Placa con forma de corona elíptica. Grupo 12C

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Deformaciones de una placa plana corona elíptica. Grupo 12C
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2014-15
Autores	Marta Isabel García Bernardez, Mairena Pérez López, Marta Ruiz Martinez
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

La realización del trabajo consiste en estudiar las modificaciones producidas en el sólido que nos dan en el enunciado de dicho trabajo. El sólido que nos dan se trata de una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre dos elipses. Para representarla usaremos el sistema de coordenadas elíptico:

                                               x = cosh(u) cos(v)
                                               y = sinh(u) sin(v)             

El sólido va a variar por la acción de dos cantidades físicas: la temperatura T(u,v), que depende de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y los desplazamientos u(x,y). De esta forma, si definimos r₀(u,v) como el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (u,v) de la placa después de la deformación viene dada por: Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:

2 Mallado del sólido

En primer lugar definiremos los vectores u y v tiendo como toma de muestreo h=1/10. Además sabemos que el comando 'meshgrid' define dos matrices en las coordenadas u y v de los puntos de la malla de la región entre las dos elipses. A continuación realizamos el programa en Matlab para visualizar nuestra placa:

h=0.1;                             %espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h;                  %definimos los vectores u y v
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=cosh(U).*cos(V);          %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X);                %realizamos el mallado
axis([-4,4,-4,4]);               %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2);                           %situamos el punto de vista desde arriba

3 Lineas de coordenadas y vectores de la base natural

Los vectores de la base natural consiste en las derivadas parciales respectivas de las coordenadas elípticas dadas en el enunciado y con los cuales dibujaremos el campo de vectores en el mallado.

Para obtener dicha gráfica realizamos a continuación este programa en Matlab:

h=0.1;                           %definimos nuestro espacio de muestro
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h;                %definimos los vectores u y v
[U,V]=meshgrid(u,v);        %definimos las matrices
figure(2)
X=cosh(U).*cos(V);          %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X);                 %dibujamos el mallado
hold on
Gvv=-cosh(U).*sin(V);       %vectores de la base natural respecto gv
Gvu=sinh(U).*cos(V);
quiver(X,Y,Gvv,Gvu);
hold on
Guu=sinh(U).*cos(V);           %vectores base natural respecto gu
Guv=cosh(U).*sin(V);
quiver(X,Y,Guu,Guv);
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]);       %seleccionamos la región sobre la que dibujamos
title('Vectores de la base natural');   %ponemos título a la figura
view(2);                %situamos el punto de vista desde arriba

Las lineas de coordenadas asociadas al sistema de coordenadas elíptico son las que se obtienen al fijar una de las dos coordenadas y hacer variar la segunda. Esto lo hacemos mediante el siguiente programa:

%Lineas de coordenadas
h=0.1;         %definimos nuestro espacio de muestro
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h;   %definimos los vectores u y v
figure(3)
for i=0:0.1:6.2
x=cosh(u).*cos(i);  %dejamos libre u y variamos v
y=sinh(u).*sin(i);
plot(x,y,'r');
t=cosh(0.5+i).*cos(v);  %dejamos libre v y variamos u
z=sinh(0.5+i).*sin(v);
hold on
plot(t,z,'g');
hold on
plot(cosh(0.5+i).*cos(i),sinh(0.5+i).*sin(i),'*');
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]);
end

4 Visualización de un campo escalar en el sólido

Siendo T(x,y) la función que determina la temperatura existente en nuestro sólido, \(T(x,y) = e^{-(x.^2+(y-2).^2)}\), definimos esta función en formato Matlab y realizamos la superficie usando el comando 'surf', le añadimos a la gráfica una escala de color con el comando 'colorbar' para poder indentificar mejor las diferentes temperaturas que se dan en nuestro sólido. Ya que la temperatura será un foco calorífico en el origen que nos vendrá dada según la posición.Diremos que los colores más cálidos nos indicaran las zonas de mayor temperatura, siendo el rojo el más cálido.En nuestro sólido existe un diferenciación clara de dicha zona, siendo el resto de la placa azul, color que determina los colores más fríos, es decir, menor temperatura.

