Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 . Póster

Se adjunta el enlace para acceder al póster realizado:
Archivo:Ondas y campos vectoriales en un arco poster.pdf

2 . Definición de las características del arco

2.1 El arco

La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:[math]\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;[/math], pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para [math]\;y\ge 0[/math]

Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:

• [math]\rho\in \left[ 1,2 \right][/math]
• [math]\theta\in \left[ 0,\pi \right][/math]

Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda. En este trabajo se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por[math]\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}[/math]

2.2 Mallado del arco

A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo [math]h=\frac{1}{10}[/math]

Mallado del arco realizado a través de Matlab:

Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.

% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);


plot(xx, yy, 'r'); 

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');

3 . La temperatura

3.1 Representación de la temperatura del arco

La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:[math]\;T(x,y)=(x-y)^{2} [/math]

Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.

Representación de la temperatura del arco

% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura 
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])

3.2 Máximos y mínimos

Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.

% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);

Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función[math]\; T(x,y)=(x-y)^{2} [/math]. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.

• [math]x=\rho cos\theta[/math]
• [math]y=\rho sen\theta[/math]

Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:[math]\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;[/math] y [math]\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0[/math]:

• [math]\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}[/math]

Se iguala la expresión a cero: [math]\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0[/math]. Como [math]\rho\gt0\;[/math] la ecuación solo se satisface si[math]\;cos\theta=sen\theta\;[/math], es decir, si [math]\;\theta=\frac{\pi}{4}\;[/math]. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es [math]T=0[/math]. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de [math]\;rho\;[/math] para hallar el valor mínimo de la temperatura.

• [math]\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta[/math]

Se iguala la expresión a cero:[math]-2\rho^{2}cos2\theta=0[/math]. Como [math]\rho\gt0\;[/math] la ecuación solo se satisface si [math]\;cos2\theta=0[/math], es decir, si [math]\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;[/math]o si [math]\;\theta=\frac{\pi}{4}\;[/math], que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: [math]\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2[/math]

El término [math]\;\rho^2\;[/math] representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar[math]\;T[/math], el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:[math]\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;[/math]. De esta manera, se obtendría el valor máximo.

Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: [math]\;x=y[/math] ([math]\theta = \pi/4[/math]). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen [math]\;\rho\;[/math], sino únicamente de la condición angular[math]\;\cos\theta = \sin\theta[/math]. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco ([math]\rho=2[/math]) en específico sobre la línea [math]y=-x[/math], es decir para [math]\;\theta = 3\pi/4[/math].

4 . Cálculo y dibujo del gradiente de la temperatura

El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente. En este caso, las "flechas" que representan el vector gradiente de temperatura, apuntan hacia la zona cálida más cercana del arco. Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:

• [math]\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))[/math].

Representación del gradiente de temperatura del arco

% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx =  2.*(xx-yy);     
Ty = -2.*(xx-yy);   

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)    
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')

Con la imagen adjunta, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. Adicionalmente, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.

Una curva de nivel de una función escalar [math]\;T(x,y)\;[/math] es el conjunto de todos los puntos [math]\;(x,y)\;[/math] donde la función tiene valor constante[math]\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C[/math].

El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería[math]\;dr\;[/math] y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:[math]\;\nabla T=0\;[/math]. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que[math]\;\nabla T\cdot dr=0\;[/math].Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

5 . Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido

Considerando el campo de vectores [math]\;\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho\;[/math] , se procece a la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

El vector[math]\;\overrightarrow{u}\;[/math]solo tiene una componente en la dirección del vector[math]\;\vec{e}_{\rho}\;[/math], que es la dirección radial. No hay componente en la dirección del vector[math]\;\;\vec{e}_{\theta}\;[/math], por lo que el campo no depende del ángulo[math]\;\theta\;[/math]. Por lo tanto, el sentido del campo de vectores en el sólido va a depender únicamente de la magnitud del radio[math]\;\rho\;[/math], es decir, el campo es puramente radial. Atendiendo a la imagen se observa que el sentido de dicho campo es del centro hacia afuera. Esto es porque el factor que multiplica al vector unitario radial[math]\;\vec{e}_{\rho}\;[/math] es siempre positivo para los valores de[math]\;\rho\;[/math] entre los que está comprendido([math]\;1\le \rho\le 2\;[/math]).
Visualmente también se puede apreciar como la longitud de los vectores va creciendo a medida que se acercan al radio máximo [math]\;\rho=2\;[/math].

