La espiral de Ekman (Grupo 16)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	La espiral de Ekman. Grupo 16.
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Angela María Clarambo Nassarre Alejandra García-Agullo Canle María Cabranes Gonzalez Alvaro Román Aguilera
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

El estudio de los fenómenos atmosféricos y oceánicos requiere combinar herramientas de la matemática, la física y la ingeniería para comprender cómo se comportan los fluidos en un entorno rotante como la Tierra. En este trabajo se analizan dos sistemas especialmente representativos: el modelo idealizado de un tornado y la espiral de Ekman. Ambos permiten describir de forma accesible pero rigurosa cómo interactúan la presión, la rotación, la fricción y la estructura vertical del flujo.

En la primera parte se investiga el campo de presiones asociado a un tornado y se calculan magnitudes importantes como el gradiente de presión, las superficies isobáricas o la fuerza neta que ejerce la depresión central sobre una estructura cercana. Estos resultados ayudan a entender por qué estos fenómenos atmosféricos pueden producir vientos extremos y efectos destructivos incluso a distancias moderadas del núcleo.

La segunda parte del trabajo está dedicada a la espiral de Ekman, una de las soluciones más relevantes en dinámica de fluidos geofísicos. A partir de las ecuaciones de Ekman se obtienen las componentes del flujo, se estudia la rotación de la velocidad con la profundidad y se calcula el transporte neto inducido por la acción conjunta del viento, la fricción y la fuerza de Coriolis. Además, se analiza la geometría de la espiral resultante, tanto en su representación tridimensional como en su proyección horizontal, donde aparece de forma natural una espiral logarítmica.

El trabajo combina derivaciones analíticas, razonamientos físicos y representaciones gráficas, uniendo la interpretación geométrica con la dinámica del flujo. El objetivo es proporcionar una visión global de estos modelos clásicos y mostrar cómo incluso expresiones aparentemente simples encapsulan comportamientos complejos y esenciales en la atmósfera y el océano.

2 Parametros de coriolis f y profundidad de Ekman dE

El parámetro de Coriolis cuantifica la influencia local de la rotación terrestre en el movimiento de fluidos y objetos sobre la Tierra. Se define como:

[math] f= 2 Ω \sin ( \phi ) [/math]

Sustituyendo la velocidad angular Ω y la latitud expresada en radianes [math] \phi = \pi/6 [/math], nos da la siguiente expresión:

[math] f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } [/math]

Para identificar en qué lugares de la Tierra 𝑓 es positivo, negativo o nulo, debemos fijarnos en [math] \phi [/math], es decir, en la latitud.

• 𝑓 será nulo en el Ecuador (latitud 0°). No hay efecto de Coriolis horizontal.

• 𝑓 será positivo en todo el Hemisferio Norte. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la derecha.

• 𝑓 será negativo en todo el Hemisferio Sur. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la izquierda.

La profundidad de Ekman 𝑑𝐸, define la capa de agua directamente influenciada por la fricción del viento en la superficie y desviada por la fuerza de Coriolis.

Para calcularla, es necesario saber |𝑓|, la viscosidad turbulenta y aplicar la siguiente fórmula:

[math] d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} = 37.0317 [/math] metros

3 Determinar el valor de ϑ

θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis. En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ con respecto la dirección del viento.

Como hemos visto antes nuestro valor de f es positivo por lo cual nos encontramos en el hemisferio norte y por ende [math] sgn(f) =1 [/math]

[math]\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) [/math]

[math] \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \gt 0 [/math]

[math] u ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)[/math]

[math]v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )[/math]

[math] \rightarrow z = 0 \rightarrow [/math][math] u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )[/math][math] \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )[/math]

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, [math] ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } [/math]

4 Soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman

Las soluciones propuestas para las componentes horizontales de la velocidad en la capa de Ekman son:

[math] u ( z ) =V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ ) [/math] [math] v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ) [/math]

Para verificar que estas expresiones son solución del sistema, deben satisfacer las ecuaciones diferenciales de Ekman:

[math] \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v [/math] [math] \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u [/math]

Cálculo de primeras derivadas:

[math] \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) ) [/math]

[math] \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} +ϑ )) [/math]

Cálculo de segundas derivadas:

[math] \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ) [/math]

[math] \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) [/math]

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

[math] \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )[/math]

Sustituiyendo [math] d_{E} [/math] en la ecuación, nos queda:

[math] \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } [/math]

Ahora se sustituye [math] d_{E} [/math] y así se confirma que se verifica [math]f = |f |[/math]

5 Campo vectorial V en varios planos horizontales

En el siguiente apartado desarrollaremos una simulación animada en MATLAB que represente la evolución del campo vectorial de velocidad v a lo largo de la columna de agua, utilizando una secuencia de planos horizontales distribuidos entre la superficie del océano y la profundidad de Ekman.

La animación mostrará cómo se distribuyen y transforman los vectores de corriente en cada uno de estos planos paralelos a la superficie. Al reproducir la secuencia, se podrá apreciar de manera dinámica el giro progresivo en la dirección del flujo y la atenuación en su magnitud conforme aumenta la profundidad. Esto permite visualizar claramente la estructura tridimensional característica de la espiral de Ekman, evidenciando los cambios en las corrientes oceánicas desde la capa superficial hasta niveles más profundos.