h=0.1;                %toma de muestreo
u=0.5:h:2;            %definimos los vectores u y v
v=0:h:2*pi+h;
[U,V]=meshgrid(u,v);  %matrices U y V
figure(3);
X=cosh(U).*cos(V);    %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
F=exp(-(X.^2+(Y-2).^2));  %definimos nuestra función de temperatura
surf(X,Y,F);              %dibujamos la superficie
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la región donde dibujar
colorbar;                  %introducimos una escala de color a nuestro sólido
view(2);                   %situamos el punto de vista desde arriba

centro

5 Visualización de un campo vectorial en el sólido

A continuación, tenemos que calcular el gradiente de la función temperatura, con el que obtenemos un campo vectoral: \(\nabla T\). Ésta nos aporta las direcciones de máxima variación de la temperatura en cada punto de nuestro sólido. Dicha dirección está representada por las flechas que se pueden ver en el gráfico, lo que nos indica que la mayor diferencia de temperatura se dará hacia el interior de la placa, zona superior (como pudimos observar en el gráfico del apartado anterior). Además, se puede observar que las curvas de nivel son siempre perpendiculares a los vectores que definen el gradiente, porque es perpendicular al vector tangente a la curva (y por lo tanto, a la respectiva curva de nivel), luego su producto escalar resulta 0.

Por otro lado, las curvas de nivel no tienen una separación lineal entre ellas. Es decir, a medida que se avanza hacia la zona de máxima variación de la temperatura (máximo gradiente de la función), la separación entre ellas se hace más pequeña. Si la placa contara con una pendiente lineal, las curvas de nivel serían equidistantes.

h=0.1;                 %toma de muestreo
u=0.5:h:2;             %definimos los vectores u y v
v=0:h:2*pi+h;
[U,V]=meshgrid(u,v);   %definimos el  matrices U y V
figure(4);
X=cosh(U).*cos(V);     %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
F=exp(-(X.^2+(Y-2).^2)); %nuestra función de temperatura
contour(X,Y,F);         %definimos las lineas de nivel de la temperatura en el mallado
hold on                 %superponemos los gráficos
%El gradiente estará definido por los vectores Fx y Fy (sus derivadas
%parciales)
Fx=(-2*X).*exp(-(X.^2+(Y-2).^2));
Fy=(-2.*(Y-2)).*exp(-(X.^2+(Y-2).^2));
quiver(X,Y,Fx,Fy);         %creamos el campo de vectores
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %ajustamos la región en la que dibujamos
view(2);                   %situamos el punto de vista desde arriba
colorbar;                  %damos una escala de color a nuestro sólido

centro

6 Campo de desplazamiento

El campo de desplazamiento como se puede observar no tiene periodicidad,porque los vectores no cambian de sentido en todo nuestro campo.

h=0.1;                        %tomamos espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h;              %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v);    %matrices del mallado
figure(5);
X=cosh(U).*cos(V);     %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
XX=-cosh(U).*sin(V);     %vectores de la base natural
YY=sinh(U).*cos(V);
FX=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
FY=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY);          %dibujamos el campo vectorial
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]);    %region donde dibujamos
view(2)                            %situamos el punto de vista desde arriba

7 Deformación de la placa

7.1 Por el campo de desplazamiento

A continuacón comparamos la gráfica del sólido inicial, y la del sólido con el campo de desplazamientos aplicado. Para ello, utilizamos el comando "subplot". Podemos ver que se da un mayor desplazamiento en el perímetro interior del sólido, ya que los módulos de los vectores del campo son mayores. El sólido es desplazado en todos sus puntos (partículas) en mayor o menor medida.