Para ilustrar el campo de vectores se ha utilizado Matlab y se han seguido los siguientes pasos para la programación del código:

1. Se construye una región semicircular (entre radios 1 y 2).

2. Se dibuja el mallado de sólido.

3. Se genera el campo de vectores radial que va creciendo a medida que las flechas se aproximan al radio máximo.

4. Se grafica (quiver) sobre la región.

Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido

%Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% Crear figura
figure;

% Dibujar líneas radiales y circunferencias
plot(xx, yy, 'r'); 
hold on
plot(xx', yy', 'r');

% Ajustes visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Sección de arco con campo vectorial radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
grid on

% --- Campo vectorial radial ---
r1 = 1;
r2 = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20); % menos puntos para flechas
rho_vec = linspace(r1, r2, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);

% Componente radial
U_rho = (1/5) * (R - 1) .* R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Convertir a cartesianas
U = U_rho .* cos(THETA) - U_theta .* sin(THETA);
V = U_rho .* sin(THETA) + U_theta .* cos(THETA);

% Graficar flechas
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2); % azul, grosor 1.2

hold off

6 . Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento

A continuación, se va a dibujar el sólido antes y después del desplazamiento. El vector posición de las partículas en el sólido resulta de la suma del vector de posición de los puntos del arco en reposo y el vector desplazamiento, que viene dado por la onda[math]\;\overrightarrow{u}\;[/math]. Dicha onda es transversal y su propagación por el sólido va a provocar un desplazamiento en los puntos interiores del arco.

Para la representación:

1. Se define la placa.

2. Se crea una malla polar y se convierte a cartesianas.

3. Se aplica un desplazamiento radial que deforma la placa.

4. Se dibuja lado a lado el sólido original y el deformado.

Dibujo del campo de vectores antes y después del desplazamiento

clc; clear; close all;

% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Radios de la placa
u = 1:h:2;

% Cálculo del nº aproximado de puntos
puntos = round(pi/h) + 1;

% Ángulos
v = linspace(0, pi, puntos);

% Malla polar
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas cartesianas sin deformar
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% -------- CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ----------------
% u_r = (1/5)*(rho - 1).*rho
u_r = (1/5) .* (rho - 1) .* rho;

% Componentes cartesianas del desplazamiento:
u_x = u_r .* cos(theta);
u_y = u_r .* sin(theta);

% Coordenadas deformadas:
XX = xx + u_x;
YY = yy + u_y;
% --------------------------------------------------

figure;

% ---- SUBPLOT 1: sólido sin deformar ----
subplot(1,2,1)
mesh(xx, yy, 0*xx);  % dibujo plano
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido sin deformar');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','b');

% ---- SUBPLOT 2: sólido deformado ----
subplot(1,2,2)
mesh(XX, YY, 0*XX);
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido deformado por u(\rho,\theta)');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','r');

Como se puede observar en las imágenes adjuntadas, el sólido sufre una deformación radial. El desplazamiento radial[math]\;{u}(\rho)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;[/math] es nulo para el radio mínimo[math]\;\rho=1\;[/math] y va creciendo conforme se acerca al borde exterior[math]\;\rho=2\;[/math], donde el desplazamiento es el máximo de toda la región. En consecuencia, las semicircunferencias intermedias se desplazan hacia fuera, conservando su forma pero situándose a mayor distancia del centro. Esto produce una expansión gradual y continua del material en la dirección radial.

7 . Divergencia de [math]\overrightarrow{u}[/math]

La divergencia de un campo vectorial[math]\overrightarrow{u}[/math] definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:

• [math]\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)[/math]

El campo vectorial con el que se va a operar es:[math]\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}[/math]
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,[math]\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}[/math] para así poder sustituir los valores en [math]\nabla \cdot \overrightarrow{u}[/math]

• [math]\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0[/math]

• [math]\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)[/math]

Se multiplica[math]\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;[/math] por[math]\;\;\rho\;\;[/math]y se deriva el término respecto de[math]\;\;\rho\;\;[/math], obteniendo:

• [math]\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)[/math]

Finalmente, se obtiene la divergencia:

• [math]\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)[/math]

A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.

