Visualización de campos escalares y vectoriales (Grupo 15)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2023-24
Autores	Alisson Estefania Simbaña Coray Alba Xiyi Montoro Poveda Daniel Sanz Lavera Victor Zornoza Llanos Jaime San Vicente Lara
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Para el siguiente articulo, consideraremos una placa rectangular plana ocupando la región en el espacio plano
[math](x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12][/math]. A continuación definimos dos cantidades físicas; por un lado la temperatura dada
como [math]T(x, y) = 3log(1+(1+x^2) + log(1+(y-2)^2)[/math].
Por otro lado, hemos de tener en cuenta los desplazamientos [math]\vec{u}(x, y)[/math] producidos por la acción de una fuerza
determinada. Definiendo [math]\vec{r_{0}}(x, y)= x\vec{i}+y\vec{j}[/math] como vector posición de los puntos de la placa antes de la de-
formación, la posición de cada punto después de la deformación viene dada por: [math]\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).[/math]. Suponemos también que la fuerza aplicada sobre la placa a provocado un desplazamiento ondulatorio dado por el vector [math]\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),[/math] donde [math]\vec{a}[/math] se conoce como la amplitud [math]k \gt 0[/math] es el número de onda, [math]\vec{d}[/math] es un vector unitario que marca la dirección de propagación y [math]v[/math] es la velocidad de propagación. Supondremos que se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud.

Sabemos que [math]\vec{a}=\vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, [/math]

1 Definición de la placa

Dibujo del mallado que representa el interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo [math](x, y) ∈ [−1; 1] × [0; 12] [/math] y como paso de muestreo h = 2/10 para las variables x e y.

Figura 1

clear
clc
%Definimos el contorno de la malla
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
  h=2/10;
  x=[-1:h:1];
  y=[0:h:12];
%Creación del mallado
 [X,Y]= meshgrid(x,y);
%Mallado
 mesh(X,Y,0*X);
%Representación gráfica del mallado
 axis([-6,6,-0.5,12.5]);
%Título y nombre de los ejes
 title('Mallado del sólido');
  xlabel('Eje X');
  ylabel('Eje Y');
%Visualización del gráfico en dos dimensiones
 view(2);
%Contorno de la placa rectagular
hold on
 x1=[-1,1,1,-1,-1];
 y1=[0,0,12,12,0];
 plot(x1,y1,'k','LineWidth',1.5);
hold off

2 Gradiente de la temperatura

El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva [math]\vec{i},\vec{j},\vec{k}[/math] (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:

[math] \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}[/math] [math] \nabla T=\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2}\vec{i}+ \frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}\vec{j}[/math]

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 9.4434

Figura 1

clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:12.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,12.5]) 
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,12.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES 
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5]) 
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on') 
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores. Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.

Figura 2

clc
clear
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2); %PARCIAL DE X
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar

3 Ley de Fourier

Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor. Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada [math]\vec{Q}=−K∇T[/math], donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.

Figura 3

clear;close all;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
 h=2/10;
 x=[-1:h:1];
 y=[0:h:12];
%Creación del mallado
 [X,Y]=meshgrid(x,y);
 mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
 T=3.*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
%Curvas de nivel
 contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
 dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
 dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier 
 k=1;
  Q1=-k.*(dx);
  Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
 quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
 axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
 title('Energía calorífica');
  xlabel('Eje X');
  ylabel('Eje Y');

4 Campo de deformaciones en el instante inicial

Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido en t=0. La fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos dado por el vector [math]\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt))[/math]. Al ser el tiempo t=0 el vector [math]\vec{u}[/math] nos queda [math]\vec{u}(x, y)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}))[/math].

Figura 4

clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
 h=2/10; 
 x=[-1:h:1];
 y=[0:h:12];
%Creación del mallado
 [X,Y]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
 ux= 0.*X;
 uy= 1/3.*sin(pi()*1/3.*Y);
%Título y nombre a los ejes
 title('Campo de vectores');
  xlabel('Eje X');
  ylabel('Eje Y');
%Dibujo de los vectores como flechas
 quiver(X,Y,ux,uy);
  axis([-2,2,-0.5,12.5]);

5 Comparación de la placa antes y después del desplazamiento

En la entrada del articulo se han definido tanto la sección del solido,definida por [math] \vec{r_{0}}(x, y)[/math], el campo de deformaciones [math] \vec{u}(x,y,t)[/math], el cual hemos supuesto 0. Para nuestro trabajo, y por ultimo se ha expresado el vector [math]\vec{r_{d}}(x,y)[/math],define los puntos del mallado después de las deformación. Este ultimo lo define la suma de [math] \vec{r_{0}}(x, y)[/math] y [math] \vec{u}(x,y,t)[/math] .

