Visualización de campos en elasticidad en una placa plana (grupo 24C)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Visualización de campos en elasticidad en una placa plana. Grupo 24-C |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2014-15 |
| Autores | Luis Moreno López, Alejandro Martínez Gamonal, Carlos Zay Pinilla, Mario López Andrés |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre dos elipses. Para representarla usaremos el sistema de coordenadas elíptico, que se adapta a la geometíıa que nos dan
[math] x = \cosh(u) \cos(v) [/math]
[math] y = \sinh(u) \sin(v) [/math]
con [math] u, v [/math] definidas en [math] (u, v) ∈ [\frac{1}{2}, 2] × [0, 2\pi) [/math].
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura [math] T(u, v) [/math], que depende de las dos coordenadas curvilíneas [math] (u, v) [/math], y los desplazamientos [math]\vec u(x, y)[/math] producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos [math] r_{0}(u, v)[/math] el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto [math] (u, v)[/math] de la placa después de la deformación viene dada por
[math]\vec r(u, v) = \vec r_{0}(u, v) + \vec u(u, v)[/math].
Contenido
1 Mallado del sólido
A partir de matlab, dibujamos el mallado de los puntos interiores de la placa. Con paso de muestreo 0.1, y ejes entre -4 y 4, el mallado nos queda:
u=[1/2:0.1:2];
v=[0:0.1:2*pi+0.1];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v)
figure(1)
Mx=cosh(Mu).*cos(Mv)
My=sinh(Mu).*sin(Mv)
mesh(Mx,My,0*Mx)
axis([-4,4,-4,4])
view(2)
Malla de la placa.
2 Líneas coordenadas
Las líneas coordenadas se obtienen al fijar una de las dos coordenadas y variar la segunda. Al no ser la base constante, irá cambiando en cada punto. La representación de dichas lineas queda de tal forma:
u=[1/2:0.1:2];
v=[0:0.1:2*pi+0.1];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v)
Mx=cosh(Mu).*cos(Mv)
My=sinh(Mu).*sin(Mv)
figure(1)
Gxu=sinh(Mu).*cos(Mv);
Gyu=cosh(Mu).*sin(Mv);
Gxv=-cosh(Mu).*sin(Mv);
Gyv=sinh(Mu).*cos(Mv);
hold on
mesh(Mx,My,0*Mx);
quiver(Mx,My,Gxu,Gyu)
quiver(Mx,My,Gxv,Gyv)
hold off
3 Temperatura
La temperatura del sólido viene dada por la función [math]T(x,y)= e^{−(x^2+(y−2)^2)}[/math]. Representamos las curvas de nivel del campo T y, gráficamente, podemos ver que la temperatura será máxima en la zona con colores más intensos, es decir, en la parte superior de la placa.
u=[1/2:0.1:2];
v=[0:0.1:2*pi+0.1];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v)
Mx=cosh(Mu).*cos(Mv)
My=sinh(Mu).*sin(Mv)
t=exp(-(Mx.^2+(My-2).^2))
surf(Mx,My,t)
axis([-4,4,-4,4])
view(2)
3.1 Gradiente de la temperatura
El gradiente nos indica la dirección por la cual la temperatura varía más rapido. Como podemos observar, [math]\nabla T[/math] es ortogonal a las curvas de nivel. Las flechas nos indican la dirección hacia la cual la temperatura aumenta (hacia el centro de la zona superior de la placa), y a mayor número de flechas, mayor velocidad de variación de la temperatura. Como las lineas de nivel no son equidistantes podemos deducir que el campo no experimenta una variación lineal.
[math]\nabla T = -2xe^{-(x^2+(y-2)^2)} \vec i -(2y-4)e^{-(x^2+(y-2)^2)} \vec j[/math]
u=[1/2:0.1:2];
v=[0:0.1:2*pi+0.1];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v)
Mx=cosh(Mu).*cos(Mv)
My=sinh(Mu).*sin(Mv)
t=exp(-(Mx.^2+(My-2).^2))
surf(Mx,My,0*Mx)
axis([-4,4,-4,4])
view(2)
fx= (-2*Mx).*exp(-(Mx.^2+(My-2).^2))
fy=-(2*My-4).*exp(-(Mx.^2+(My-2).^2));
contour(Mx,My,t);
hold on;
quiver(Mx,My,fx,fy);
hold off;
4 Campo de desplazamientos [math]\vec u [/math]
Suponemos que una fuerza aplicada sobre la placa genera una deformación. El desplazamiento de la placa plana originado por una vibración en un instante [math]t_0[/math] de tiempo, está definido según el siguiente campo vectorial: [math]\vec u(u,v)=\frac{u-1/2}{\cosh^2(u)-\cos^2(v)}\vec g_{v}.[/math] De esta forma, al aplicar tal campo a cada punto de nuestra placa, se originará un desplazamiento.