Representación de la divergencia de [math]\overrightarrow{u}[/math] a través de matlab:

Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.

%Intervalos de las variables
w=10; 
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p); 

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);

Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de [math] \rho [/math].
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo [math] \theta [/math], esto sucede porque la función de la divergencia no depende de [math] \theta [/math].
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial [math]\overrightarrow{u}[/math] aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

8 . Rotacional de [math]\overrightarrow{u}[/math]

El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial [math]\overrightarrow{u}[/math] definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:

• [math] \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\ \frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\ u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}[/math]

Realizando el cálculo para el campo vectorial [math]\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}[/math]

• [math]\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix} \overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\ \frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\ \frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0 \end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} [/math]

Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
Al ser el vector rotacional de [math]\overrightarrow{u}[/math] nulo, no se representará en Matlab.

9 . Tensor deformaciones

Con el campo de desplazamientos [math]\;\overrightarrow{u}\;[/math] se consigue una relación con el tensor de pequeñas deformaciones, que es la parte simétrica del tensor gradiente. Dicho tensor deformaciones viene descrito por la siguiente expresión:

• [math]\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}[/math]

La Ley de Hooke es una simplificación que relaciona las tensiones con las deformaciones de un sólido lineal. Sin embargo, en este caso se trabaja con un sólido tridimensional, por lo tanto, se hace uso de las ecuaciones constitutivas las cuales relacionan directamente el tensor de tensiones ([math]\;\sigma\;[/math]) con el tensor de deformaciones en tres dimensiones. Esta relación en un medio lineal, isótropo y homogéneo se puede expresar como:

• [math]\sigma[/math]=[math]\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon[/math]

Donde [math] \mathbf{I} [/math] es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio [math] R^{3} [/math], y [math] \lambda [/math], [math] \mu [/math] son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando [math] \lambda [/math][math]\;[/math]=[math]\;[/math][math] \mu [/math][math]\;[/math]=[math]\;[/math]1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje [math] \overrightarrow{e_{\rho}}[/math] y el eje [math]\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}[/math]
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial [math]\overrightarrow{u}[/math] y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:[math]\;[/math][math]\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}[/math].
Gradiente del campo [math]\overrightarrow{u}[/math]

• [math]\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}[/math]

Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: [math]\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)[/math]

• [math]\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}[/math]

[math]\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}[/math]

• [math]\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}[/math]

[math]\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}[/math]

• [math]\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}[/math]

[math]\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}[/math]

Por tanto:
[math]\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix} \frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\ 0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\ 0 &0&0 \end{pmatrix}[/math][math]\quad[/math]=[math]\quad[/math][math]\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 2\rho-1& 0&0 \\ 0 &\rho-1&0 \\ 0 &0&0 \end{pmatrix}[/math]

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta

[math]\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 2\rho-1& 0&0 \\ 0 &\rho-1&0 \\ 0 &0&0 \end{pmatrix}[/math]

Como se puede observar[math]\quad[/math][math]\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t[/math]. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:[math]\quad[/math][math]\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}[/math]
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente

• [math]\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 2\rho-1&0 &0 \\ 0& \rho-1&0 \\ 0& 0&0 \end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 2\rho-1 &0 &0 \\ 0& \rho-1&0 \\ 0&0 &0 \end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 2\rho-1&0 &0 \\ 0& \rho-1&0 \\ 0& 0&0 \end{pmatrix}[/math]

Conociendo [math]\epsilon (\vec u)[/math], se obtiene [math]\sigma[/math]

• [math]\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon[/math]

