Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 14 C)
1 Introducción
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región [math] [-1/2,1/2] \times [0,2][/math]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura [math]T(x,y,t)[/math], que depende de las dos variables espaciales [math](x,y)[/math] y el tiempo [math]t[/math], y los desplazamientos [math]\vec u(x,y,t)[/math]. De esta forma, si definimos [math]r_0(x,y)[/math] el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto [math](x,y)[/math] de la placa en un instante de tiempo [math]t[/math] viene dada por: [math] \vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t). [/math] Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda: [math] \vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct), [/math] donde [math]\vec a[/math] se conoce como amplitud, [math]\vec b[/math] es la fase que indica la dirección de propagación y [math]c/|\vec b|[/math] es la velocidad de propagación.
Si [math]\vec a [/math] es paralelo a [math]\vec b[/math] diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.
En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente: [math] \vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0. [/math] En este caso, [math]\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j[/math].
2 Representación del sólido
En primer lugar representaremos el mallado de los puntos interiores del sólido, tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y, en la región [math] [-1/2,1/2] \times [0,2][/math].
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:2];
n =length(x);
m=length(y);
z=zeros(m,n);
mesh(x,y,z)
3 Temperatura
3.1 Representación de la temperatura
A continuación representaremos el efecto de la temperatura en la placa. La temperatura vendrá definida por la función [math]T(x,y)=e^{-y}[/math]
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
T=exp(-yy);
surf(xx,yy,T)
3.2 Curvas de nivel y [math]\nabla T[/math]
El [math]\nabla T[/math] es un campo vectorial. Podemos comprobar gráficamente en la figura que [math]\nabla T[/math] es ortogonal a las curvas de nivel.
[dx,dy]=gradient(T,0.1,0.1);
contour(x,y,T)
hold on
quiver(x,y,dx,dy)
hold off
4 Desplazamientos
4.1 Representación del campo de vectores u⃗
Consideramos el campo de vectores u⃗ =sin(y)10 j⃗ que expresa los desplazamientos de cada punto de la placa.
u=sin(yy)/10;
v=0*xx;
quiver(x,y,v,u)
4.2 Representación del sólido antes y después del desplazamiento u⃗
Definimos los vectores posición de los puntos de la placa según la expresión [math]\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t)[/math]. Siendo [math]r_0(x,y)[/math] el vector de posición de los puntos de la placa en reposo y u⃗ el vector desplazamiento, ya definido.
uy=a.*sin(yy.*b);
ry=yy+uy;
hold on
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,zz)
subplot(2,1,2)
mesh(xx,ry,zz)
hold off
4.3 [math]\nabla .u⃗[/math] en los puntos del sólido
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Los puntos con mayor divergencia se sitúan en la recta horizontal que pasa por el centro de la placa (y=1).
u=0.1.*sin(pi*yy);
div=divergence(xx,yy,xx*0,u)
mesh(div)
4.4 [math]|\nabla \times \vec u|[/math] en los puntos del sólido
Procedemos a calcular el rotacional de u⃗ y observamos que el resultado es 0.
[math]|\nabla\times\vec u|= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ 0 & \frac{sen(πy)}{10} & 0 \end{vmatrix}=0[/math]
Por tanto el campo es irrotacional, en un dominio simplemente conexo, es decir, se puede demostrar que el campo vectorial u⃗ es conservativo.
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
syms xx yy zz, u=0; v=0.1*sin(yy*pi); w=0;
r1=diff(w,yy)-diff(v,zz)
r1 =
0
r2=diff(u,zz)-diff(w,xx)
r2 =
0
r3=diff(v,xx)-diff(u,yy)
r3 =
0
5 Tensiones
5.1 Tensiones normales
Sea [math]\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2[/math], la parte simétrica del tensor gradiente de [math]\vec u[/math], denominado tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones [math]\sigma_{ij}[/math] a través de la fórmula: [math] \sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}, [/math] donde [math]\lambda[/math] y [math]\mu[/math] son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando [math]\lambda=\mu=1[/math].
[math] \nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} \frac{ \partial u_1}{\partial x} & \frac{ \partial u_1}{\partial y} \\ \frac{ \partial u_2}{\partial x} & \frac{ \partial u_2}{\partial y} \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & \frac{ πcos(πy)}{10} \end{array} \right) [/math]
[math] \nabla .u⃗=\frac{ πcos(πy)}{10} \ [/math]
[math] \nabla \vec u = \nabla \vec u^t [/math]
[math] \sigma_{ij}=\nabla .u⃗ \cdot \delta_{ij} +2\cdot \nabla \vec u=\frac{ πcos(πy)}{10} \cdot\left( \begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) +2\cdot\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & \frac{ πcos(πy)}{10} \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ll} \frac{ πcos(πy)}{10}\ & 0 \\ 0 & \frac{ 3πcos(πy)}{10} \end{array} \right) [/math]
Procedemos a calcular las tensiones normales en la dirección del eje [math]\vec i[/math]:
Siendo [math] \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i=\left( \begin{array}{l} 1 & 0 \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{ll} \frac{ πcos(πy)}{10}\ & 0 \\ 0 & \frac{ 3πcos(πy)}{10} \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=\frac{ πcos(πy)}{10}\ [/math]
Ahora, las tensiones normales en la dirección del eje [math]\vec j[/math] son:
Siendo [math] \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j=\left( \begin{array}{l} 0 & 1 \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{ll} \frac{ πcos(πy)}{10}\ & 0 \\ 0 & \frac{ 3πcos(πy)}{10} \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=\frac{ 3πcos(πy)}{10}\ [/math]
En la figura se puede observar las tensiones normales en ambas direcciones, siendo la tensión en la dirección [math]\vec j[/math] tres veces mayor que en la dirección [math]\vec i[/math]
sigmax=0.1*pi.*cos(yy.*pi);
sigmay=0.3*pi.*cos(yy.*pi);
hold on
mesh(sigmax)
mesh(sigmay)
hold off
5.2 Tensiones tangenciales
Resolviendo la fórmula descrita a continuación para el cálculo de tensiones tangenciales podemos observar que éstas son nulas.
Esto se debe a que estamos proyectando sobre la dirección [math]\vec i[/math] un vector con componente únicamente en la dirección [math]\vec i[/math], por tanto coincide con la tensión en la misma dirección y al restarlos, ambos se anulan. Análogamente para la proyección sobre la dirección [math]\vec j[/math]. [math] |\sigma \cdot \vec i-(\vec i\cdot\sigma\cdot\vec i)\cdot\vec i| [/math]
[math]|\left( \begin{array}{ll} \frac{ πcos(πy)}{10}\ & 0 \\ 0 & \frac{ 3πcos(πy)}{10} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 \end{array} \right)-( \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{ll} \frac{ πcos(πy)}{10}\ & 0 \\ 0 & \frac{ 3πcos(πy)}{10} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 \end{array} \right))\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 \end{array} \right)|=0 [/math]
[math] |\sigma \cdot \vec j-(\vec j\cdot\sigma\cdot\vec j)\cdot\vec j| [/math]
[math]|\left( \begin{array}{ll} \frac{ πcos(πy)}{10}\ & 0 \\ 0 & \frac{ 3πcos(πy)}{10} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 \end{array} \right)-( \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{ll} \frac{ πcos(πy)}{10}\ & 0 \\ 0 & \frac{ 3πcos(πy)}{10} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 \end{array} \right))\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 \end{array} \right)|=0 [/math]
