xrightarrow{} [/math]

[math]div(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right][/math]

6.4 Calculamos cada término


  • Primer término:

[math] h_v h_z F_u = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{u\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{u(u^2+v^2)}{2} [/math] [math] \frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{u(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + u \cdot 2u\right] = \frac{3u^2+v^2}{2} [/math]

  • Segundo término:

[math] h_u h_z F_v = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{v\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{v(u^2+v^2)}{2} [/math] [math] \frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{v(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + v \cdot 2v\right] = \frac{u^2+3v^2}{2} [/math]

  • Tercer término:

[math] h_u h_v F_z = (u^2+v^2) \cdot z [/math] [math] \frac{\partial}{\partial z}\left[(u^2+v^2) \cdot z\right] = u^2+v^2 [/math]

6.5 Sumamos los términos


[math] \frac{3u^2+v^2}{2} + \frac{u^2+3v^2}{2} + (u^2+v^2) = \frac{4u^2+4v^2}{2} + (u^2+v^2) [/math] [math] = 2(u^2+v^2) + (u^2+v^2) = 3(u^2+v^2) [/math]

6.6 Aplicamos el factor común


[math] div(\vec{r}) = \frac{1}{u^2+v^2} \cdot 3(u^2+v^2) = 3 [/math]

6.7 Resultado final


Sustituimos el resultado que hemos obtenido y obtenemos la divergencia:

[math] div(\vec{r}) = \nabla \cdot \vec{r} = 3 [/math]

7 Rotacional

7.1 Formula genérica


El rotacional en coordenadas cilindico-parabolicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente formula en el campo que queremos estudiar:

[math] rot( \vec{F})=\nabla \times \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right | [/math] El vector resultante nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a producir rotacion.

7.2 Campo vectorial \(\vec{r}\) y facrores de escala que vamos a usar


[math]\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z[/math]

[math] h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad h_z = 1. [/math]

7.3 Sustitucion en la formula


[math] h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2[/math] [math] \xrightarrow{} [/math]


[math]rot(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |[/math]

7.4 Resolucion del determinante


Componente [math] \vec{e_u} [/math] :

[math] \vec{e_u} =\frac{\partial}{\partial v}(h_z r_z) - \frac{\partial}{\partial z}(h_v r_v) [/math] [math] \xrightarrow{} [/math] [math] \vec{e_u} =0 - 0 [/math] [math] \xrightarrow{} [/math][math] \vec{e_u} =0 [/math]

Componete [math] \vec{e_v} [/math] :

[math] \vec{e_v} =\frac{\partial}{\partial z}(h_u r_u) - \frac{\partial}{\partial u}(h_z r_z) [/math] [math] \xrightarrow{} [/math] [math] (h_u r_u)[/math] y [math](h_z r_z)[/math] NO DEPENDEN DE z [math] \xrightarrow{} [/math][math] \vec{e_v} =0 [/math]

Componete [math] \vec{e_z} [/math] :

[math] \vec{e_z} =\frac{\partial}{\partial u}(h_v r_v) - \frac{\partial}{\partial v}(h_u r_u) [/math] [math] \xrightarrow{} [/math] [math] \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v)=vu \\[6pt] \frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u)=uv \end{array} \right. [/math] [math] \xrightarrow{} [/math] [math] e_z = vu - uv [/math] [math] \xrightarrow{} [/math] [math] e_z =0 [/math]

7.5 Resultado final


Sustituimos los resultados que hemos obtenido de cada componente y obtenemos el vector rotacional:

[math] rot (\vec {r}) = \nabla × \vec{r}= 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v} + 0·\vec{e_z}= \vec {0} [/math]

8 Superficies de nivel

8.1 Diferentes superficies de nivel y su representación

Las superficies de nivel se obtienen al mantener constante una de las coordenadas del sistema de representación. Estas se definen por los siguientes campos escalares:

[math] f1=(u,v,z) = u, f2=(u,v,z) = v, f3=(u,v,z) = z, [/math]

Cada coordenada genera una familia de superficies en el espacio que se define como:


Manteniendo u fija (u=cte):

[math] u=u_0 \begin{cases} x=u_0*v\\ y=\frac{1}{2}*(v^2-u_0^2) \end{cases} [/math]
Obtenemos un paraboloide cóncavo, abierto hacia las y positivas.


Manteniendo v fija (v=cte):

[math] v=v_0 \begin{cases} x=u*v_0\\ y=\frac{1}{2}*(v_0^2-u^2) \end{cases} [/math]
Obtenemos un paraboloide convexo, abierto hacia las y negativas.


