Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 20)
Vamos a realizar un estudio sobre la visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Para ello vamos a tomar una placa plana rectangular sometida a temperatura y vibración.
Contenido
1 Introducción
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región [math] [-1/2,1/2] \times [0,2][/math]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura [math]T(x,y,t)[/math], que depende de las dos variables espaciales [math](x,y)[/math] y el tiempo [math]t[/math], y los desplazamientos [math]\vec u(x,y,t)[/math]. De esta forma, si definimos [math]r_0(x,y)[/math] como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto [math](x,y)[/math] de la placa en un instante de tiempo [math]t[/math] viene dada por: [math] \vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t). [/math] Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda: [math] \vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct), [/math] donde [math]\vec a[/math] se conoce como amplitud, [math]\vec b[/math] es la fase que indica la dirección de propagación y [math]c/|\vec b|[/math] es la velocidad de propagación.
Si [math]\vec a [/math] es paralelo a [math]\vec b[/math] diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal. En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente: [math] \vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0. [/math] En este caso, [math]\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j[/math].
- Mallado del sólido.
En este apartado se pide dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Para ello,empleamos un código MatLAB tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y, y obteniendo una placa rectangular de 1x2.
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx);
axis([-2,2,-1,3])
view(2)
2 Efecto de la Temperatura
La temperatura del sólido viene definida por el campo de temperaturas [math]T(\rho,\theta)=e^{-y}[/math], que es un campo escalar que depende sólo de la variable y. Mediante el siguiente código representamos el campo escalar, que tine sus valores máximos representados en el eje x.
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
2.1 Variación de la Temperatura
En este apartado vamos a representar el gradiente del campo escalar de temperaturas, es decir, la variación de este a lo largo de la placa estudiada. Los valores máximos coinciden con los de la funcion de temperatura, ya que ésta es de tipo exponencial y tiene su origen el en eje de las x.
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3]) % select region for drawing
fx=0.*yy; % Parcial differential in 'x'
fy=-exp(-yy); % Parcial Differential in 'y'
quiver(xx,yy,fx,fy) % Vectorial field
axis([-2,3,-2,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % Escalar field contour lines
view(2) % See the pisture from the top
3 Efecto de la Vibración
Se produce una vibración sobre la placa definida por el campo de vectores [math]\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j[/math] que actúa sobre cada punto del sólido provocándole un desplazamiento. A continuación vamos a emplear un código Matlab para mostrar la representación de dicho campo de vectores sobre el mallado.
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
fx=xx.*0;
fy=sin(pi*yy)./10;
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,2.5])
view(2)
Como podemos ver en la imagen, el campo de vectores toma dirección vertical ya que sólo tiene componente [math]\vec j[/math].Se pueden observar tres puntos característicos y dos zonas bien diferenciadas. Los puntos característicos son los extremos superior e inferior de la placa así como la parte central, es decir y=1, debido a que en ellos el campo es nulo a causa de la función seno. A su vez, observamos que la mitad inferior de la placa toma valores positivos (sentido ascendente en la gráfica) mientras que en la mitad superior toma valores negativos, lo que implica un sentido descendente.
Seguidamente, pasamos a comparar el estado inicial y final de la placa por la actuación de la vibración. Empleando para ello otro código Matlab que nos representa ambos estados en un mismo gráfico.
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1) %Comando que nos permite generar una matriz de gráficos
mesh(xx,yy,0*yy) %Generación malla en estado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) %Generación malla en estado final (aplicando la vibración)
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
En esta imagen se aprecia que el desplazamiento se produce en torno a la zona central de la placa ya que en los extremos y en la parte central (y=1) no hay movimiento. El movimiento se produce en dirección vertical pero con dos sentidos contrarios, la parte de abajo de la placa tiende a ascender acercándose a la cota central. La parte de arriba, desciende aproximándose también al centro de la placa. La consecuencia de todo esto es una compresión alrededor de la zona media de la placa.
3.1 Divergencia
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Por tanto, los valores máximos estarán en la región que mayor variación volumétrica sufra. En nuestro caso, es en la región y=0, la base, e irá disminuyendo gradualmente hasta la zona superior de la placa.
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=(pi*cos(pi*yy))/10;
surf(xx,yy,f)
view(2)
colorbar
3.2 Rotacional
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto o eje. En nuestro caso, el rotacional vale 0, lo que implica que dicho campo está inmóvil.
4 Tensiones
Definiendo [math]\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2[/math], la parte simétrica del tensor gradiente de [math] \vec u [/math], que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones [math]\sigma_{ij}[/math] a través de la fórmula
[math]\sigma_{ij}=λ \cdot \nabla \vec u δ_{ij} + 2\cdotμ\cdotΕ_{ij}[/math]
Donde [math]Ε_{ij}[/math] es la parte simétrica del campo [math]\vec u[/math], [math]Ε_{ij}=\frac {(\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t)}{2}[/math] donde [math]λ[/math] y [math]μ[/math] son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
4.1 Tensiones Normales
Tomando [math]λ=μ=1[/math], dibujamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje [math] \vec i [/math], es decir [math](\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i)[/math] y las tensiones normales en la dirección que marca el eje [math] \vec j [/math], es decir [math](\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j)[/math].Para conseguir estas tensiones escalares, utilizamos la matriz de tensiones calculada a mano y la evaluamos en la placa en las direcciones estudiadas. Al realizar los cálculos, llegamos a la conclusión de que las tensiones normales en ambas direcciones toman el mismo valor en cada punto.
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
deru=pi*cos(pi.*yy)/10; % Escalar field
Ni=deru; % Normal stress on i⃗ direction
Nj=deru; % Normal stress on j⃗ direction
figure(1)
surf(xx,yy,Ni,Nj) % Ploting the surface of the escalar field
axis([-2,3,-2,3])
view(2) % See the pisture from the top
4.2 Tensiones Tangenciales
Apartir del tensor de tensiones podemos obtener también las tensiones tangenciales que aparecerán en la placa al aplicar el campo anterior de la siguiente forma: [math]|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|= 0 [/math] para las tensiones en la dirección [math] \vec i [/math] y de forma análoga para la dirección[math] \vec j[/math], [math]|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j| = 0 [/math]. Lo que obtenemos tras realizar los cálculos, es que las tensiones tangenciales son nulas en toda la placa.Esto es debido a que las tensiones normales en cada punto se equilibran en las direcciones estudiadas,[math] \vec i [/math] y [math] \vec j [/math], impidiendo así que se generen esfuerzos cortantes.
