La espiral de Ekman (grupo 5)

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Trabajo realizado por estudiantes
Título La espiral de Ekman. Grupo 5
Asignatura Teoría de Campos
Curso 2024-25
Autores Paula Gil Rodríguez
Álvaro Capilla Sanz
Berta Ramos Domínguez
Hugo Gutiérrez Iscar
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura


En este artículo se analizará la influencia de la espiral de Ekman sobre las corrientes oceánicas. Cuando el viento sopla, se crea una corriente superficial sobre el mar en la dirección del viento, sin embargo, debido a la fuerza de Coriolis, esta dirección no permanece constante. La dirección de la velocidad del flujo se desvía gradualmente formando la espiral de Ekman. En consecuencia, el transporte total del agua seguirá un desplazamiento perpendicular a la dirección del viento en la superficie.

La velocidad del fluido en cada capa de profundidad se describe con [math] \vec{v}= u\vec{i}+v\vec{j} [/math]

Siendo:

[math]u(z)=sgn(f)V_{o}e^{z/d_{E}}cos\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right )[/math]
[math]v(z)=V_{o}e^{z/d_{E}}sin\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right ) [/math]


  • [math] V_{0} [/math] es la intensidad de la velocidad superficial inducida por el viento;
  • [math] d_{E}=\sqrt{\frac{2 \cdot V_{e}}{|f|}} [/math] es la profundidad de Ekman, la distancia vertical en la que la influencia del viento y la fuerza de Coriolis afectan significativamente el movimiento del agua
  • [math] \vartheta [/math] es una fase inicial determinada por la dirección del viento respecto a la fuerza de Coriolis;
  • sgn es la función signo:
[math] sgn(x)=\left\{\begin{matrix} 1 \:si\: x\gt0\\ 0 \:si\: x=0\\ -1 \:si\: x\lt0 \end{matrix}\right. [/math]

1 Parámetro de Coriolis

El parámetro de Coriolis está definido por la siguiente fórmula: [math] f=2\Omega sen(\phi ) [/math], donde [math] \Omega [/math] es la velocidad angular de la Tierra y [math] \phi [/math] la latitud. Aproximadamente, la velocidad angular de la tierra es [math] \Omega =7.2921\cdot 10^{-5} rad/s [/math].

Para una latitud de 45°N, es decir, de [math] \phi =\frac{\pi}{4}rad [/math], se determina sustituyendo en la ecuación anterior que el parámetro de Coriolis es de:

[math] f=2\cdot 7.2921\cdot 10^{-5}\cdot sen\left ( \frac{\pi}{4} \right )=1.0312\cdot 10^{-4} \frac{rad}{s} [/math]

Dependiendo de la latitud, el valor del parámetro de Coriolis puede ser negativo o positivo. Sustituyendo en la fórmula dada, se demuestra que:

  • Para el hemisferio norte [math] (0^{\circ}\lt \phi \lt 90^{\circ}) [/math], el parámetro [math] f\gt0 [/math]
  • Para el Ecuador [math] (\phi = 0^{\circ}) [/math], el parámetro [math] f=0 [/math]
  • Para el hemisferio sur [math] (-90^{\circ}\lt \phi \lt 0^{\circ}) [/math], el parámetro [math] f\lt0 [/math]

2 Valor de fase inicial θ

Fase incial

En el apartado anterior se ha obtenido que [math] f=1.0312\cdot 10^{-4} \frac{1}{s} [/math]. Para obtener la fase inicial, utilizamos las dos siguientes ecuaciones:

  • [math]u(z)=sgn(f)V_{o}e^{z/d_{E}}cos\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right )[/math]
  • [math]v(z)=V_{o}e^{z/d_{E}}sin\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right ) [/math]

Al ser [math] f\gt0 [/math], concluimos que [math] sgn(f)=1 [/math], y por lo tanto [math]u(z)=V_{o}e^{z/d_{E}}cos\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right )[/math].
Para [math] z=0 [/math]:

  • [math]u(0)=V_{o}cos\left ( \vartheta \right )[/math]
  • [math]v(0)=V_{o}sin\left ( \vartheta \right ) [/math]

El ángulo incial de las ecuaciones del flujo de Ekman depende tan solo, de las condiciones físicas inciales.