h=0.1;                            %definimos nuestro espacio de muestro
u=0.5:h:2; 
v=0:h:2*pi+h;                %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v);       %definimos las matrices
figure(6)
subplot(1,3,1)                  %primera subventana de 3 en una fila
X=cosh(U).*cos(V);          %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X);                 %dibujamos el mallado
title('solido inicial')            %titulo de la primera figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]);     %definimos las region del grafico 
view(2)                               %punto de vista del mallado desde arriba
subplot(1,3,2);                   %segunda subventana
XX=-cosh(U).*sin(V);          %vectores de la base natural respecto gv
YY=sinh(U).*cos(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RX);                       %mallado del desplazamiento
title('solido con desplazamiento')  %titulo de la segunda figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]);                  %definimos la region del grafico
view(2)                                            %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,3,3);                                  %tercera subventana
XX=-cosh(U).*sin(V);                        %vectores de la base natural
YY=sinh(U).*cos(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RY);                         %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]);                    %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2);                                             %situamos el punto de vista desde arriba
hold on                                              %superponemos la siguiente figura con la anterior
X=cosh(U).*cos(V);                           %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);  %vectores del campo de desplazamiento
FY=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY);                                                                                     %dibujamos un campo de vectores
title('solido con desplazamiento y el campo de desplazamiento');          %ponemos titulo a nuestro ultimo gráfico
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]);                                                                             %seleccionamos la regon donde dibujamos
view(2);                                                                                                     %situamos el punto de vista desde arriba

7.2 Por la divergencia

Al calcular la divergencia del campo, obtenemos el valor 0. Este operador diferencial mide el cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos.Esto nos indica que el sólido estudiado no sufrirá cambios de volumen debido al desplazamiento producido sobre él por el campo \(\vec u(u,v)\).

7.3 Por el rotacional

Por otro lado, el operador rotacional nos aporta la capacidad de rotación alrededor de un punto en el sólido (giros) producida, en nuestro caso, por el campo \(\vec u(u,v)\). En la gráfica se puede observar que el módulo del rotacional es mayor en el interior del sólido. En el gráfico a su derecha se muestra el campo con el operador rotacional aplicado sobre él. Se puede comprobar cómo la inducción al giro alrededor de un punto se aplica en las zonas superior e inferior del interior del sólido, dejando zonas sin ningún tipo de deformación por el operador rotacional.

h=0.1;                          %toma de muestreo
u=0.5:h:2;                    %definimos los vectores u y v con separacion h
v=0:h:2*pi+h;  
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(8)
subplot(1,2,1)                                     %primera subventana de dos en una fila
X=cosh(U).*cos(V);                             %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
ROT=(1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2);                 %establecemos la funcion del rotacional
surf(X,Y,ROT);                     %dibujamos la superficie
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]);                         %seleccionamos la region sobre la que dibujamos
colorbar                              %damos una escala de color a nuestra superficie
title('Rotacional del campo del desplazamiento');      %ponemos titulo a la figura
view(2);                                                                        %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,2,2);                                                              %abrimos la segunda subventana
XX=-cosh(U).*sin(V);                                                   %definimos los vectores en la base natural (gv)
YY=sinh(U).*cos(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RX);                %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]);          %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2);                                   %situamos el punto de vista desde arriba
hold on                                  %para superponer la siguiente figura con la anterior
X=cosh(U).*cos(V);
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);                                             %vectores del campo u dado
FY=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY);                                                                                      %dibujamos el campo de vectores
title('Solido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento');       %añadimos titulo a nuestra figura ultima
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]);%seleccionamos la region donde dibujamos
view(2);                                                                                                      %situamos el punto de vista desde arriba

8 Nuevo campo de desplazamiento

Nos aportan un nuevo campo de desplazamiento que de nuevo depende de los parámetros u,v. Nuestro campo produce una nueva fuerza, y con ello, un nuevo desplazamiento en el sólido inicial. Podemos observar la representación del desplazamiento de dicho campo en el siguiente gráfico, que representa su campo de vectores, del cual al observamos no vemos que tenga ninguna periodicidad. Vemos que las partículas se mueven haciendo el interior del agujero, provocando un cambio en el volumen.

