Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Fuidos (Grupo 16A)

1 Introducción

Un fluido es una sustancia material continua y deformable cuando es sometida a una tensión de cortadura (relación entre la componente tangencial a la superficie de la fuerza y el área de la superficie).

La mecánica de fluidos es una rama de la mecánica racional que estudia el comportamiento de los mismos tanto en reposo (estática de fluidos), como en movimiento (dinámica de fluidos).
La velocidad de las partículas de un fluido constituye un Campo Vectorial.

2 Representación de un Campo Escalar de campos escalares y vectoriales en fuidos

La representación de una región ocupada por un fluido, con un obstáculo circular en el centro es la siguiente.

Es el mallado donde representaremos el campo vectorial dado por la velocidad del fluido

La gráfica anterior viene dada por el siguiente programa en Matlab:

h=0.1;
r=1:h:5;
tt=0:h:2*pi+h;
[R,TT]=meshgrid(r,tt);
Mx=R.*cos(TT);
My=R.*sin(TT);
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-4,4,-4,4])

3 Cálculo del Gradiente de una función escalar φ

Sea por ejemplo φ=(ρ+1/ρ)cos θ

[math] ∇φ=\frac{\partial φ}{\partial x_i}·\vec g^i=\frac{\partial φ}{\partial ρ}·(\vec g^ρ)+\frac{\partial φ}{\partial θ}·g^θ=(1-\frac{1}{ρ^2})cosθ·\vec g^ρ-(ρ+\frac{1}{ρ})senθ·\vec g^θ [/math]
Para conocer las componentes del gradiente en la base recíproca uso la matriz de Gram.
[math] \vec g^ρ=\vec g_ρ[/math]

[math] \vec g^θ=\frac{1}{ρ^2}\vec g_θ[/math]

Obteniendo:
[math] ∇φ=(1-\frac{1}{ρ^2})cosθ·\vec g_ρ-(\frac{1}{ρ}+\frac{1}{ρ^3})·senθ·\vec g_θ[/math]

3.1 Ortogonalidad entre campo y gradiente

Como cualquier gradiente,es ortogonal a las curvas de nivel. Si lo observamos en sus correspondientes gráficas,el campo de velocidades y sus curvas de nivel, vemos que cumplen la ortogonalidad.

Campo de velocidades del fluido

Curvas de nivel del campo de velocidades

h=0.1;
r=1:h:5;
tt=0:h:2*pi+h;
[R,TT]=meshgrid(r,tt);
Mx=R.*cos(TT);
My=R.*sin(TT);
Zx= (((1./R - 1./R.^3).*cos(TT)).*Mx)+ (((1./R + 1./R.^3).*sin(TT)).*My);
Zy=(((1./R - 1./R.^3).*cos(TT)).*My)- (((1./R + 1./R.^3).*sin(TT)).*Mx); 
quiver(Mx,My,Zx,Zy)
hold on
PHI=(R+(1./R)).*cos(TT);
contour(Mx,My,PHI,50)
axis([-4,4,-4,4]);
view(2)
hold off

h=0.1;
r=1:h:5;
tt=0:h:2*pi+h;
[R,TT]=meshgrid(r,tt);
Mx=R.*cos(TT);
My=R.*sin(TT);
Zx= (((1./R - 1./R.^3).*cos(TT)).*Mx)+ (((1./R + 1./R.^3).*sin(TT)).*My);
Zy=(((1./R - 1./R.^3).*cos(TT)).*My)- (((1./R + 1./R.^3).*sin(TT)).*Mx); 
quiver(Mx,My,Zx,Zy)
axis([-4,4,-4,4]);
view(2)

La función potencial φ=(ρ+1/ρ)cosθ es aquella cuyo gradiente es el campo de velocidades del fluido.Su gráfica es la siguiente

Representación en 2D de la Función del Potencial del fluido

Representación en 3D de la Función del Potencial del fluido

Y el correspondiente programa de Matlab es:

h=0.1;
r=1:h:5;
tt=0:h:2*pi+h;
[R,TT]=meshgrid(r,tt);
Mx=R.*cos(TT);
My=R.*sin(TT);
PHI=(R+(1./R)).*cos(TT);
mesh(Mx,My,PHI)
axis([-4,4,-4,4]);
view(2)

3.2 Cálculo en otra funcion Φ

Sea [math]ψ =cosθ(\frac{ 1}{ ρ} +ρ)+θ\frac{1}{4π}[/math] entonces la representación gráfica del Campo de velocidades [math]\vec v[/math] y [math]\vec v= \vec u\times\vec k[/math] es la siguiente:

Representación del Campo de velocidades ,v y Φ

Gráfica en 3D de la superficie ψ

h=0.1;
r=1:h:5;
tt=0:h:2*pi+h;
[R,TT]=meshgrid(r,tt);
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);
f=(1./R-(1./R.^2)).*sin(TT);
surf (X,Y,f)
axis([-4,4,-4,4]);

h=0.1;
r=1:h:5;
tt=0:h:2*pi+h;
[R,TT]=meshgrid(r,tt);
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);
f=(R+(1./R)).*cos(TT)+(TT./(4.*pi));
surf (X,Y,f)
axis([-4,4,-4,4]);

Observación:Es fácil ver que sumar una constante a una función no afecta al cálculo de su rotacional o su divergencia, luego la función ψ es irrotacional y tiene divergencia nula(por definición) por ser ψ=φ+cte.