[math] \vartheta =tan^{-1}\left ( \frac{v(z)}{u(z)} \right )=tan^{-1}\left ( \frac{u(z)}{v(z)} \right )=tan^{-1}\left(\frac{sin(\vartheta)}{cos(\vartheta)}\right)=tan^{-1}\left( tan(\vartheta)\right)=\vartheta[/math]

El ángulo de la corriente debido a la rotación terrestre está desviado en superficie aproximadamente [math] 45^{\circ} [/math], es decir, [math] \pi /4 [/math] rad.
Por lo tanto, se obtiene que la fase inicial es [math] \vartheta= -\frac{3\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}[/math]

3 Soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman

Las ecuaciones diferenciales de Ekman vienen definidas de la siguiente manera:

[math]\frac{d^2u}{dz^2}=-\frac{f}{\nu _{e}}v[/math], [math] \: \frac{d^2v}{dz^2}=\frac{f}{\nu _{e}}u [/math]

Cuyas soluciones se muestran:

[math]u(z)=sgn(f)V_{o}e^{z/d_{E}}cos\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right )[/math], [math] \: v(z)=V_{o}e^{z/d_{E}}sin\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right )[/math]

Por lo tanto, para verificar la igualdad, tan solo hay que derivar dos veces respecto de z las soluciones propuestas:

[math] \frac{du}{dz}=sgn(f)V_{o}\left ( \left ( \frac{e^{z/d_{E}}}{d_{E}}cos\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right ) \right ) -\left( e^{z/d_{E}}\frac{1}{d_{E}} sin\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right) \right ) \right )=\frac{sgn(f)V_{o}}{d_{E}}e^{z/d_{E}}\left(cos\left( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right)-sin\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta\right) \right)[/math]

[math]\frac{d^{2}u}{dz^2}=\frac{sgn(f)V_{o}}{d_{E}}\left (\frac{e^{z/d_{E}}}{d_{E}}\left ( cos\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right)-sin\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right) \right )+\frac {e^{z/d_{E}}}{d_{E}}\left(-sen\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right)-cos\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta\right)\right) \right)= [/math]
[math]=\frac{sgn(f)V_{o}}{d_{E}^2}e^{z/d_{E}}\left( -2sin\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right)\right)=-\frac{2}{d_{E}^{2}}v=\left\{ d_{E}=\sqrt{\frac{2\nu _{e}}{\left| f\right|}}\right\}=-\frac{f}{\nu _{e}}v [/math]
[math] \frac{dv}{dz}=V_{o}\left ( \left ( \frac{e^{z/d_{E}}}{d_{E}}sin\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right ) \right ) +\left( e^{z/d_{E}}\frac{1}{d_{E}} cos\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right) \right ) \right )=\frac{V_{o}}{d_{E}}e^{z/d_{E}}\left(sin\left( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right)+cos\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta\right) \right) [/math]

[math] \frac{d^{2}v}{dz^2}=\frac{V_{o}}{d_{E}}\left (\frac{e^{z/d_{E}}}{d_{E}}\left ( sin\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right)+cos\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right) \right )+\frac {e^{z/d_{E}}}{d_{E}}\left(cos\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right)-sin\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta\right)\right) \right)= [/math]

[math]=\frac{V_{o}}{d_{E}^2}e^{z/d_{E}}\left( 2cos\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right)\right)=\frac{2}{d_{E}^{2}}u=\left\{ d_{E}=\sqrt{\frac{2\nu _{e}}{\left| f\right|}}\right\}=\frac{f}{\nu _{e}}u [/math]

Se verifican, entonces, las ecuaciones diferenciales de Ekman y sus soluciones.

