Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G17-A)

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Trabajo realizado por estudiantes
Título Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 17-A
Asignatura Teoría de Campos
Curso 2014-15
Autores Ana Cristina Fernández Delgado, Patricia Alcón Gil, Dolores Ruiz Mirón
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura





1 MALLADO DEL SOLIDO

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas P1 : 18y−81x2−1 = 0, y P2 : 2y +x2 −1 = 0. Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan: 

                                                                  x= uv
                                                               [math]y=\frac{(u^2−v^2)}{2}[/math]

con u, v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

La representación de los puntos interiores del sólido nos queda: 


h=0.2;                
u=1/3:h:1;               % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1;          % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*vv;        % Parametrización X.
yy=0.5*((uu.^2)-(vv.^2));        % Parametrización Y.
subplot(1,2,1);       
mesh(xx,yy,0*xx)       % Mallado.
axis([-1,1,-1,1])      
view(2)                
subplot(1,2,2);


centro

2 LINEAS COORDENADAS Y VECTORES DE LA BASE NATURAL

Las líneas coordenadas y los vectores de la base natural irán cambiado de dirección según cada punto de la placa, ya que la base natural en estas coordenadas no es constante.

Se observa en el siguiente gráfico: 

h=1/20;                 
u=1/3:h:1;              
v=-1:h:1;               
[uu,vv]=meshgrid(u,v); 
xx=uu.*vv;                 
yy=1/2*((uu.^2)-(vv.^2));   
guu=vv;
guv=uu;
gvu=uu;
gvv=-vv;
figure(6)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx);
quiver(xx,yy,guu,guv)
quiver(xx,yy,gvu,gvv)
axis(-1,1,-1,1)
view(2)
hold off


centro

3 TEMPERATURA DEL SOLIDO

La temperatura de nuestro campo escalar esta definida por la función T(x, y) =e-y, por lo que observaremos su comportamiento la lo largo de nuestra placa plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable (y), lo que quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor de y. Además por el signo negativo del exponente, la T aumenta con valores pequeños de y, concentrándose una gran cantidad de calor en la zona inferior de la placa (-1,-0,2). Finalmente podemos observar como la temperatura va descendiendo a medida la curva del arco de placa se va haciendo más grande. 


f=exp(-yy);               % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1);          
surf(xx,yy,f);           
view(2)                   
axis([-1,1,-1,1])        
subplot(1,2,2);        
surf(xx,yy,f); 
colorbar;


centro

La variación del campo escalar T para estudiarla usaremos el ∇T. Se puede observar por la definición de gradiente que el campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de la placa. Además cuando la temperatura es más alta, el modulo del gradiente es mayor en cada punto.


∇T = ∂T/∂u ḡu+∂T/∂v ḡv = eu/(u2 + v2) ḡu + ev/(u2+ v2 ) ḡv 

h=0.05;              
u=1/3:h:1;               
v=-1:h:1;          
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

figure(1)
xx=uu.*vv;        
yy=((1/2)*((uu.^2)-(vv.^2))); 
hold on                        
f=exp(-yy);                   
contour(xx,yy,f,30)           
axis([-1,1,-1,1])             
fx=xx*0;                       
fy=-exp(-yy);                  
quiver(xx,yy,fx,fy)           
axis([-1,1,-1,1])             
view(2)                       
colorbar                      
hold off
centro


4 CAMPO Y CAMPO DE DEFORMACIONES

El campo ū nos ha quedado como ū(u,v)=(4v2)/(u2+v2 ) (vî+uĵ) . Para dibujar los vectores en los puntos del mallado del sólido, mediante matlab hemos obtenido: 


h=1/20;              
u=1/3:h:1;               
v=-1:h:1;          
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;        
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));        
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));
 
subplot(1,2,1);
 mesh(xx,yy,0.*xx)
 view(2)
 axis([-1,1,-1,1])  
 hold on
 
 title('campo con vectores')
 subplot(1,2,2)
 plot3(ux,uy,0.*xx)
 title('campo de deformaciones')


centro

El sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū. Como podemos ver si se ha producido un desplazamiento apreciable, produciéndose un desplazamiento transversal en las distintas direcciones. 


