Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C30

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Visualización de campos escalares y vectoriales en un sólido (Grupo C30)
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2014-15
Autores	María García Fernández Sergio Ortega Pajares Noemí Palomino Bustos Diego Paramio Sastre Álvaro Ramón López
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

En este trabajo estudiaremos la visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad de la placa plana que ocupa la región comprendida entre estas dos parábolas:

[math]P1: 18y-81x^2-1=0 [/math]

[math]P2: 2y+x^2-1=0 [/math]

Utilizaremos un cambio de coordenadas para hacer más sencilla su representación (sistema de coordenadas adaptado a la geometría dada):

[math]x=uv[/math]

[math]y=\frac{1}{2}(u^2-v^2)[/math]

con u,v definidas en el intervalo [1/3,1]x[-1,1]

Comenzaremos dibujando el mallado del sólido, así como sus líneas coordenadas y los vectores de la base natural en cada punto. Conociendo la función de la temperatura de la placa, seremos capaces de representar sus curvas de nivel y su gradiente. Después aplicaremos un campo de desplazamientos a nuestro sólido y observaremos como ha variado tras él. Calcularemos el tensor de tensiones y lo representaremos. Finalmente calcularemos numéricamente (por el método de los rectángulos) la masa de la placa.

2 Mallado de los puntos interiores del sólido

Hemos representado los puntos interiores del sólido mediante un mallado,considerando un paso de muestreo h=1/20 para las coordenadas u,v que hemos definido en la introducción.

.

Aquí vemos el resultado de dibujar el mallado

h=1/20; %paso de muestreo
 u=1/3:h:1; %intervalo de u
 v=-1:h:1;  %intervalo de v
 [uu,vv]=meshgrid(u,v);%mallado de la gráfica
 figure(1)
 xx=uu.*vv;
 yy=0.5.*((uu).^2-(vv).^2); %cambio de coorde
 mesh(xx,yy,0*xx)
 axis([-1,1,-1,1])
 view(2)

2.1 Líneas coordenadas y vectores de la base natural

Los vectores de la base natural son aquellos obtenidos al derivar las compentes x e y respecto de u y v. Las llamaremos [math]\vec{g_u}[/math] y [math]\vec{g_u}[/math]

[math]\vec{g_u}= v\vec{i}+u\vec{j}[/math]

[math]\vec{g_v}=u\vec{i}-v\vec{j}[/math]

Para hacer más sencillo su interpretación hemos dividido [math]\vec{g_u}[/math] y [math]\vec{g_u}[/math] en partes. A continuación vemos el código y la representación gráfica de las líneas coordenadas:

.

Líneas de gu (en azul) y líneas de gv (en rojo)

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v); 
xx=uu.*vv; 
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
guu=vv;
guv=uu;
gvu=uu;
gvv=-vv;
hold on 
quiver(xx,yy,guu,guv)%representamos los vectores gu en cada punto del mallado
quiver(xx,yy,gvu,gvv)%representamos los vectores gv en cada punto del mallado
hold off

3 Temperatura del sólido

La temperatura del sólido viene dada por la función [math]T(x,y)=e^{(-y)}[/math]. Hemos representado sus curvas de nivel y se puede observar que la temperatura es simétrica en la placa respecto al eje OY, siendo la parte más cálida el extremo inferior y las más fría la superior. Podríamos obtener el punto más cálido de la placa y el punto más frío calculando sus derivadas parciales e igualandolas a 0, si los resultados quedasen fuera de la placa, buscaríamos máximos y mínimos en la frontera.

Distribución de las temperaturas en el sólido)

h=1/20;
u=1/3:h:1; v=-1:h:1;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5.*((uu).^2-(vv).^2);
T=exp(-yy); %Función de la Temperatura
figure(1)
surf(xx,yy,T)
axis([-1,1,-1,1])
view(2)

El gradiente de un campo indica la dirección en la cual el campo varía más rápidamente, se denota con [math]\nabla [/math].Las curvas de nivel de un campo son aquellas que conecta los puntos que tienen un mismo valor constante. De forma geométrica el gradiente es un vector que se encuentra normal (perpendicular) a a las curvas de nivel,como se puede observar en el siguiente gráfico.

