Usuario:Abdallah

1 velocidad máxima del fluido y su gráfica de comportamiento .

Para encontrar los puntos donde la velocidad del fluido es maxima, derivamos respecto de ρ:

[math]\vec{u}(\rho,\theta,z)= \left(\frac{5}{4}\rho^{2}-{9}\right)\vec{e_{z}}[/math]

[math] \frac{\partial \vec{u}} {\partial \rho}=\left(\frac{5}{4}\rho\right)\vec{e_{z}} [/math]

[math] \frac{\partial \vec{u} }{\partial \theta}=0 [/math]

[math] \frac{\partial \vec{u} }{\partial z}=0 [/math]

Si [math] \frac{\partial \vec{u} }{\partial ρ}=0 [/math] entonces ρ=0, que corresponde al eje del tubo.Es decir, la velocidad maxima en el eje del tubo.

La siguiente gráfica es la comportamiento de la velocidad,la cual nos muestra el comportamiento en ρ=0, en la que se obseva que cuanto mas nos acerquemos alos bordes de la tuberia la velocidad disminuye, entonces deducimos que la velocidad máxima es en el eje

Comportamiento módulo de máxima velocidad

rho=0:0.1:2;
f=((5/4)*(rho.^2))-9; 
plot(rho,f);
title('Comportamiento del módulo del campo de velocidades');
xlabel('Radio de la sección');
ylabel('Variación de la velocidad');
axis([0,2,0,3.5])

2 Rotacional

El rotacional de un campo vectorial nos enseña la tendencia que tiene este campo vectorial a girar en torno a un punto. Para llevar a cabo el rotacional del campo [math]\overrightarrow{u}[/math] utilizaremos la fórmula:

[math]\nabla\times\vec u=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec{e_\rho} & \rho\vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix}[/math]

Con el campo vectorial que sacamos del apartado 3 el rotacional nos quedaría: [math]\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left(\rho,\theta,z\right)= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \overrightarrow{e_{\rho}} &\rho \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\ \frac{d}{d\rho}& \frac{d}{d\theta} &\frac{d}{dz} \\ 0 & 0 & \left(\frac{5}{4}\rho^{2}-{9}\right)\vec{e_{z}} \end{vmatrix}=\left(\frac{-5}{2}\rho\right)\vec{e_{\theta}} [/math]

El rotacional nos queda: [math]\triangledown\times\vec{u}\left(\rho,\theta,z\right)=\frac{-5\rho}{2}[/math]

Para poder ver la gráfica vamos a utilizar Matlab para visualizarlo gráficamente:

Rotacional del Campo

clear;
clc;
x=0:0.1:2;
y=0:0.1:10;
[x,y]=meshgrid(x,y);
rot=abs((5./2).*x);
surf(x,y,rot)
colorbar
view(2)
axis([0,3,0,10])
title('Rotacional del campo');
hold off

En el gráfico los puntos con menor tendencia a rotar se van a encontrar con unos colores fríos (azul) y los puntos con mayor rotación con colores más cálidos (naranja/amarillo). Como se puede observar en el gráfico los colores cálidos se encuentran en las paredes.