Escribimos el programa siguiente en Matlab para obtener dicho gráfico:

h=0.1;                             %espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h;                  %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v);      %matrices U y V
figure(9);
X=cosh(U).*cos(V);          %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
XX=sinh(U).*cos(V);           %vectores base natural
YY=cosh(U).*sin(V);
FX=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
FY=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY);               %realizamos el campo vectorial
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]);       %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2)                                 %establecemos el punto de vista desde arriba

8.1 Deformación por el desplazamiento

Al darnos un nuevo campo de desplazamiento, el sólido inicial variará de forma distinta al caso anterior. Al fijarnos en las gráficas, comparando el sólido antes y después del desplazamiento junto con el campo de vectores, observamos que se produce una contracción, ya que la figura pasa a ser mas pequeña. Siendo mayor la contracción en la parte cercana al agujero, ya que es la zona en la que vemos que se juntan más vectores del campo.

Para realizar las tres gráficas hemos hecho el siguiente programa en Matlab:

h=0.1;                         %establecemos un espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h;              %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v);    %matrices U y V
figure(10)
subplot(1,3,1)               %abrimos primera subventana de tres en una fila
X=cosh(U).*cos(V);        %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X);                  %mallado
title('solido inicial')             %incorporamos titulo a nuestra primera figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]);     %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2)                               %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,3,2);                   %abrimos segunda subventana de tres en una fila
Guu=sinh(U).*cos(V);         %vectores base natural
Guv=cosh(U).*sin(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guu);
RY=(sinh(U).*sin(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guv);
mesh(RX,RY,0*RX);                                %realizamos el mallado
title('solido con desplazamiento')           %incorporamos titulo a nuestra segunda figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]);                           %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2)                                                     %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,3,3);                                         %abrimos tercera subventana de tres en una fila
Guu=sinh(U).*cos(V);                               %vectores base natural
Guv=cosh(U).*sin(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guu);
RY=(sinh(U).*sin(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guv);
mesh(RX,RY,0*RX);                 %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]);           %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2);                                    %situamos el punto de vista desde arriba
hold on                                    %superponemos la siguiente figura a la anterior
X=cosh(U).*cos(V);                  %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guu);
FY=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guv);
quiver(X,Y,FX,FY);                                                                             %realizamos el campo vectorial
title('solido con desplazamiento y el campo de desplazamiento');   %incorporamos titulo a nuestra tercera figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]);                                                                      %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2);                                                                                              %situamos el punto de vista desde arriba

8.2 Deformación por la divergencia

El operador de la divergencia mide el cambio de volumen local en el sólido debido al campo de desplazamientos. Si además ponemos en la misma pantalla la gráfica de la divergencia en el sólido y la del campo de desplazamientos nos ayudará a la observación de dichos cambios:

• Perderá volumen en las zonas del sólido que se contraen. Es decir, en las zonas en las que se observan mayor cantidad de vectores de desplazamiento al ser su módulo menor, llegando a empujarse las unas a las otras lo que provoca una contracción del sólido en esos puntos.
• Aumentará volumen en las zonas del sólido que se expandan. Es decir, en las zonas en las que el módulo de los vectores de desplazamiento sea mayor llegando a separarse, lo que provoca que se ensanche en esos puntos. Pero podemos observar en la leyenda de nuestro gráfico que no va hay valores positivos, ya que nos damos cuenta de que no hay zonas en las que se separen los vectores. El sólido entero se contrae, en mayor o menos medida.

Por estas razones tiene sentido que la divergencia sea negativa en los puntos cercanos al agujero, y cercana a cero en los puntos más alejados, ya que la divergencia es mayor (en módulo) en los puntos en el que los vectores se juntan o se separan. Y como los vectores de mayor módulo se encuentran en los puntos más alejados, la divergencia se aproxima más a cero en dichos puntos.