4 Animación de campo vectorial \( \vec{v}\)

Animación del campo vectorial V
% Parámetros
V0=0.2;                     
visc=0.1;                   
phi=pi/4;                 
omega=7.2921e-5;            
f=2*omega*sin(phi);     
dE=sqrt(2*visc/abs(f));     
theta=-3*pi/4;          

% 3 veces la profundidad de Ekman
zz=linspace(0,-3*dE,70);  

% Crear la figura para la animación
figure;
hold on;

%Matrices valores de U y V
uvals=zeros(size(zz));
vvals=zeros(size(zz));
for i=1:length(zz)
    % Calcular componentes u y v para la profundidad 
    z=zz(i);
    u=sign(f)*V0*exp(z/dE)*cos((z/dE)+theta);
    v=V0*exp(z/dE)*sin((z/dE)+theta);
    
    cla
    
    uvals(i)=u;
    vvals(i)=v;

    % Dibujar el vector
    quiver(0,0,u,v,'r');

     % Funcion de la espiral de Eckaman
     plot(uvals(1:i),vvals(1:i),'b','LineWidth',2)
    
    pause(0.1);
    axis([-0.15, 0.05, -0.15, 0.05]);
    grid on;
    xlabel('Este (u)');
    ylabel('Norte (v)');
    title(sprintf('Campo vectorial y espiral de Ekman en z = %.2f m', z));

end

hold off;


5 Representación de campo vectorial \( \vec{v}\)

Representación del campo vectorial
% Parámetros
V0=0.2;                     
visc=0.1;                   
phi=pi/4;                 
omega=7.2921e-5;            
f=2*omega*sin(phi);     
dE=sqrt(2*visc/abs(f)); 
theta=-3*pi/4;          

% Profundidades hasta tres veces la profundidad de Ekman
zvals=linspace(0,-3*dE,34); 

figure;
hold on;

% Matrices inciales
uvals=zeros(size(zvals));
vvals=zeros(size(zvals));

% Calcular valores y graficar los vectores
for i=1:length(zvals)
    z=zvals(i);
    
    % Calcular valores
    uvals(i)=sign(f)*V0*exp(z/dE)*cos((z/dE)+theta);
    vvals(i)=V0*exp(z/dE)*sin((z/dE)+theta);
    
    % Graficar vectores
    quiver3(0,0,z,uvals(i),vvals(i),0,'b','MaxHeadSize', 0.5);
end

% Espiral de Ekman
plot3(uvals,vvals,zvals,'r-','LineWidth',2);

title('Campo vectorial y espiral de Ekman');
view(3); % Vista 3D
axis([-0.15, 0.15, -0.15, 0.15, -3*dE, 0]);
xlabel('Componente Este (u)');
ylabel('Componente Norte (v)');
zlabel('Profundidad (z)');
grid on;
hold off;


6 Cálculo y representación de divergencia de \( \vec{v}\)

La divergencia del campo vectorial \( \vec{v}\) en coordenadas cartesianas se define como [math] \nabla\cdot \vec{v}(x,y,z)=\frac{\partial {u}}{\partial x}+\frac{\partial {v}}{\partial y}+\frac{\partial {w}}{\partial z} [/math]. Calculando, se determina que la divergencia de \( \vec{v}\) es:

[math] \nabla\cdot \vec{v}=\frac{\partial}{\partial x}\left (v_{0}e^{z/d_{E}}cos\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right ) \right)+\frac{\partial}{\partial y}\left ( v_{0}e^{z/d_{E}}sen\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right ) \right)+\frac{\partial}{\partial z}(0)=0+0+0=0 [/math]

Que la divergencia sea nula significa que no hay creación ni destrucción de flujo, es decir el volumen que entra es el mismo que el que sale, se trata de un fluido incompresible.


7 Cálculo y animación de rotacional de \( \vec{v}\)

El rotacional del campo vectorial \( \vec{v}\) en coordenadas cartesianas se define como [math] \nabla\times \vec{v}(x,y,z)=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_{x} & u_{y} & u_{z} \\ \end{vmatrix} [/math]. Sustituyendo, se halla el rotacional de \( \vec{v}\):

[math] \nabla\times \vec{v}(x,y,z)=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ v_{0}e^{z/d_{E}}cos\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right ) & v_{0}e^{z/d_{E}}sen\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right ) & 0 \\ \end{vmatrix}=[/math]
[math]=\left ( -v_{0}e^{z/d_{E}}\frac{1}{d_{E}}\left ( sen\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right )+cos\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right ) \right ) \right )\vec{i} + \left ( v_{0}e^{z/d_{E}}\frac{1}{d_{E}}\left ( cos\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right )-sen\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right ) \right ) \right )\vec{j} [/math]