Manteniendo z fija (z=cte):

[math] z=z_0 [/math]
Obtenemos un plano paralelo al plano XY.



Al fijar dos coordenadas diferentes a la vez, obtenemos superficies parabólicas. Esto es lo que hace que al superponerlas se formen cilindros ,dando nombre al sistema de coordenadas (cilíndricas parabólicas).

8.2 Programa Matlab de las superficies de nivel


superficie de nivel asociada a u
superficie de nivel asociada a v
superficie de nivel asociada a z
clear; clc; close all;

%  Coordenadas cilíndricas parabólicas
%   x = (u^2 - v^2)/2
%   y = u*v
%   z = z

%  Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 40);
v = linspace(0, 2, 40);
z = linspace(0, 2, 40);


% SUPERFICIE 1: u= constante

u_const = 1;

% Mallado en (v,z)
[V1, Z1] = meshgrid(v, z);

% Ecuaciones paramétricas
X1 = (u_const^2 - V1.^2) / 2;
Y1 = u_const .* V1;

figure(1);
surf(X1, Y1, Z1, Z1, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);   
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: u= cte');
axis equal;
grid on;
view(15, 25);


% SUPERFICIE 2: v= constante

v_const = 1;

% Mallado en (u,z)
[U2, Z2] = meshgrid(u, z);

% Ecuaciones paramétricas
X2 = (U2.^2 - v_const^2) / 2;
Y2 = U2 .* v_const;

figure(2);
surf(X2, Y2, Z2, Z2, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: v= cte');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);


%  SUPERFICIE 3: z= cte

z_const = 1;

x_vals = linspace(-5, 5, 40);
y_vals = linspace(-5, 5, 40);

% Mallado en (u,v)
[X3, Y3] = meshgrid(x_vals, y_vals);

% Ecuación paramétrica
Z3 = z_const * ones(size(X3));

figure(3);
surf(X3, Y3, Z3, Z3, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: z = constante');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);


8.3 Superficies regladas

Las superficies regladas son superficies generadas por el movimiento de una recta, llamada generatriz, que se desplaza a lo largo de una o dos curvas llamadas directrices. Se usan en la ingeniería debido a su gran eficiencia y capacidad de generar superficies complejas a partir de elementos lineales como pueden ser las rectas.

8.4 Superficies regladas del sistema de representación

Las diferentes líneas coordenadas que generan las superficies de nivel están asociadas a superficies regladas. Estas superficies regladas están constituidas por una línea coordenada y un vector w(t) asociado a la curva.

En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas las curvas asociadas a u y v forman cilindros parabólicos y tienen un eje paralelo al eje Z, por lo que se contruyen mediante infinitas rectas paralelas a dicho eje. Estas generan una superficie idéntica a la superficie de nivel.
En el caso de la curva generada por z es un plano, y por lo tanto son infinitas rectas paralelas al eje X o al eje Y.


8.5 Programa Matlab de las superficies regladas


superficie reglada asociada a u
superficie reglada asociada a v
superficie reglada asociada a z
clear; clc; close all;

%  Coordenadas cilíndricas parabólicas
%   x = (u^2 - v^2)/2
%   y = u*v
%   z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
x_full = linspace(-5, 5, 80);



%  FIGURE 1: u= cte


u_const = 1;

figure(1); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: u = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
v_line = linspace(0, 2, 50);
x_line = (u_const^2 - v_line.^2)/2;
y_line = u_const .* v_line;
z_line = zeros(size(v_line));

plot3(x_line, y_line, z_line, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas al eje z
long_flecha = 0.5;

for k = 1:6:length(v_line)
    quiver3(x_line(k), y_line(k), 0, ...
            0, 0, long_flecha, ...
            'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1.0);
end




%  FIGURE 2: v= cte 


v_const = 1;

figure(2); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: v = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
u_line = linspace(0, 2, 50);
x_line2 = (u_line.^2 - v_const^2)/2;
y_line2 = u_line .* v_const;
z_line2 = zeros(size(u_line));

plot3(x_line2, y_line2, z_line2, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas a z
long_flecha2 = 0.7;

for k = 1:6:length(u_line)
    quiver3(x_line2(k), y_line2(k), 0, ...
            0, 0, long_flecha2, ...
            'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.5);
end




%  FIGURE 3: z= cte


figure(3); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: z = constante');
grid on; axis equal; view(-35, 20);