Para crear ambos gráficos, el de la divergencia y el del campo de desplazamientos, hemos realizado el programa en Matlab puesto a continuación:

h=0.1;                          %definimos el espacio de muestreo
u=0.5:h:2; 
v=0:h:2*pi+h;               %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v);    %definimos matrices U y V
figure(11)
subplot(1,2,1)               %abrimos primera subventana de dos en una fila
X=cosh(U).*cos(V);        %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
DIV=(-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2);                          %definimos la divergencia del solido
surf(X,Y,DIV);                                                              %dibujamos la superficie
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]);                                              %seleccionamos la region donde vamos a dibujar
colorbar                                                                       %damos una escala de color a nuestra anterior superficie
title('Divergencia del campo del desplazamiento');    %incorporamos titulo a nuestra anerior figura
view(2);                                                                        %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,2,2);                                                            %abrimos la segunda subventana 
XX=sinh(U).*cos(V);                                                     %vectores base natural
YY=cosh(U).*sin(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RX);                      %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]);                %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2);                                         %situamos el punto de vista desde arriba
hold on                                         %superponemos la anterior figura a la siguiente
X=cosh(U).*cos(V);                       %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
FY=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY);                                                                                %campo vectorial
title('solido con desplazamiento y el campo de desplazamiento');     %incorporamos titulo a nuestra segunda figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]);                                                                       %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2);                                                                                                %situamos el punto de vista desde arriba

8.3 Deformación por el rotacional

Al calcular el rotacional, nos saldrá 0. Esto tiene sentido, ya que como hemos podido observar en el gráfico de desplazamiento provocado por u'(u,v), se produce un variación de volumen pero no hay ningun signo que muestre que se haya producido un giro en el sólido y por lo tanto el rotacional tendrá que ser cero, ya que éste operador mide la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación a un punto. También sabemos que al tener una curva cerrada y un campo vectorial, realizamos el rotacional, este campo irá en la dirección del vector tangente a nuestra curva. Medimos la circulación media de las partículas a lo largo de nuestro campo cerrado, en este caso particular, al valer 0 nuestro rotacional la divergencia(ver figura anterior), produce una deformación en nuestro sólido inicial pero este no sufre ningún giro.

9 Masa total y centro de masas de la placa

Para poder hallar la masa utilizamos el concepto de integración,necesitamos constituir la masa, un todo, a partir de pequeñas partes, por eso utilizamos el comando 'sum' en MATLAB, con una precisión de h/1000, obteniendo un resultado aproximado muy aceptable. En nuestro caso, la masa total de nuestra placa es 31.5955.

Para calcular el centro de masas, debemos incluir en nuestra integrar las coordenadas x,y. Además, dicha integral será dividida por la masa total, obteniendo así un resultado en parámetros x e y de nuestro centro de masas. El resultado del centro de masas es:

 \(x= 2.0145\)
 \(y= -5.3419*e^{-17}\)

Para obtener estos datos, hemos llevado a cabo el siguiente programa en Matlab:

%Calculamos la masa total del sóldio
h=1/1000;
u=0.5:h:2; 
v=0:h:2*pi;       %definimos nuestros vectores u y v con una separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v);
F=(abs((cosh(U).*cos(V)).*((cosh(U).^2)-(cos(V).^2)))).*exp((-1)./(((sinh(U)).^2).*((sin(V)).^2)));a=h^2*F;
masa=sum(sum(a))    %masa total
%Calculamos el centro de masas del sólido
F1=((cosh(U).*cos(V)).*(cosh(U).*cos(V)).*((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*exp((-1)./(((sinh(U)).^2).*((sin(V)).^2)));
b=h^2*F1;
xi=sum(sum(b));
x=(xi)./masa       %centro de masas eje x
F2=((sinh(U).*sin(V)).*(cosh(U).*cos(V)).*((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*exp((-1)./(((sinh(U)).^2).*((sin(V)).^2)));
c=h^2*F2;
yi=sum(sum(c));    %centro de masas eje y
y=(yi)./masa