Visualización de campos escalares y vectoriales de elasticidad (Grupo G14)

Este artículo está en versión beta. El autor de este artículo no lo ha terminado todavía, por favor no lo edites hasta que elimine este mensaje.

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

Para la comprensión del comportamiento de campos escalares y vecortiales en elasticidad, tomaremos como referencia los ocurridos en una placa plana con forma de anillo centrada en el centro de coordenadas cartesianas.

En la consideración de una placa plana que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(ρ,θ,t), que depende de las dos coordenadas polares (ρ,θ) y el tiempo t, y los desplazamientos u⃗ (ρ,θ,t). De esta forma, si definimos r0(ρ,θ) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto (ρ,θ) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por r⃗ (ρ,θ,t)=r⃗ 0(ρ,θ)+u⃗ (ρ,θ,t). Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo t0 dado vienen dados por u⃗ (ρ,θ)=sin(πθ/2)30ρg⃗ ρ.

   1.Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido (ver figura). Tomar como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.

   2.La temperatura del sólido proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen. Supongamos que la conocemos y viene dada por T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1). Dibujarla.

   3. Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.

  4.Consideramos ahora el campo de vectores u⃗ =sin(πθ/2)30ρg⃗ ρ. Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

   5. Si u⃗  determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido, dibujar el sólido antes y después del desplazamiento. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

Archivo:Comparaciondesplazamiento

   6. cambio de volumen local debido al desplazamiento.
      ∇⋅u⃗ =(1/ρ)((∂/∂ρ)(ρsin(πθ/2)/30ρ)=0 

Al ser la divergencia 0, la variación del volumen del sólido es 0. Esto se debe a que la placa sufre desplazamientos transversales sin experimentar cambios en el volumen.

  7 Calcular |∇×u⃗ | en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

∇×U⃗ =1g√∣∣∣∣∣∣∣g⃗ 1∂∂uU1g⃗ 2∂∂vU2g⃗ 3∂∂wU3∣∣∣∣∣∣∣ ∇×U⃗ =-((π)/(ρ^2)60))(cos(πθ/2))

  8 Definamos ϵ(u⃗ )=(∇u⃗ +∇u⃗ t)/2, la parte simétrica del tensor gradiente de u⃗ , que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula
   σij=λ∇⋅u⃗ δij+2μϵij,

donde λ y μ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando λ=μ=1, dibujar las tensiones normales en la dirección g⃗ ρ, es decir g⃗ ρ⋅σ⋅g⃗ ρ y las tensiones normales en la dirección g⃗ θ/ρ, es decir g⃗ θ/ρ⋅σ⋅g⃗ θ/ρ.

   9 Dibujar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a g⃗ ρ, es decir |σ⋅g⃗ ρ−(g⃗ ρ⋅σ⋅g⃗ ρ)g⃗ ρ|. ¿Donde son mayores? Compararlas con los puntos de mayor deformación de la malla.

  10 Dibujar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a g⃗ θ/ρ, es decir |σ⋅g⃗ θ/ρ−(g⃗ θ/ρ⋅σ⋅g⃗ θ/ρ)g⃗ θ/ρ|. ¿Donde son mayores? Compararla con los puntos de mayor deformación de la malla.