% Línea coordenada en y=0, z=0
x_line3 = x_full;
y_line3 = zeros(size(x_line3));
z_line3 = zeros(size(x_line3));

plot3(x_line3, y_line3, z_line3, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas horizontales en el plano XY
long_total = max(x_line3) - min(x_line3);
long_flecha3 = long_total * 0.45;

for k = 1:10:length(x_line3)
    quiver3(x_line3(k), 0, 0, ...
            0, long_flecha3, 0, ...  % flechas hacia +y
            'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.8);
end


8.6 Superficies regladas y su uso en la ingeniería

vista oeste de la cubierta reglada
superficie reglada con mínimo espesor
Torre formada con superficies regladas



En la ingeniería, las superficies regladas forman parte del desarrollo de gran cantidad de diseños y estructuras en las diferentes ramas. En la ingenieria aeronautica y aeroespacial, naval, mecánica y otras muchas es muy frecuente encontrarlas.

Específicamente en la ingeniería civil encontramos usos muy diversos de este recurso:


·Estructuras hiperbólicas

Las estructuras y las cubiertas hiperbólicas son empleadas debido a su eficacia y rigidez aun teniendo un espesor mínimo. Son construidas con materiales rectos muy económicos debido a su fácil producción. Algunos de los ejemplos más notables son:

Cubiertas de estadios (Dorton Arena, Carolina del norte)

Cubiertas de hormigón armado y pretensado (hipódromo de la Zarzuela, Madrid)

Estructuras laminares ligeras (Shukhov Tower, Moscú)

Marquesinas

Puentes y pasarelas con vigas reticuladas curvas



Otros ejemplos muy notables del uso que tienen las superficies regladas son las torres de refrigeración en plantas nucleares. Su forma es optima y permite ahorrar en el espesor de estas infraestructuras.


9 Curvatura

9.1 Fórmula Genérica

En geometría diferencial de curvas planas, la curvatura 𝜅 de una curva regular parametrizada por 𝑥↦(𝑥,𝑦(𝑥)) (es decir, vista como gráfico 𝑦=𝑦(𝑥)y=y(x)) se calcula con la fórmula estándar:

[math] \kappa(x)=\dfrac{|y''(x)|}{\bigl(1+(y'(x))^{2}\bigr)^{3/2}} . [/math]

Esta cantidad mide la “curvatura” instantánea de la curva en cada punto: valores grandes de 𝜅 indican curvatura pronunciada (radio de curvatura pequeño), valores pequeños indican curvatura suave (radio grande).

9.2 Curvatura de la superficie dada

Partiendo de las relaciones 𝑥=𝑢𝑣 calculando diferenciales,

[math] \mathrm{d}x = v,\mathrm{d}u + u,\mathrm{d}v,\qquad \mathrm{d}y = -u,\mathrm{d}u + v,\mathrm{d}v. [/math]

El elemento de línea en el plano xy resulta,

[math] \mathrm{d}s^{2}=\mathrm{d}x^{2}+\mathrm{d}y^{2}=(u^{2}+v^{2})(\mathrm{d}u^{2}+\mathrm{d}v^{2})+\mathrm{d}z^{2}. [/math]

De aquí se obtienen los factores de escala (o coeficientes métrico en coordenadas ortogonales)

[math] h_{u}=h_{v}=\sqrt{u^{2}+v^{2}},\qquad h_{z}=1. [/math]

La igualdad ℎ𝑢=ℎ𝑣 refleja la simetría del sistema en los parámetros 𝑢 y 𝑣 (ambos están asociados a parábolas congruentes en el plano).


Si tomamos la curva del plano (𝑧 fijo) dada por 𝑢=𝑢0 y parámetro 𝑣↦(𝑥(𝑣),𝑦(𝑣)), entonces:

[math] x(v)=u_{0}v,\qquad y(v)=\tfrac{1}{2}(v^{2}-u_{0}^{2}). [/math]

Sus derivadas son 𝑥′=𝑢0x′=u0​, 𝑦′=𝑣y′=v, 𝑥′′=0, 𝑦′′=1.


La curvatura (ordinaria) 𝜅 de una curva plana parametrizada por 𝑣 es:

[math] \kappa(v)=\dfrac{|x' y'' - y' x''|}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}=\dfrac{u_{0}}{(u_{0}^{2}+v^{2})^{3/2}}. [/math]

Análogamente, para la curva 𝑣=𝑣0 parametrizada por 𝑢 se obtiene:

[math] \kappa(u)=\dfrac{v_{0}}{(u^{2}+v_{0}^{2})^{3/2}}. [/math]

Así, las curvas coordenadas son parábolas con curvatura que depende inversamente de la potencia 3/2 de la distancia euclídea al origen en el plano (𝑢,𝑣).