Animación del rotacional de V
% Parámetros
V0=0.2;                     
visc=0.1;                   
phi=pi/4;                 
omega=7.2921e-5;            
f=2*omega*sin(phi);     
dE=sqrt(2*visc/abs(f)); 
theta=-3*pi/4;          

% Profundidades hasta siete veces la profundidad de Ekman
zvals=linspace(0,-7*dE,200);

% Valores de la espiral de Ekman
uvals=sign(f)*V0*exp(zvals/dE).*cos((zvals/dE)+theta);
vvals=V0*exp(zvals/dE).*sin((zvals/dE)+theta);

% MAtrices iniciales Rotacional
rot_x=zeros(size(zvals));
rot_y=zeros(size(zvals));

% Cálculo del rotacional
for i=1:length(zvals)
    z=zvals(i);
    rot_x(i)=-((V0*exp(z/dE))/dE)*(sin(z/dE+theta)+cos(z/dE+theta));
    rot_y(i)=((V0*exp(z/dE))/dE)*(cos(z/dE+theta)-sin(z/dE+theta));
end

figure;
hold on;
axis([-0.02,0.02,-0.02,0.02]);

%Campo vectorial y rotacional
for k = 1:length(zvals)/2
    
    %Espiral de Ekman
    plot(uvals,vvals,'y','LineWidth',2);
    % Campo vectorial
    quiver(0,0,uvals(k),vvals(k),'y','MaxHeadSize',0.5);
    % Rotacional
    quiver(0,0,rot_x(k),rot_y(k),'b','LineWidth',2,'MaxHeadSize',1);
    
    pause(0.2)   
    title(sprintf('Espiral de Ekman,campo vectorial y rotacional en azul en z=%.2f m',zvals(k)));
    xlabel('Este (U)');
    ylabel('Norte (V)');
    grid on;
    cla
end


8 Cálculo del flujo a través de una pared perpendicular

Se considera una pared de agua perpendicular a un vector normal [math] \vec{n}=cos\alpha \vec{i}+sen\alpha \vec{j} [/math], siendo [math] \alpha \in \left ( 0,2\pi \right ) [/math]. La pared se extiende desde la superficie del mar ([math] z=0 [/math]) hasta una profundidad [math] z=-\infty [/math]. Además, se sabe que tiene un grosor L.

Que la pared de agua tenga una profundidad de [math] z=-\infty [/math] se debe a que el valor de la profundidad del fondo marino es un número lo suficientemente grande como para poder simplificarlo diciendo que es igual a [math] -\infty [/math], debiéndose el signo negativo a que el sistema de referencia elegido para este problema tiene como coordenada vertical 0 la superficie del mar.

El flujo de un campo vectorial [math] \vec{v} [/math] a través de una superficie, en este caso la pared de agua, se define como:

[math] \int_{S}^{}\left ( \vec{v}\cdot \vec{n} \right )dS=\iint_{}^{}\left ( \vec{v}\left ( u,v \right )\left ( \vec{v_{u}}\times \vec{v_{v}} \right ) \right )dudv [/math]

Para poder realizar esta integral, se parametriza la superficie dada utilizando el vector : [math] \vec{n} [/math]

[math] S=\left\{\begin{matrix} x=v \\ y=-\frac{v}{tg\alpha } \\z=u \end{matrix}\right. siendo \left\{\begin{matrix} u\in \left ( -\infty,0 \right ) \\v\in \left ( 0,L \right ) \end{matrix}\right. [/math]

Para realizar la integral, calculamos antes las partes que la componen:

  • [math] \vec{v}\left ( u,v \right )=v_{0}e^{u/d_{E}}cos\left ( \frac{u}{d_{E}}+\vartheta \right )\vec{i}+v_{0}e^{u/d_{E}}sen\left ( \frac{u}{d_{E}}+\vartheta \right )\vec{j}+u\vec{k} [/math]
  • [math] \vec{v_{u}}(u,v)=\frac{\partial \vec{v}}{\partial u}=\left (v_{0}e^{u/d_{E}}\left ( cos\left ( \frac{u}{d_{E}}+\vartheta \right )-sen\left ( \frac{u}{d_{E}}+\vartheta \right ) \right ) \right )\vec{i}+\left (v_{0}e^{u/d_{E}}\left ( sen\left ( \frac{u}{d_{E}}+\vartheta \right )+cos\left ( \frac{u}{d_{E}}+\vartheta \right ) \right ) \right )\vec{j}+\vec{k} [/math]
  • [math] \vec{v_{v}}(u,v)=0 [/math]
  • [math] \vec{v_{u}}(u,v)\times \vec{v_{v}}(u,v)=0 [/math]