subplot(1,2,1)
h=1/20;              
u=1/3:h:1;               
v=-1:h:1;          
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;        
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));   
 
mesh(xx,yy,0*xx)       % Dibujo del mallado
 
axis([-1,1,-1,1])      % RegiÛn del dibujo 
 
 axis equal                   
 
 subplot(1,2,2)
 h=1/20;              
u=1/3:h:1;               
v=-1:h:1;          
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*vv;        
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));   
figure(1)
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2)); 
mesh(ux+xx,uy+yy,xx*0)   % Dibujo de las funciones
 
axis([-1,1,-1,1])
 
    axis equal
 
    view


centro

5 DIVERGENCIA

Previamente ha operar la divergencia hemos realizado un cambio de base de (î, ĵ) a ( ḡu,ḡv) por lo que haciendo el cambio de base el campo vectorial nos ha quedado finalmente:

ū(u,v)=(4v2)/(u2+v2 ) ḡu


∇∙ū=1/√g [ d/(dxi ) (√gUi) ] = 1/(u2+ v2 ) [ d/du((u2+ v2 )Uu+d/dv((u2+ v2)Uv ] = 0

La divergencia es 0 no se producirán deformaciones de área, y todos los puntos poseen la misma divergencia.

6 ROTACIONAL

Con el campo calcularemos el rotacional:


∇xū = 1/√g \begin{vmatrix} gu & gv \\ d/du & d/dv \\ Uu & Uv \end{vmatrix} = ( -8v/u2 + v2 )

|∇ x ū| = (-8v)/(u2+v2 ) 


h=1/20;              
u=1/3:h:1;               
v=-1:h:1;          
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;        
yy=((1/2)*((uu.^2)-(vv.^2))); 
rot=(-8*vv./(uu.^2 + vv.^2));
 
subplot(1,2,1);
 surf(xx,yy,rot)
 view(2)
 axis equal
 title('rotacional 2D')
 subplot(1,2,2);
 surf(xx,yy,rot)
 title('rotacional 3D')
view(2)


ninguna

El rotacional se interpreta como la cantidad de giro que produce un campo,en este caso alrededor de vector ḡv. Como podemos observar en el gráfico, el rotacional, el rotacional es mayor cuando aumenta en el valor de las ordenadas (v). Como conclusión las puntos que se aprecian que tiene mayor rotacional son cuando la v vale 15.

7 TENSIONES

La parte simétrica del tensor gradiente de ū la definimos como: ϵ(ū)=(∇ū+∇ūt )1/2

∇ū = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 8v-4v3/(u2 + v2 ) \\ 4v3/( u2 + v2 ) & 4v2 / ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

∇ūt = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 4v3/( u2 + v2 ) \\ 8v-4v3/(u2 + v2 ) & 4v2 / ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}


ϵ(ū)=(∇ū +∇ūt)1/2 = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 4v/(u2+v2) \\ 4v/(u2+v2) & 4v2/(u2+v2) \end{pmatrix}


el tensor de tensiones σ :

σ = λ (∇∙ū)∙1+2µϵ = 2µϵ Tomando λ = µ = 1, y sabiendo que (∇∙ū )= 0 σi, j = 2µϵ = \begin{pmatrix} 8v2/ ( u2 + v2 ) & 8v/ ( u2 + v2 ) \\ 8v/ ( u2 + v2 ) & 8v2/ ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

las tensiones normales en la dirección de u

(ḡu) /| ḡu | ∙ σ∙ (ḡu) /| ḡu | = (8v2)/ (( u2 + v2 )2 ) ḡu

y las tensiones normales en la dirección de v

(ḡv) /| ḡv | ∙ σ∙ (ḡv) /| ḡv | = (8v2)/ (( u2 + v2 )2 ) ḡv


centro

Comparando las graficas de las tensiones normales con las del modulo de la divergencia y la del modulo del rotacional, vemos que como la divergencia es nula, es distinta de las graficas obtenidas anteriormente y con respecto al rotacional la grafica de la tensión normal en u y v es igual que la del rotacional pero cambiadas de signo.

8 MASA TOTAL DE LA PLACA

La densidad de la placa esta definida por la siguiente función:

d(x,y)=|x|e(-1/y2)


Por lo tanto:

M=2 ʃ0.30ʃ½-⅓x281/18X2+1/18 (xe-1/y2) dydx = 4.6405*10-5 unidades de masa

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