9.3 Programa Matlab de la curvatura


curvatura de la parábola
Parábola con sus normales a la superficie
clear; clc; close all;

%   Curvatura de la parábola y= -A*x^2+ B   con x∈ [-1, 1]

A = 3;
B = 1;

% Dominio
x = linspace(-1, 1, 400);
y = -A*x.^2 + B;

% Derivadas
y1 = -2*A*x;
y2 = -2*A*ones(size(x));

% Curvatura
k = abs(y2) ./ (1 + y1.^2).^(3/2);

% Máximo y mínimo
[kmax, idx_max] = max(k);
x_max = x(idx_max);
y_max = y(idx_max);

[kmin, idx_min] = min(k);
x_min = x(idx_min);
y_min = y(idx_min);


% FIGURE 1: Parábola con la normal

figure(1); hold on; grid on; axis equal;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);

title('Parábola y campo de normales');
xlabel('x'); ylabel('y');

% Puntos donde dibujar flechas
pts = linspace(-1, 1, 8);
y_pts = -A*pts.^2 + B;
slope = -2*A*pts;

% Tamaño base de la flecha
arrow_scale = 0.8;

for i = 1:length(pts)
    % Vector normal unitario
    nx = -slope(i);
    ny = 1;
    nrm = sqrt(nx^2 + ny^2);
    nx = nx/nrm; ny = ny/nrm;

    quiver(pts(i), y_pts(i), arrow_scale*nx, arrow_scale*ny, 0, ...
        'r', 'LineWidth', 1.4, 'MaxHeadSize', 0.9);
end



% FIGURE 2: Curvatura

figure(2); hold on; grid on;
plot(x, k, 'LineWidth', 2);

title('Curvatura \kappa(x)');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');

text(x_max, kmax*0.82, ...
    sprintf('Máximo: x = %.2f,  \\kappa = %.4f', x_max, kmax), ...
    'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

% Texto del mínimo
text(x_min, kmin*0.75, ...
    sprintf('Mínimo: x = %.2f,  \\kappa = %.4f', x_min, kmin), ...
    'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

set(gca,'TitleFontSizeMultiplier',1.05);


10 La parábola y su uso en la ingeniería

10.1 La parábola

Auditorio de Tenerife

Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija del mismo plano. A dicho punto se le conoce como foco y a dicha recta como directriz.

La parábola se puede definir también como una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del cono. Las parábolas tienen una propiedad fundamental que es la reflexión. Por la reflexión los rayos paralelos al eje que inciden en una parábola se reflejan pasando por su foco.

10.2 Usos principales en ingeniería

Viaducto de Garabit

Reflectores y antenas

Las antenas parabólicas y los concentradores solares usan la propiedad de reflexión para concentrar ondas electromagnéticas o radiación solar en el foco.


Micrófonos parabólicos

La manera de funcionar de este tipo de micrófonos es reflejar las ondas de sonido hacia un micrófono en el foco del paraboloide amplificando así los sonidos. Esto hace posible captar de una manera muy nítida y precisa sonidos en una dirección específica.


Estructuras y arcos

Un arco parabólico es una forma muy apropiada para ser empleada en estructuras sometidas a compresión porque por su forma, reparten eficientemente las cargas minimizando los esfuerzos cortantes y las flexiones.


Puentes y cables

En puentes colgantes, la curva asumida por los cables puede aproximarse a una parábola cuando el cable soporta una carga uniformemente distribuida. Sin embargo, no es así cuando el cable cuelga solo con la actuación de su propio peso. En ese caso la curva es la catenaria y no la parábola.


10.3 Construcciones donde se ha utilizado la parábola

Antigua oficina postal central de Ultrecht
Planta embotelladora de Bacardí en México


Auditorio de Tenerife: Esta construcción cuenta con un muy característico elemento arquitectónico. Dicho elemento es el arco con forma de parábola que se encuentra por encima de todo el resto de la estructura.


Viaducto de Garabit: La parte fundamental de este puente, en cuanto la estructura se refiere, es el arco parabólico que transmite las cargas a los apoyos que se encuentran en cada una de las dos laderas del valle. Con el uso de este tipo de arco se pretende minimizar los esfuerzos flectores y cortantes presentes en la estructura.


Antigua oficina postal central de Ultrecht: El techo de la sala principal de este edificio tiene una sección transversal constante que es una parábola, formando así el techo una superficie que es un paraboloide.


Planta embotelladora de Bacardí en México: La estructura de esta nave embotelladora esta formada por distintos paraboloides unidos que intersecan entre sí. Las secciones transversales de estos paraboloides son parábolas.


11 Bibliografía

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