Sustituimos:

[math] Flujo=\int_{-\infty}^{0}\int_{0}^{L}\left ( \vec{v}\left ( u,v \right )=v_{0}e^{u/d_{E}}cos\left ( \frac{u}{d_{E}}+\vartheta \right )\vec{i}+v_{0}e^{u/d_{E}}sen\left ( \frac{u}{d_{E}}+\vartheta \right )\vec{j}+u\vec{k} \right ) \cdot 0=0 [/math]

Este resultado tiene un significado físico. Cuando el flujo es igual a 0, se debe a que este va en dirección paralela a la superficie, en este caso la pared de agua, en otras palabras, no la atraviesa. Para que la corriente de agua se dirija hacia el oeste, tendría que ocurrir que el vector normal a la superficie sea paralelo a la dirección del viento, es decir, de norte a sur [math](-\vec{j}) [/math] . Por lo tanto, el ángulo fijo [math] \alpha [/math] en el vector normal [math] \vec{n}=cos\alpha \vec{i}+sen\alpha \vec{j} [/math] debería ser [math] \frac{3\pi}{2} [/math].

9 Parametrización de la espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas

La espiral de Ekman está descrita en coordenadas cartesianas por la parametrización [math] \gamma (z)=\left ( u(z),v(z),z \right ) [/math]. Para expresarla en coordenadas cilíndricas, sustituimos en las siguientes fórmulas:

  • [math] \rho =\sqrt{u(z)^{2}+v(z)^{2}}=\sqrt{\left ( v_{0}e^{z/d_{E}}cos\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right ) \right )^{2}+\left ( v_{0}e^{z/d_{E}}sen\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right ) \right )^{2}}=v_{0}e^{z/d_{E}} [/math]
  • [math] \theta =arctg\left ( \frac{v(z)}{u(z)} \right )=arctg\left ( \frac{v_{0}e^{z/d_{E}}sen\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right )}{v_{0}e^{z/d_{E}}cos\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right )} \right )=arctg\left ( tg\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right ) \right )=\frac{z}{d_{E}}+\vartheta [/math]
  • [math] z=z [/math]

Por lo tanto, la espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas será: [math] \left ( \rho ,\theta ,z \right )=\left ( v_{0}e^{z/d_{E}},\frac{z}{d_{E}}+\vartheta,z \right ) [/math]

Espiral de Ekman
% Parámetros del modelo
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
f = 2 * 7.2921e-5 * sin(deg2rad(45)); % Parámetro de Coriolis (latitud 45°)
nu_e = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
d_E = sqrt(2 * nu_e / abs(f)); % Profundidad de Ekman
theta_0 = -3*pi/4; % Ángulo inicial del flujo

% Rango de profundidades
z = linspace(0, -5*d_E, 500); % Desde la superficie hasta una profundidad de 3*d_E

% Componentes de velocidad
u = sign(f) * V0 * exp(z / d_E) .* cos(z / d_E + theta_0);
v = V0 * exp(z / d_E) .* sin(z / d_E + theta_0);

% Coordenadas cilíndricas
r = sqrt(u.^2 + v.^2);
theta = z / d_E + theta_0;
z=z;

% Graficar la espiral en 3D
figure;
plot3(r .* cos(theta), r .* sin(theta), z, 'LineWidth', 1.5);
axis([-0.25,0.25,-0.25,0.25,-5*d_E,0])
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Depth (m)');
grid on;
title('Espiral de Ekman');


10 Cálculo de la curvatura y torsión de la espiral de Ekman

La posición [math] \vec{p}(z) [/math] está definida como [math] \vec{p}= u\vec{i}+v\vec{j}+z\vec{k} [/math], siendo [math] u [/math] y [math] v [/math] definidos en los apartados previos. La velocidad [math] \vec{v}(z) [/math] es la primera derivada de la posición, mientras que la segunda derivada corresponde a la aceleración [math] \vec{a}(z) [/math].