Ahora ya entendida la problemática del ejercicio. Se expondrán una serie de gráficos ilustrativos junto con el código asociado asociado.

Aparte de los gráficos pedidos en las consignas del trabajo se ha agregado un cuarto, en el cual
se puede ver con mayor precisión el efecto que tomara el campo [math] \vec{u}(x,y,t)[/math] en la sección.

clear;clc; close all
% Definamos el contorno de la malla.
 h=1/5;
   x=-1:h:1; y=0:h:12;
   [X,Y]=meshgrid(x,y);
      Z=X.*0;
figure name 'M'
        mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b')          % Malla previa a ser deformada
        axis([-1,1,0,12])          
         xlabel('X')
         ylabel('Y',rotation=pi()/2)
         view(2)
        title(['Sección antes'])

figure name 'Cd'
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y);            % Campo de deformaciones
     quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize',1)
       axis([-1,1,0,12])
        xlabel('X')
        ylabel('Y',rotation=pi()/2)
       title(['Campo de deformaciones U'])       

figure name 'Md'
       Rdx=X; Rdy= Y + uy;                   % Sección en t=0 despues de 
     mesh(Rdx,Rdy,Z,'EdgeColor','c')         % de la deformación.
       axis([-1,1,0,12])
        xlabel('X')
        ylabel('Y',rotation=pi()/2)
        view(2)
       title(['Sección déspues'])

figure name 'Unión de Cd y M'
     hold on
      mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b', ...
          'MarkerSize',0.5)
      ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y);      % Mediante el hold on/off
      quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize' ...
          ,8,'LineWidth',2)                  % conseguimos la unios de
        axis([-1,1,0,12])                    % ambos graficos
         xlabel('X')
         ylabel('Y',rotation=pi()/2)
         view(2)
        title(['Unión de Cd y M'],'FontSize',12.5)
     hold off

6 Visualización de la divergencia del campo de deformaciones

La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial. Se calcula sumando las derivadas parciales respecto a este:

[math]\vec{u}(x,y,z)=ux(x,y,z)\vec{i}+uy(x,y,z)\vec{j}+uz(x,y,z)\vec{k}[/math]

[math]∇ \cdot \vec{u}(x,y,z) = \frac{\partial ux}{\partial x}(x,y,z)+\frac{\partial uy}{\partial y}(x,y,z)+\frac{\partial uz}{\partial z}(x,y,z)[/math]

En nuestro caso [math]\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{3})[/math] en t=0. La divergencia quedaría:

[math]∇ \cdot \vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)[/math]

Al hacer las derivadas parciales de [math] \vec{u} [/math] queda un único sumando que es el correspondiente a y. En la gráfica se puede observar que la divergencia de [math]\vec{u}[/math] es máxima en los valores que están en color amarillo, es mínima en los valores que están en color azul oscuro y nula en los valores que están en verde.

El cambio de volumen se puede apreciar en la gráfica ya que en unos puntos hay mayor flujo que en otros.

Figura 6

clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
 h=2/10; 
 x=[-1:h:1];
 y=[0:h:12];
%Creación del mallado
 [X,Y]=meshgrid(x,y);
%Cálculo de la divergencia 
 Diver= pi/9*cos((pi/3).*Y);
 shading flat
%Gráfico de la superficie
 surf(X,Y,Diver)
 colorbar
view(2)
 axis([-2,2,-0.5,12.5]);
%Título y nombre a los ejes
 title('Divergencia del campo')
  xlabel('Eje X');
  ylabel('Eje Y');

7 Cálculo del rotacional del campo de deformaciones

Sea |∇ × [math]\vec{u}[/math]| el rotacional de un campo de desplazamientos [math] \vec u = (ux, uy, uz)[/math] expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales [math]\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}[/math], aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

[math]\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}[/math]

Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

Para el caso del sistema de coordenadas cartesiano, con ejes [math][ x, y, z ][/math], y vectores respectivos [math]\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}[/math], se procede a calcular el rotacional.

Usando el campo [math]\vec{u} = (\vec{ux}, \vec{uy}, \vec{uz}) = (0,\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y), 0)[/math] previo, procedemos a hacer los cálculos:

[math]\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z \\ 0 & \frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 [/math]

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo, es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:

[math]\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 [/math]

8 Cálculo de las tensiones normales

El tensor de tensiones [math]\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}I + 2µЄ[/math] describe un medio elástico, isótropo y homogéneo de los desplazamientos. Donde: [math]Є(\vec{u})=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}[/math] parte simétrica del tensor gradiente de [math]\vec{u}[/math] , [math]\bigtriangledown \cdot \vec{u}[/math] la divergencia , [math]I[/math] es el tensor identidad y [math]λ,µ =1[/math] son los conocidos como coeficientes de Lamé.