• [math]\sigma= 1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 2\rho-1& 0&0 \\ 0 &\rho-1&0 \\ 0 &0&0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ 0& 1&0 \\ 0& 0&1 \end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix} 2\rho-1& 0&0 \\ 0 &\rho-1&0 \\ 0 &0&0 \end{pmatrix}[/math]=[math]\;[/math][math]\frac{3}{5}\begin{pmatrix} 2\rho-1&0 &0 \\ 0& \rho-1&0 \\ 0& 0&0 \end{pmatrix}[/math]

Si a un sólido se le corta por un plano perpendicular a la dirección normal, para no perder la condición de equilibrio dentro del sólido se necesita otra fuerza : la tensión. Esta se descompone en una tensión normal, perpendicular al plano del corte, y una tensión tangencial o cortante, que actúa a lo largo de la superficie. En este apartado, se van a particularizar las tensiones normales en dos direcciones: radial y tangencial. Analíticamente, corresponden con los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o [math]\sigma[/math]

• Tensión normal en la dirección del eje[math]\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)[/math]

• Tensión normal en la dirección del eje[math]\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)[/math]

10 . Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a [math]\vec e_\rho[/math]

En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a [math]\vec e_\rho\;[/math], es decir

• [math]\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} \right |[/math]

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:

• [math]\sigma=[/math][math]\frac{3}{5}\begin{pmatrix} 2\rho-1&0 &0 \\ 0& \rho-1&0 \\ 0& 0&0 \end{pmatrix}[/math]

• [math]\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)[/math]

Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:

• [math]|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix} 2\rho-1&0 &0 \\ 0& \rho-1&0 \\ 0& 0&0 \end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0[/math]

La tensión tangencial, en este caso, es nula, ya que el vector de tensiones actúa únicamente en la dirección normal al plano. Por lo tanto no existe ninguna componente tangencial que pueda representarse.

11 . Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a [math]\frac{1}{\rho}[/math][math]\vec e_\theta[/math]

En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a [math]\frac{1}{\rho}[/math][math]\vec e_\theta[/math] , es decir:

• [math]\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta)\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |[/math]

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:

• [math]\sigma=[/math][math]\frac{3}{5}\begin{pmatrix} 2\rho-1&0 &0 \\ 0& \rho-1&0 \\ 0& 0&0 \end{pmatrix}[/math]

• [math]\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)[/math]

Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:

• [math]\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta)\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix} 2\rho-1&0 &0 \\ 0& \rho-1&0 \\ 0& 0&0 \end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 [/math]

Al igual que en el apartado anterior, la tensión tangencial es nula. Una vez aplicado el vector de tensiones sobre este plano, únicamente apunta en la dirección de la normal, sin componentes paralelas al plano. Es decir, no hay ninguna tensión tangencial que se pueda representar.

12 . Masa aproximando la integral numéricamente

La densidad de la placa viene dada por la función [math] d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} [/math].

En este caso, para el cálculo de la masa del sólido, se da como dato un campo escalar: la densidad. Por lo tanto, el resultado se va a obtener realizando una integral de superficie de la densidad. Al estar expresado el campo escalar en coordenadas cilíndricas, los parámetros y límites de integración también van a quedar definidos en este sistema de coordenadas. Esto no va a ser un problema puesto que en la introducción del artículo se dejó expresado el cambio y el dominio de las variables en dichas coordenadas cilíndricas.

La integral quedaría expresada de la siguiente manera:

• [math]M=\int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta [/math]

Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab.

% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;  
N_theta = 100; 
% Tamaño del paso
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie 
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad * jacobiano (IMPORTANTE!)
D = (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA))) .* RHO;
% Pesos del trapecio para rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
w_rho(end) = 0.5;
% Pesos del trapecio para theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Cálculo de la integral doble (forma matricial)
M = h_rho * h_theta * (w_theta' * D * w_rho);
% Resultado
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M);

La masa aproximada es[math]\;M=24.65284[/math]