  • La curvatura [math] (\kappa (z)) [/math] se calcula como [math] \kappa (z)=\frac{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|}{\left|\vec{v}(z) \right|^{3}} [/math]
  • La torsión [math] \tau (z)=\frac{\left [ \vec{v}(z),\vec{a}(z),{\vec{a}}'(z) \right ]}{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|^{2}} [/math]

Para la curvatura, necesitamos la velocidad, que es la primera derivada de u, z y k:

[math] \overrightarrow{v}=\left [ \frac{sgn(f)V_{o}e^{z/d_{E}}}{d_{E}}\left ( cos\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right )-sin\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right) \right ), \frac{V_{o}e^{z/d_{E}}}{d_{E}}\left ( sin\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right )+cos\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right) \right ),1 \right ] [/math]

Y también necesitamos la aceleración, que es la segunda derivada de u y v y nos dan en el enunciado:

[math] \overrightarrow{a}=\left [ -\frac{f}{\nu _{e}}v,\frac{f}{\nu _e}u,0 \right ] [/math]

Para la torsión, además, necesitaremos la derivada de la aceleración, que será:

[math]\overrightarrow{a'}=\left [ -\frac{f}{\nu _{e}}v',\frac{f}{\nu _e}u',0 \right ]=\left [ -\frac{f}{\nu _{e}}\frac{V_{o}e^{z/d_{E}}}{d_{E}}\left ( sin\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right )+cos\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right) \right ),\frac{f}{\nu _e} \frac{sgn(f)V_{o}e^{z/d_{E}}}{d_{E}}\left ( cos\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right )-sin\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right) \right ),0\right][/math]

Una vez tengamos todos los elementos, operamos y representamos en MATLAB

Curvatura y torsión
%Parámetros
V0=0.2;                     
visc=0.1;                   
phi=pi/4;                   
omega=7.2921e-5;            
f=2*omega*sin(phi);         
dE=sqrt(2*visc/abs(f));     
theta=-3*pi/4;    

%definir profundidad
z=linspace(0,-150,340);

%Vectores u y v
u=sign(f)*V0*exp(z./dE).*cos((z./dE)+theta);
v=V0*exp(z./dE).*sin((z./dE)+theta);

%Primera derivada u,v y z
vu=(sign(f)*V0*exp(z./dE).*(cos(z./dE+theta)-sin(z./dE+theta)))/dE;
vv=(V0*exp(z./dE).*(cos(z./dE+theta)+sin(z./dE+theta)))/dE;
vz=ones(size(z));
velocidad=[vu;vv;vz];

%Segunda derivada u,v y z
au=-(f/0.1)*V0*exp(z./dE).*sin((z./dE)+theta);
av=(f/0.1)*sign(f)*V0*exp(z./dE).*cos((z./dE)+theta);
az=zeros(size(z));
acel=[au;av;az];

%Tercera derivada u, v y z
a2u=-(f/0.1).*(V0*exp(z./dE).*(cos(z./dE+theta)+sin(z./dE+theta)))/dE;
a2v=(f/0.1).*(sign(f)*V0*exp(z./dE).*(cos(z./dE+theta)-sin(z./dE+theta)))/dE;
a2z=zeros(size(z));
acel2=[a2u;a2v;zeros(size(z))];

vxa=cross(velocidad',acel'); %Producto escalar velocidad x acel [curvatura]
axa2=cross(acel',acel2');    %producto escalar acel x acel2 [torsion]
vxaxa2=zeros(size(z));       %inicializar matriz producto triple mixto [torsion]
modA=zeros(size(z));         %inicializar matriz modulo de vel x acel [curvatura]
modA2=zeros(size(z));        %incializar matriz modulo de vel x acel ^2 [torsion]
modv=zeros(size(z));         %incializar matriz modulo de vel [curvatura]
length(z)
%Calculo por elementos de las matrices necesarias
for i=1:length(z)
     modA(i)=sqrt((vxa(i,1)^2)+(vxa(i,2)^2)+(vxa(i,3)^2));
     modv(i)=sqrt((velocidad(1,i)^2)+(velocidad(2,i)^2)+(velocidad(3,i)^2));
     modv(i)=modv(i)*modv(i)*modv(i);
     modA2(i)=modA(i)*modA(i);
     vxaxa2(i)=dot(velocidad(:,i)',axa2(i,:));
end
%Fórmula curvatura
curv=modA./modv;
%Fórmula torsion
tor=vxaxa2./modA2;

figure
hold on
subplot(2,1,1)
plot(z,curv);
title('Curvatura de la espiral de Ekman')
subplot(2,1,2)
plot(z,tor);
title('Torsion de la espiral de Ekman')
hold off