[math]∇ \cdot \vec{u} = \begin{pmatrix} \frac{\partial u_{1} }{\partial x} & \frac{\partial u_{1} }{\partial y} & \frac{\partial u_{1} }{\partial z} \\ \frac{\partial u_{2} }{\partial x} & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & \frac{\partial u_{2} }{\partial z} \\ \frac{\partial u_{3} }{\partial x} & \frac{\partial u_{3} }{\partial y} & \frac{\partial u_{3} }{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{\partial(\frac{1}{9}sin(\frac{πy}{3}))}{\partial y} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}[/math]

[math]Є(\vec{u})=\frac{\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})+\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{\frac{2π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})[/math]

[math]\sigma=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})(\vec{i} \otimes \vec{i}+\vec{j} \otimes \vec{j}+\vec{k} \otimes \vec{k})+2\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}[/math]

[math]σij=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}[/math]

Tensor [math]i \cdot \sigma \cdot i= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})[/math]

Tensor [math]j \cdot \sigma \cdot j= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3})[/math]

Tensor [math]k \cdot \sigma \cdot k= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})[/math]

Figura8

clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones
Ti=pi/9.*cos(pi/3.*Y);
Tj=pi/3.*cos(pi/3.*Y);
Tk=pi/9.*cos(pi/3.*Y);

figure
%Gráfico de las tensiones en i
subplot(1,3,1)           
pcolor(X,Y,Ti)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en i') 
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') 
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en j
subplot(1,3,2)           
pcolor(X,Y,Tj)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en j') 
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') 
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en k
subplot(1,3,3)           
pcolor(X,Y,Tk)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en k') 
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') 
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

9 Cálculo de tensiones tangenciales

Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a [math]\vec{i}[/math], es decir [math]|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|[/math], en t=0.

Lo calculamos por separado como : [math](σ ·\vec{i})-((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})[/math]

[math](σ·\vec{i})=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)& 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}[/math]

[math]((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}[/math]

Ahora si como valor absoluto

[math]|σ ·\vec{i}|-|(\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|=| \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix} |=0[/math]

Por lo tanto las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a [math]\vec{i}[/math] no existe.

10 Tensión de Von Mises

La tensión de Von Mises viene dada por la expresión:

[math]σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}[/math]

donde [math]σ_{1}[/math], [math]σ_{2}[/math] y [math]σ_{3}[/math] son los autovalores de [math]σ[/math] también conocidos como tensiones principales. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor, sin embargo, el criterio fue claramente formulado con anterioridad por Maxwell en 1865.

En nuestro caso, la tensión alcanza su valor máximo en varios puntos, los cuales, coinciden con los valores máximos y mínimos de las tensiones tangenciales. Si nos fijamos esto guarda relación con las deformaciones antes del desplazamiento. Su valor máximo es [math]0.6981[/math].

derecha

clc; clear all
%Definición de regiones
h=1/5; 
x=[-1:h:1];          
y=[0:h:12];

%Matriz de X e Y
[X,Y]=meshgrid(x,y);
MVonM=0.*Y;

%Definimos la funcion de Von mises donde tp1,2,3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[M,N]=size(Y);

%Le asignamos a la matriz MVonM los valores de la tension de Von Mises en cada punto
for i=1:M
 for j=1:N
  sigma=[(pi/9)*cos(pi/3*Y(i,j)) 0 0; 0 pi/3*cos(pi/3*Y(i,j)) 0; 0 0 pi/9*cos(pi/3*Y(i,j))];
  Autovalores=eig(sigma);
  A1=Autovalores(1);
  A2=Autovalores(2);
  A3=Autovalores(3);
  MVonM(i,j)=VonMises(A1,A2,A3);
 end
end

%Graficamos
surf(X,Y,MVonM)
shading flat
axis equal
title('Tension de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y','Rotation',pi/2);
view(2);
colorbar
max(max(MVonM))

11 Velocidad de propagación

Ya llegando al conclusión del trabajo. Nos encontramos con un apartado que pone de manifiesto las relaciones existentes entre los distintos apartados que se han ido resolviendo hasta llegar hasta aquí. Desde la introducción de este trabajo hemos estado atajando distintos sucesos que le ocurrían a la sección de un sólido determinado como la temperatura, [math] \vec{T}(x,y)[/math], o el campo deformaciones, [math] \vec{u}(x,y,t)[/math]. Ahora bien, en este apartada aondará en la fuerza que recibe el mallado, causante de las deformaciones ocasionadas por [math] \vec{u}(x,y,t)[/math] .

Esta fuerza viene descrita por la ecuación diferencial [math]\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma[/math]. Estas deformaciones, se propagan con una cierta velocidad , [math] \vec{v}[/math], que será calculada suponiendo [math] \vec{F} = 0[/math] y en función de los términos de lame expuestos en el apartado 8,[math]\lambda, \mu [/math]. Al estar igualado a 0, el ejercicio radica en igualar ambos sumandos y de ahí despejar [math] \vec{v}[/math].

