Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)
Contenido
1 Introducción
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región [math] [-1/2,1/2] \times [0,2][/math]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura [math]T(x,y,t)[/math], que depende de las dos variables espaciales [math](x,y)[/math] y el tiempo [math]t[/math], y los desplazamientos [math]\vec u(x,y,t)[/math]. De esta forma, si definimos [math]r_0(x,y)[/math] el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto [math](x,y)[/math] de la placa en un instante de tiempo [math]t[/math] viene dada por: [math] \vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t). [/math] Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda: [math] \vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct), [/math] donde [math]\vec a[/math] se conoce como amplitud, [math]\vec b[/math] es la fase que indica la dirección de propagación y [math]c/|\vec b|[/math] es la velocidad de propagación.
Si [math]\vec a [/math] es paralelo a [math]\vec b[/math] diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.
En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente: [math] \vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0. [/math] En este caso, [math]\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j[/math].
2 Mallado de puntos interiores de la placa
Tomando como paso de muestreo [math]h=1/10[/math] mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
3 Campo de temperaturas
La temperatura del sólido viene dada por [math]T(x,y)=e^{-y}[/math]. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
3.1 Gradiente de temperatura y curvas de nivel
Calculamos el gradiente de T:
[math]∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j[/math]
Calculamos ahora las curvas de nivel:
[math]f(x,y) = e^{-y} = C[/math] [math]{\forall (x,y)∈ R^2}[/math] siendo C una constante
Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
4 Campo de vectores
Consideramos el campo de vectores [math]\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j[/math] que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
4.1 Divergencia
Calculamos la divergencia de [math]\vec u[/math] que es la traza del tensor [math]∇\vec u[/math]
[math]∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} = \frac{\pi cos{\pi y}}{10}[/math] siendo [math] \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j[/math]
1) La divergencia máxima la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando y, tome el valor de un número natural N par.
2) La divergencia será mínima cuando y tome el valor de un numero natural N impar.
3) En los casos en los que se anule el coseno la divergencia será nula lo cual ocurrirá cuando y tome los valores [math]\frac{2N-1}{2}[/math].
Ésto se visualiza en el siguiente gráfico:
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f = 0.1*(pi*cos(pi*Y)); % Función divergencia (escalar)
surf(X,Y,f)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
1) Según el Teorema de la divergencia de Gauss los puntos que experimentarán mayor variación de volumen serán aquellos de mayor divergencia
2) La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.
Por tanto aquellas zonas que actúan como fuentes han experimentado una vibración en sentido positivo y aquellas zonas que actúan como sumidero han experimentado una vibración igual pero en sentido negativo. Aquellas zonas en las que el módulo de la fuerza es mayor en un sentido o en otro resultan ser las que tienen mayor tendencia a variar su volumen.
4.2 Rotacional
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie
Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial [math]\vec u[/math]:
[math]∇\times \vec u = 0[/math]
Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir movimientos de es nula.
5 Campo de tensiones
Definamos [math]\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2[/math], la parte simétrica del tensor gradiente de [math]\vec u[/math], que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones [math]\sigma_{ij}[/math] a través de la fórmula: [math] \sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}, [/math] donde [math]\lambda[/math] y [math]\mu[/math] son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando [math]\lambda=\mu=1[/math].
[math]2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{5}\end{bmatrix} [/math] Calculamos [math]\sigma_{ij}[/math] utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
[math]\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi cos(\pi y)}{10} & 0 \\ 0 & \frac{3\pi cos(\pi y)}{10}\end{bmatrix}[/math]
5.1 Tensiones normales
5.1.1 Eje [math]\vec i[/math]
La componente normal en [math]\vec i[/math] ,[math](\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i[/math] es en módulo: [math]\frac{\pi cos(\pi y)}{10}[/math]
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
f = 0.1*(pi*cos(pi*Y)); % función escalar (módulo del campo)
di = f; % sólo queremos representar la componente i
dj = f*0;
hold on
figure(1)
surf(X,Y,di);
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
quiver(X,Y,di,dj)
view(2)
hold off
5.1.2 Eje [math]\vec j[/math]
La componente normal en [math]\vec j[/math] ,[math](\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j[/math] es en módulo: [math]\frac{3\pi cos(\pi y)}{10}[/math]
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
f = 0.3*(pi*cos(pi*Y));
di = f*0;
dj = f;
hold on
figure(1)
surf(X,Y,dj);
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
quiver(X,Y,di,dj)
view(2)
hold off
5.2 Tensiones tangenciales
5.2.1 Eje [math]\vec i[/math]
Usando la fórmula [math]\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i[/math] , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje [math]\vec i[/math]. Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas debido a que las tensiones en [math]\vec i[/math] son exclusivamente tensiones normales.
5.2.2 Eje [math]\vec j[/math]
Usando la fórmula [math]\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j[/math] , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje [math]\vec j[/math]. Análogamente como en el apartado anterior concluimos de la misma forma afirmando que las tensiones en [math]\vec j[/math] son únicamente tensiones normales.