11 Cálculo y animación del triedro de Frenet

El triedro de Frenet está formado por 3 vectores: el vector tangente, el vector normal y el vector binormal. Se calculan de la siguiente manera:

  • El vector tangente es [math] \vec{t}(z)=\frac{\vec{v}(z)}{\left|\vec{v}(z) \right|} [/math]
  • El vector normal es [math] \vec{n}(z)=\vec{b}(z)\times \vec{t}(z) [/math]
  • El vector binormal es [math] \vec{b}(z)=\frac{\vec{v}(z)\times \vec{a}(z)}{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|} [/math]
Animación de Ekman con el triedro de Frenet 
%Parametros
V0=0.2;                     
visc=0.1;                   
phi=pi/4;                   
omega=7.2921e-5;            
f=2*omega*sin(phi);         
dE=sqrt(2*visc/abs(f));     
theta=-3*pi/4;    

%dfinir profuncidad
z=linspace(0,-50,100);

%Vectores u y v
u=sign(f)*V0*exp(z./dE).*cos((z./dE)+theta);
v=V0*exp(z./dE).*sin((z./dE)+theta);

%Primera derivada u,v y z
vu=(sign(f)*V0*exp(z./dE).*(cos(z./dE+theta)-sin(z./dE+theta)))/dE;
vv=(V0*exp(z./dE).*(cos(z./dE+theta)+sin(z./dE+theta)))/dE;
vz=-1*ones(size(z));
velocidad=[vu;vv;vz];

%Segunda derivada u,v y z
au=-1*((f/0.1)*V0*exp(z./dE).*sin((z./dE)+theta));
av=(f/0.1)*sign(f)*V0*exp(z./dE).*cos((z./dE)+theta);
az=zeros(size(z));
acel=[au;av;az];

%Tercera derivada u, v y z
a2u=-1*((f/0.1).*(V0*exp(z./dE).*(cos(z./dE+theta)+sin(z./dE+theta)))/dE);
a2v=(f/0.1).*(sign(f)*V0*exp(z./dE).*(cos(z./dE+theta)-sin(z./dE+theta)))/dE;
a2z=zeros(size(z));
acel2=[a2u;a2v;zeros(size(z))];

vxa=cross(velocidad',acel'); %Producto escalar velocidad x acel [curvatura]
axa2=cross(acel',acel2');    %producto escalar acel x acel2 [torsion]
vxaxa2=zeros(size(z));       %inicializar matriz producto triple mixto [torsion]
modA=zeros(size(z));         %inicializar matriz modulo de vel x acel [curvatura]
modA2=zeros(size(z));        %incializar matriz modulo de vel x acel ^2 [torsion]
modv=zeros(size(z));         %incializar matriz modulo de vel [curvatura]
t=zeros(3,length(z));        %Inicializar matriz del vector tangente   
b=zeros(3,length(z));        %Inicializar matriz del vector binormal

%Calculo por elementos de las matrices necesarias
for i=1:length(z)
     modA(i)=sqrt((vxa(i,1)^2)+(vxa(i,2)^2)+(vxa(i,3)^2));
     modv(i)=sqrt((velocidad(1,i)^2)+(velocidad(2,i)^2)+(velocidad(3,i)^2));
     modv(i)=modv(i)*modv(i)*modv(i);
     modA2(i)=modA(i)*modA(i);
     vxaxa2(i)=dot(velocidad(:,i)',axa2(i,:));
     t(:,i)=[velocidad(1,i)/modv(i),velocidad(2,i)/modv(i),velocidad(3,i)/modv(i)];
     b(:,i)=[vxa(i,1)'/modA(i),vxa(i,2)'/modA(i),vxa(i,3)'/modA(i)];
end
%Vector normal
n=cross(b',t')';