13 . Aplicación física

Para concluir se va a relacionar el artículo con una aplicación física, en este caso, con una explosión dentro de una mina. Se va a modelizar dicha explosión apoyándose en el estudio realizado en este trabajo.
Se considera una mina subterránea con un explosivo en su interior que va a detonar. El medio material que experimenta la perturbación es un macizo rocoso, que es la masa de roca que rodea la excavación de la mina (el túnel o la galería). Para estudiar cómo reacciona el túnel a la explosión, se pone el foco en una sección clave de la excavación: la bóveda o arco de soporte de la mina. La posición de los puntos del macizo rocoso en cualquier instante de tiempo[math]\;t\;[/math] viene dada por:[math]\;\overrightarrow{r}(x,y,t)=\overrightarrow{r}_{0}(x,y)+\overrightarrow{u}(x,y,t)\;[/math] , donde [math]\;\overrightarrow{r}_{0}\;[/math] es el vector posición de los puntos de la placa en reposo y el vector [math]\overrightarrow{u}[/math] el vector desplazamiento. En este caso, la explosión genera una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda: [math]\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}[/math].
La detonación del explosivo no solo genera una perturbación, sino que también libera energía térmica concentrada en las zonas próximas al origen de la explosión. La temperatura viene dada por la función[math]\;T=(x-y)^2\;[/math]. Siendo la temperatura un dato conocido, se puede averiguar el gradiente de temperatura, que indica la dirección de máximo aumento de calor dentro del macizo rocoso.
La explosión del material genera una onda de vibración que se propaga radialmente [math]\;\overrightarrow{e}_{\rho}\;[/math] a través del macizo rocoso. El vector de desplazamiento se define como[math]\;\overrightarrow{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}\;[/math]. Como se puede comprobar, el vector desplazamiento es puramente radial. Este hecho es físicamente coherente con el fenómeno de una explosión, ya que el movimiento radial hacia el exterior representa la fuerza de empuje que fragmenta la roca y la separa del origen de la explosión, siendo el mecanismo principal de la voladura. Este movimiento representa la fase dominante de expansión de la onda, que es la responsable de la fragmentación y expulsión del material.
Por lo tanto, la deformación que va a sufrir el sólido por el desplazamiento, es decir, por la vibración de la onda, va a ser radial. En consecuencia, las semicircunferencias intermedias se desplazan hacia fuera, conservando su forma pero situándose a mayor distancia del centro, lo que produce dicha expansión gradual y continua del material rocoso.
Por otra parte, el fenómeno que ocurre cuando un cuerpo sufre un cambio de dimensiones se denomina deformación. Un medio deformable como la tierra tiene una deformación volumétrica definida por [math]\;\varepsilon_{v}=\frac{\bigtriangleup V}{V}\;[/math]. La divergencia mide el cambio de volumen debido al desplazamiento, en este caso provocado por la onda de la explosión. Como la divergencia es exactamente la deformación volumétrica, se puede afirmar que si [math]\;\nabla \cdot \overrightarrow{u}\gt 0\;[/math], el volumen aumenta (expansión). Por el contrario, si [math]\;\nabla \cdot \overrightarrow{u}\lt 0\;[/math], el volumen disminuye (compresión).En este caso, tiene lugar una expansión, por lo tanto, se puede afirmar que es coherente relacionar el trabajo con una explosión.
Con este tensor de deformaciones, se calcula el tensor de tensiones para calcular las tensiones normales, que son directamente responsables de la compresión o tracción del material. En este caso, las tensiones normales van a ser definidas en dos direcciones específicas: en la dirección del eje[math]\;\overrightarrow{e}_{\rho}\;[/math], que representa la tensión que actúa en la dirección de la propagación de la onda y cuantifica la presión neta ejercida por la detonación; y en la dirección del eje [math]\;\overrightarrow{e}_{\theta}\;[/math], que mide la fuerza que intenta alargar o contraer la circunferencia del arco, siendo esencial para evaluar la estabilidad global del túnel.
Finalmente, el hecho de que las tensiones tangenciales sean nulas tiene sentido físico en este contexto. Al tratarse de una explosión, como se mencionó anteriormente, la onda de presión se propaga de forma radial desde el centro de la detonación. Esto implica que no se desarrollan esfuerzos cortantes significativos sobre las superficies consideradas, ya que las partículas del medio se mueven principalmente en dirección normal a dichas superficies. Como consecuencia, las únicas tensiones relevantes son de tipo normal