Comenzaremos por la divergencia de [math] \sigma [/math], esta será redefinida para este apartado dado que en su momento se específico que t = 0, hecho que en este apartado no podemos suponer. Por lo que [math] \vec{u}(x,y,t)[/math] pasa a ser:
[math]\frac{1}{3}sin(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec{j} \quad [/math] y [math] \quad \sigma[/math] = [math]\lambda\bigtriangledown \cdot \vec{u}I+2\mu\epsilon \quad [/math] = [math] \quad \lambda\cdot \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\cdot I (\vec i \otimes \vec i)(\vec j \otimes \vec j)(\vec k \otimes \vec k) \quad + \quad 2\mu\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)[/math] =
[math] (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec i \otimes \vec i)\quad + \quad (\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j) \quad + \quad (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec k \otimes \vec k [/math]).

Ya redefinida [math] \sigma [/math] se procera al calculo de la divergencia [math]\bigtriangledown \cdot \sigma [/math]:

[math]\bigtriangledown \cdot \sigma [/math] = \begin{pmatrix} \frac{\partial ((\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)) }{\partial x} & 0 & 0 \\0 & \frac{\partial ((\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))}{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\partial ((\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)) }{\partial k}\end{pmatrix}= [math]\begin{pmatrix} 0\\ -(\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\\ 0\end{pmatrix}[/math]

En segundo lugar se calculara la segunda derivada parcial de [math] \vec{u}(x,y,t)[/math] respecto al tiempo t [math]\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}[/math]. Para llevar a cabo este calculo se partirá de la primera derivada de [math] \vec{u}(x,y,t) [/math] .

[math] \frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t}[/math] = [math] (-\frac{1}{3}vcos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))\vec{j} \longrightarrow \frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2} \quad = \quad \frac{\partial (-\frac{1}{3}vcos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))}{ \partial t} \quad = \quad (-\frac{1}{3}v^2sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt))\vec{j}[/math]

Ya cerca del final, se realizara la igualación de ambos términos, dado que [math]\vec{F} = 0 [/math]. No se indicaran los índices vectoriales hasta el final, ya que ambos sumandos trabajan en [math] \vec{j}[/math].

[math] \vec{F} = \frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma \quad = \quad 0; \quad -\frac{1}{3}v^2sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt) \quad + \quad (\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt) \quad = 0[/math]
[math] -\frac{1}{3}v^2sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt) \quad=\quad -(\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt); [/math]
[math] \frac{1}{3}v^2\quad = \quad (\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}; [/math]
[math] v^2 \quad = \quad (\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{9};[/math]
[math] v= \sqrt{(\lambda+2\mu)\frac{(\pi^2)}{9}} \longrightarrow \frac{\pi}{3}\sqrt{(\lambda+2\mu)}[/math]

Si tenemos en cuenta los valores de los coeficientes de Lame [math]\lambda, \mu=1 [/math] del apartado 8.La velocidad de propagación queda [math] \vec{v}=|v|=\frac{\pi}{3}\sqrt{3}=1.81 [/math].

Las velocidades de propagación son distintas dado que para nuestro ejercicio no tenemos componentes en x, por lo que la única velocidad que difiere de 0 es la longitudinal. Siendo esta ultima la calculada a lo largo del apartado.

12 Módulo de desplazamiento transversal

Fijamos el punto [math]P(x,y)=(1/2,1)[/math] y calculamos el módulo del desplazamiento trasversal (dirección [math]\vec{j}[/math]) a lo largo de [math]t ∈ [0, 10][/math]

Tenemos los siguientes datos:

[math]\vec{u}=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}[/math]

[math]|\vec{v}|=1.81[/math] (la velocidad se calculo previamente en el apartado 11)

[math]P(x,y)=(1/2,1); x=1/2, y=1[/math]

Sustituimos los datos para calcular el módulo de [math]\vec{u}[/math]

[math]|\vec{u}|=|\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}|=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3})-1.81t)[/math]

Para representar el módulo del desplazamiento trasversal consideramos que [math]t ∈ [0, 10][/math]

Figura12

clc
clear
%Generar el vector t
t=linspace(0,10,100);
%Módulo de la velocidad
v=1.81;

%Función del desplazamiento en t
u=1/3.*sin(pi/3-v.*t);
%Gráfico de la función desplazamiento
plot(t,u,'LineWidth',2)
%Titulo,ejes,leyenda, mallado
title('Desplazamiento trasversal a lo largo de t')
xlabel('Tiempo (s)')
ylabel('Desplazamiento')
grid on