u=[1/2:0.1:2];
v=[0:0.1:2*pi+0.1];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v)
Mx=cosh(Mu).*cos(Mv)
My=sinh(Mu).*sin(Mv)
fx=((Mu-1/2).*(-cosh(Mu).*sin(Mv)))./((cosh(Mu)).^2-(cos(Mv)).^2)
fy=((Mu-1/2).*(sinh(Mu).*cos(Mv)))./((cosh(Mu)).^2-(cos(Mv)).^2)
quiver(Mx,My,fx,fy)
axis([-4,4,-4,4])
view
4.1 Efecto del campo de desplazamientos
Una vez aplicado el campo, podemos apreciar el desplazamiento de los puntos de la placa y compararlo con la placa sin desplazar. Se puede observar que las deformaciones son mayores en el interior de la placa, debido a que el campo en el interior es mayor.
u=[1/2:0.1:2];
v=[0:0.1:2*pi+0.1];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v)
Mx=cosh(Mu).*cos(Mv)
My=sinh(Mu).*sin(Mv)
fx=((Mu-1/2).*(-cosh(Mu).*sin(Mv)))./((cosh(Mu)).^2-(cos(Mv)).^2)
fy=((Mu-1/2).*(sinh(Mu).*cos(Mv)))./((cosh(Mu)).^2-(cos(Mv)).^2)
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,0*Mx)
axis([-4,4,-4,4])
subplot(2,1,2)
mesh(Mx+fx,My+fy,0*Mx)
axis([-4,4,-4,4])
4.2 Divergencia del campo [math]\vec u [/math]
[math]\nabla· \vec{u} = 0 [/math]
Que la divergencia de nuestro campo sea 0 nos indica que el desplazamiento de los puntos de la placa no provoca un cambio de volumen en la misma.
4.3 Rotacional del campo [math]\vec u [/math]
[math]\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{\cosh^2(u)-cos^2(v)} [/math]
El rotacional de un campo nos indica la capacidad que tienen los puntos de nuestra placa para girar sobre un determinado punto. Se puede observar que los puntos interiores, a lados izquierdo y derecho principalmente, sufren un mayor rotacional, es decir, tendrán una mayor capacidad de giro.
5 Campo de desplazamientos [math]\vec u' [/math]'
A su vez, vamos a utilizar el campo [math]\vec u'(u,v)=-\frac{u-1/2}{\cosh^2(u)-\cos^2(v)}\vec g_{u}[/math]. La representación de dicho campo sería esta:
5.1 Deformación provocada por el campo
Al aplicar dicho campo a nuestra placa y comparando su estado inicial al final, se puede observar la deformación que produce a los puntos de la placa.
5.2 Divergencia del campo [math]\vec u' [/math]
[math]\nabla· \vec{u} =\frac{-1}{\cosh^2(u)-cos^2(v)} [/math]
La divergencia nos indica el cambio de volumen de la placa debido al desplazamiento. En dicho campo, al ser la divergencia negativa, se producirá una contracción del volumen en toda la placa, siendo mayor en los puntos interiores esta, como se puede observar en la representación.
5.3 Rotacional del campo [math]\vec u' [/math]
[math] \nabla \times\vec{u'}= 0 [/math]
El rotacional 0 nos indica que el campo [math]\vec u' [/math] no induce al giro a los puntos de la placa.
6 Masa de la placa
Siendo [math] d(x,y)=xe^{\frac{-1}{y^2}} [/math] la densidad de la placa, calculamos la masa de la misma, pasando primero a nuestras coordenadas curvilíneas. Al no poderse integrar directamente, la calculamos por aproximación mediante MATLAB.
h=1/1000;
u=[1/2:h:2];
v=[0:h:2*pi+0.1];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
d=((cosh(Mu).^2)-(cos(Mv).^2)).*(cosh(Mu).*cos(Mv)).*exp((-1)./(sinh(Mu).^2).*(sin(Mv).^2));
a=h^2*d;
masa=sum(sum(a))Masa = 1.5983
6.1 Centro de masas de la placa
Calculamos las coordenadas [math]x[/math] e [math] y[/math] del centro de masas integrando de la misma forma:
h=1/1000;
u=[1/2:h:2];
v=[0:h:2*pi+0.1];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
d=((cosh(Mu).^2)-(cos(Mv).^2)).*(cosh(Mu).*cos(Mv)).*exp((-1)./(sinh(Mu).^2).*(sin(Mv).^2));
a=h^2*d;
masa=sum(sum(a))
dx=(cosh(Mu).*cos(Mv)).*((cosh(Mu).^2)-(cos(Mv).^2)).*(cosh(Mu).*cos(Mv)).*exp((-1)./(sinh(Mu).^2).*(sin(Mv).^2));
b=h^2*dx;
xc=(sum(sum(b)))./masa
dy=(sinh(Mu).*sin(Mv)).*((cosh(Mu).^2)-(cos(Mv).^2)).*(cosh(Mu).*cos(Mv)).*exp((-1)./(sinh(Mu).^2).*(sin(Mv).^2));
c=h^2*dy;
yc=(sum(sum(c)))./masa
xc = 93.8347
yc = 0.1359