4 Divergencia y Rotacional del Campo de Velocidades

La divergencia del campo es nula en todos los puntos. [math] ∇\vec u=\frac{1}{\sqrt{g}}·\frac{\sqrt{g}·\vec u^i}{\partial{x^i}} [/math]
[math] ∇\vec u=[\frac{1}{ρ}]·[\partial\frac{ρcosθ(1-\frac{1}{ρ^2})}{\partial{ρ}}-\partial\frac{ρsenθ(\frac{1}{ρ}+\frac{1}{ρ^3})}{\partial{θ}}]=\frac{1}{ρ}[1+\frac{1}{ρ^2}cosθ-(1+\frac{1}{ρ^2})cosθ]=0 [/math]

Esto significa que es un campo solenoidal,es decir que es un campo cuyas fuentes escalares son nulas en todos los puntos del espacio.

También es un campo irrotacional, esto significa es lo que gira el campo alrededor de un punto. Rotacional es nulo de antemano ya que estamos calculando el rotacional del gradiente de un campo escalar.

[math] rot \vec u =\frac{1}{\sqrt{ρ}}\left| \begin{matrix} \ g_ρ & \ g_θ & \ g_z \\ & & \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ & & \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{matrix}\right| =\frac{1}{ρ}[-\frac{\partial{\vec u_2·\vec g_ρ}}{\partial(z)}]=\frac{1}{ρ}[0+0+((-senθ)(1-\frac{1}{ρ^2})+(1-\frac{1}{ρ^2})\vec g_z)]=0 [/math]

5 Puntos en la Frontera

En los puntos de la frontera de la superficie,los que tienen velocidad máxima, mínima y nula, para ρ=1, son:
[math] ∇\vec u =0\vec g^ρ-2senθ\vec g^θ=∇\vec u=0\vec g_ρ-2senθ\vec g^θ [/math]
Entonces para θ=π/2 la velocidad es Mínima
Para θ=3π/2 la velocidad es Máxima
Para θ=0+kπ la velocidad es Nula(Puntos de Remanso)

6 Ecuación de Bernoulli

El principio de Bernoulli, también denominado ecuación de Bernoulli o Trinomio de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido moviéndose a lo largo de una línea de corriente. Fue expuesto por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinámica (1738) y expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en régimen de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido. La energía de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes:

1. Cinética: es la energía debida a la velocidad que posea el fluido.
2. Potencial gravitacional: es la energía debido a la altitud que un fluido posea.
3. Energía de flujo: es la energía que un fluido contiene debido a la presión que posee.

La Ecuación es la siguiente [math]\frac{1}{2}ρ|\vec v|^2+P=cte[/math] Si suponemos en el caso que la velocidad viene dada por el campo [math] \vec u=∇φ=(1-\frac{1}{ρ^2}cosθ·\vec g_ρ)-(\frac{1}{ρ}+\frac{1}{ρ^3})·senθ·\vec g_θ[/math]
Entonces los puntos con presiones extremas serán los siguientes:
[math] \frac{1}{2}ρ|\vec u|^2+P=cte [/math] [math] \frac{1}{2}·2·|\vec u|^2+P=cte=1 [/math] [math] P=cte-|\vec u|^2=cte-[cosθ(1-\frac{1}{ρ^2})]^2-[senθ(\frac{1}{ρ}+\frac{1}{ρ^3})]^2=1-(cosθ)^2[\frac{ρ^4+1-2ρ^2}{ρ^4}]+(senθ)^2[\frac{ρ^4+1+2ρ^2}{ρ^6}] [/math]
Estos puntos se ven en la gráfica de las presiones.

Campo de Presiones del fluido

h=0.1;
r=1:h:5;
tt=0:h:2*pi+h;
[R,TT]=meshgrid(r,tt);
Mx=R.*cos(TT);
My=R.*sin(TT);
presion=1-((cos(TT).^2).*((R.^4+1-2*R.^2)./R.^4))-((sin(TT).^2).*((R.^4+1+R.^2)./R.^6));
mesh(Mx,My,presion)
colorbar

7 Aplicación del Teorema de Kutta-Joukowski

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema de la aerodinámica y sirve para cuantificar la elevación obtenida por un flujo de aire sobre un cilindro giratorio. La relación de elevación es: Elevación por unidad de volúmen = L = rGV

Donde r es la densidad del aire, V es la velocidad del flujo, y G se llama "intensidad de vórtice". La intensidad de vórice está dada por G = 2pwr2

Calculo La integral a lo largo de una curva cerrada del campo vectorial,también llamada circulación del campo a través de la curva, es nula
[math] ∫ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 [/math]
Como obtengo que la circulación es nula, entonces el obstáculo no opone resistencia al movimiento del fluido.Esto es la paradoja de D'Alembert.

8 Líneas de Corriente

Observando las líneas de corriente,presión y velocidad podemos averiguar la trayectoria que sigue cada partícula del fluido.
[math]|\vec u|=\sqrt{(cosθ)^2(1-\frac{1}{ρ^2})^2+(senθ)^2(\frac{1}{ρ}+\frac{1}{ρ^3})^2} [/math]

Campo de Presiones del fluido

Campo de velocidades del fluido