El gradiente y las curvas de nivel de dicho campo (T) son los siguientes:

Distribución de las temperaturas en el sólido)

h=1/20;
u=1/3:h:1; v=-1:h:1;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5.*((uu).^2-(vv).^2);
T=exp(-yy); %Función de la Temperatura
Tx=-xx.*0;% derivada parcial en x
Ty=-yy.*exp(-yy);% derivada parcial en y
figure(1)
quiver(xx,yy,Tx,Ty) %Gradiente de la temperatura
axis([-1,1,-1,1])
figure(2)
contour(xx,yy,T,20)%dibujo curvas de nivel
axis([-1,1,-1,1])
view(2)

4 Desplazamiento del sólido

Considerando el vector desplazamiento [math]\vec{u}(u,v)=\vec{a}(\vec{b}·\vec{r_0})^2[/math] siendo [math]\vec{a}=\frac{\vec{g_u}}{|\vec{g_u}|}[/math] [math]\vec{b}=\frac{-4\vec{g_v}}{|\vec{g_v}|}[/math] y [math]\vec{r_0}=x\vec{i}+y\vec{j}[/math]

Cambiaremos [math]\vec{r_0}[/math] a coordenadas curvilíneas

[math]\vec{r_0}=(uv,\frac{1}{2}(v^2+u^2))\begin{pmatrix} v\over(v^2+u^2) & u\over( v^2+u^2) \\u\over( v^2+u^2) & - v\over(v^2+u^2) \end{pmatrix}=4v^2(u^2+v^2)\vec{g_u}[/math]

Si aplicamos [math]\vec{u}[/math] a nuestra placa sufrirá una deformación producida por una fuerza determinada, el vector posición después de la deformación viene dada por [math]\vec{r}(u,v)=\vec{r_0}(u,v)+\vec{u}(u,v)[/math]. Aplicando el campo al sólido inicial obtenemos el sólido deformado.

A continuación tenemos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores [math]\vec{u}[/math]

Representación del campo y de su desplazamiento

El vector desplazamiento tiene diferente sentido a ambos lados del eje de simetría de la placa, de modo que la placa se estira en la dirección del eje de abscisas.

5 Divergencia y rotacional de [math]\vec{u}[/math]

La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante. Si la divergencia es positiva, es una fuente, si es negativa es un sumidero.

La divergencia del desplazamiento[math]\vec{u}[/math] la hemos manualmente a través de la fórmula [math]\nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{ \sqrt{g} } \frac{\partial}{\partial u^i} \sqrt{g} u^{i} [/math]

[math]\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{u^2+v^2}( \frac{\partial}{\partial u}(u^2+v^2)(4v^2)+ (\frac{\partial}{\partial v}((u^2+v^2)(0))=\frac{12uv^2}{\sqrt{u^2+v^2}}[/math]

Representación de la divergencia del campo

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5.*((uu).^2-(vv).^2);
div=12.*uu.*vv.^2./sqrt(uu.^2+vv.^2);
surf(xx,yy,div)
axis([-1,1,-1,1])
view(2)

Vemos que la divergencia alcanza sus valores más altos en aquellos puntos en los que la variación de volumen es mayor, en este caso se corresponden con los extremos de la placa.