hold on
plot3(u,v,z)
for i=1:length(z)
    zz=z(i);
    tz=t(:,i);
    bz=b(:,i);
    nz=n(:,i);
    plot3(0,0,-50:10)
    hold on
    axis([-25,25,-25,25,-50,0])
    quiver3(0,0,zz,10*tz(1),10*tz(2),10*tz(3),'r','LineWidth',2)
    quiver3(0,0,zz,10*bz(1),10*bz(2),10*bz(3),'y','LineWidth',2)
    quiver3(0,0,zz,10*nz(1),10*nz(2),10*nz(3),'g','LineWidth',2)
    pause(0.05)
view(3)
grid on
xlabel('Componente Este (u)');
ylabel('Componente Norte (v)');
zlabel('Profundidad (z)');
cla
end


12 Espiral logarítmica

Las curvas logarítmicas tienen numerosas aplicaciones en la ingeniería debido a sus propiedades matemáticas, que permiten modelar fenómenos que cambian de manera exponencial o a ritmos que drececen o aumentan rápidamente. Algunas de las aplicaciones más relevantes de las curvas logarítmicas son:

  • Análisis de sistemas eléctricos y electrónicos
    • Decibelios (dB): en ingeniería eléctrica, las curvas logarítmicas se usan para representar niveles de potencia o intensidad en sistemas de audio y telecomunicaciones. Por ejemplo:
      • La ganancia o pérdida de potencia en un sistema se mide en decibeles, una escala logarítmica.
      • El nivel de sonido y las señales eléctricas utilizan curvas logarítmicas para abarcar grandes rangos de valores.
  • Ingeniería estructural y de materiales
    • Escalas de deformación y esfuerzo: en algunos materiales, el comportamiento entre la tensión y la deformación puede modelarse logarítmicamente, especialmente en materiales viscoelásticos.
    • Cimentaciones: el asentamiento de suelos sometidos a carga puede seguir una relación logarítmica entre el tiempo y la deformación.
  • Control y sistemas automáticos
    • Linealización de sensores: algunos sensores tienen respuestas no lineales que se modelan mediante funciones logarítmicas. Esto permite convertir la señal a una forma más útil para su procesamiento.
    • Regulación y control: en sistemas no lineales, los controladores pueden emplear funciones logarítmicas para manejar amplios rangos de magnitudes de entrada o salida.
  • Ingeniería de software y sistemas computacionales
    • Compresión de datos: en el procesamiento de imágenes, el mapeo logarítmico se utiliza para ajustar el brillo en imágenes con altos contrastes (como en transformaciones en el dominio de la frecuencia).
    • Algoritmos: el análisis de complejidad temporal de ciertos algoritmos, como la búsqueda binaria, se describe mediante logaritmos.
  • Ingeniería mecánica y térmica
    • Transferencia de calor: en procesos de enfriamiento y calentamiento, la relación entre la temperatura y el tiempo puede aproximarse mediante funciones logarítmicas, como en la ley de enfriamiento de Newton.
    • Fatiga y vida útil de materiales: la relación entre ciclos de carga y la resistencia restante de un material puede seguir un comportamiento logarítmico.
  • Ingeniería química y ambiental
    • Reacciones químicas: algunas tasas de reacción y fenómenos de difusión siguen modelos logarítmicos, especialmente cuando las concentraciones iniciales son altas.
    • pH y acidez: el pH se mide en una escala logarítmica para representar la concentración de iones hidrógeno en soluciones, crucial en procesos químicos e ingeniería ambiental.
  • Modelado de fenómenos naturales
    • Sismología: la magnitud de los terremotos se mide con la escala de Richter, que es logarítmica.
    • Erosión y sedimentación: el desgaste y la acumulación de materiales pueden modelarse con funciones logarítmicas debido a la disminución de la velocidad con el tiempo.

Las curvas logarítmicas son útiles para simplificar problemas con grandes rasgos de valores y modelar fenómenos complejos en diversas disciplinas de la ingeniería. Su versatilidad radica en su capacidad para describir comportamientos no lineales de manera sencilla y predecible.

13 Referencias

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