Vamos a calcular ahora el rotacional de [math]\vec{u}[/math]: [math]\nabla\times\vec{u} = det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} & \frac{\partial }{\partial w}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix} = det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} & \frac{\partial }{\partial w}\\ 4v^3 \sqrt{u^2+v^2} & 4uv^2 \sqrt{u^2+v^2} & 0 \end{pmatrix} =\frac{-4v^2(u^2+3v^2)}{\sqrt{u^2+v^2}} \vec{k} [/math]. Vemos en la representación del valor absoluto del rotacional que los puntos con mayor rotacional (los de color más amarillo) representarán los puntos del sólido en los que se induce un mayor giro debido a la deformación inducida por el campo [math]\vec{u}[/math]

Representación del rotacional del campo

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
figure(1)
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5.*((uu).^2-(vv).^2);
mesh(xx,yy,0*xx)
rot=abs(-4*(vv.^2).*sqrt(uu.^2+vv.^2));
surf(xx,yy,rot)
axis([-1,1,-1,1])
view(2)

6 Tensiones

Vamos a ver la representación del tensor de tensiones resultante de aplicar el campo [math]\vec{u} [/math] al sólido. Dicho tensor de tensiones viene dado por la fórmula: [math]\sigma= \lambda \nabla \cdot \vec{u} 1 + 2 \mu \epsilon [/math] donde [math]\epsilon = \frac{(\nabla \vec{u} + \nabla \vec{u}^t)}{2}[/math] . [math] \lambda [/math] y [math] \mu [/math] son los parámetros de Lamé que dependen de las propiedades del material, en nuestro caso ambos valen [math] 1 [/math]. Definimos [math]\epsilon [/math] y con la divergencia que ya la conocemos obtenemos [math]\sigma [/math] : [math]\epsilon =\begin{pmatrix} \frac{4uv^3}{\sqrt{u^2+v^2}} & 10v^2\sqrt{u^2+v^2} \\ 10v^2\sqrt{u^2+v^2} & \frac {4uv(2u^2+3v^2)}{\sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix}[/math]

Tensor de tensiones: [math]\sigma =\begin{pmatrix} \frac{4uv^2(2v+3)}{\sqrt{u^2+v^2}} & 10v^2\sqrt{u^2+v^2} & 0 \\ 10v^2\sqrt{u^2+v^2} & \frac {4uv(2u^2+3v^2+3v)}{\sqrt{u^2+v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}[/math]

Con la ayuda de MatLab obtenemos las tensiones normales en las direcciones [math]g_u[/math] y [math]g_v [/math]:

Tensiones normales en las direcciones de [math]g_u[/math] y [math]g_v [/math]

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5.*((uu).^2-(vv).^2);
sigmauu=12*uu.*vv.^2./sqrt(uu.^2+vv.^2)+2*4*vv.^3.*uu./sqrt(uu.^2+vv.^2);
sigmavv=12*uu.*vv.^2./sqrt(uu.^2+vv.^2)+2*4*uu.*vv.*(2*uu.^2+3*vv.^2)./sqrt(uu.^2+vv.^2);
sigmauv=2*10*vv.^2.*sqrt(uu.^2+vv.^2);
sigmavu=sigmauv;
subplot(1,2,1)
quiver(xx,yy,sigmauu,sigmauv)
axis([-1,1,-1,1])
subplot(1,2,2)
quiver(xx,yy,sigmauv,sigmavv)
axis([-1,1,-1,1])

Podemos observar al comparar las tensiones y el rotacional que coinciden los puntos de mayor tensión con los de mayor rotacional.

7 Masa de la placa

Tengamos la siguiente función de densidad: [math]d(x,y)=|x|e^{(-1/y^2)}[/math] Vamos a calcular la masa total del sólido integrando la función en el área del sólido de manera numérica dividiendo el sólido en pequeños rectángulos y sumando todo al final. Aquí vemos el codigo MatLab utilizado:

h=1/100; %Tomamos un paso de 1/100 para conseguir un resultado mejor aproximado
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5.*((uu).^2-(vv).^2);
f=abs(xx).*exp(-1./yy.^2); %Definimos la función
a=h.^2*f; %Parte diferencial del sólido
masa=sum(sum(a)) %Suma de todas las partes del sólido

Obtenemos una masa total de [math]Masa = 8.029 \cdot 10^-5[/math]