Vista planos horizontales

Proyección campo vectorial

clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5;  % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242;  % Latitud (grados)
V0 = 0.15;  % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05;  % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4;  % Ángulo inicial (radianes)

% Cálculo del parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sin(phi);

% Profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta;  % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40;  % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames);  % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 10), linspace(-1, 1, 10));  

figure(1);
view(3)
%axis equal;

% Calculo velocidad
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta)  .* cos(-z_vals / delta+theta0);  % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta)  .* sin(-z_vals / delta+theta0);  

% Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on

% Animación
for k = 1:n_frames
   z = z_vals(k);  % Profundidad actual
   u = u_m(k);  % Componente u(z)
   v = v_m(k);  % Componente v(z)

   % Calculo de campos vectoriales para este valor de z
   quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
   title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
   xlim([-1.2 1.2]);
   ylim([-1.2 1.2]);
   zlim([-z_max 0]);

   pause(0.1);
  
   cla
   plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
   xlabel('Oeste - Este (m)');
   ylabel('Norte - Sur (m)');
   zlabel('Profundidad (m)');
   grid on
end
hold off

figure(2);
view(3)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
   z = z_vals(k);  % Profundidad actual
   u = u_m(k);  % Componente u(z)
   v = v_m(k);  % Componente v(z)

   % Calculo campos vectoriales para este valor de z
   quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
   title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
   xlim([-1.2 1.2]);
   ylim([-1.2 1.2]);
   zlim([-z_max 0]);

   pause(0.1);
 
   cla
   plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
   xlabel('Oeste - Este (m)');
   ylabel('Norte - Sur (m)');
   grid on
   view([0 90])
end
hold off

6 Representación de los vectores V evaluados en puntos del eje vertical

En este apartado el objetivo es generar una representación tridimensional de la espiral de Ekman mediante la visualización del campo vectorial V a lo largo de la vertical.

Se evaluará el vector V en un conjunto de puntos distribuidos sobre el eje vertical, desde la superficie (0,0,0) hasta una profundidad dada. Se tomarán entre 30 y 40 puntos equidistantes a lo largo de este intervalo. Cada vector se dibujará anclado en su correspondiente coordenada vertical (0,0,z), representando así la corriente en esa capa específica. Al unir visualmente las puntas de todos los vectores, se revelará en el espacio 3D la trayectoria curva característica de la espiral de Ekman, mostrando cómo la dirección y magnitud de la corriente rotan y decrecen con la profundidad.

Campo vectorial de Ekman

clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5;  % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242;  % Latitud en grados
V0 = 0.15;  % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05;  % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4;  % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 3 * delta;  % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 40;  % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames);  % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
view(3)
xlim([-0.3, 0.3]);
ylim([-0.3, 0.3]);
zlim([-z_max 0]);
xlabel('Este - Oeste (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');

u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta)  .* cos(-z_vals / delta+theta0);  % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta)  .* sin(-z_vals / delta+theta0);  % Componente v(z)

plot3(u_m, v_m, -z_vals, 'Color', 'g')

hold on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
    z = z_vals(k);  % Profundidad actual
    u = u_m(k); % Componente u(z)
    v = v_m(k);% Componente v(z)
    quiver3(u, v, -z, u, v, 0, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 0.5, 'Color', "b",'HandleVisibility', 'off');
    title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman'))
    grid on
    view([45 45])
end

7 Divergencia de V

El campo está definido por: [math]\overrightarrow {V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }[/math]

Donde las componentes para el modelo clásico de Ekman son:

[math] u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)[/math]

[math]v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )[/math]

Un aspecto fundamental del flujo de Ekman es que las componentes de velocidad u y v dependen exclusivamente de la coordenada vertical z, no varían en las direcciones horizontales.

La divergencia horizontal del campo vectorial se define como: [math]\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0[/math]

Esto significa que el flujo de Ekman es incompresible a escala horizontal. No existe convergencia ni divergencia neta de masa de agua en el plano horizontal dentro de la capa de Ekman. Esto implica que el transporte de masa asociado a la espiral se produce sin que se acumule o se vacíe agua en ningún punto, reflejando la continuidad del fluido en el modelo ideal.

8 Rotacional de V

El rotacional en la espiral de Ekman describe el giro del flujo dentro de la capa de Ekman, resultado de la combinación entre la fricción y la fuerza de Coriolis. El rotacional cuantifica la circulación del flujo por unidad de área y es clave para entender cómo el transporte en esta capa afecta procesos de mayor escala, como la formación de vórtices o el desarrollo de corrientes oceánicas.

En la espiral de Ekman, el flujo horizontal tiene componentes en las direcciones [math] x [/math] e [math] y [/math]:

[math]\overrightarrow { U} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }[/math],

El transporte neto de masa dentro de la capa de Ekman queda orientado de forma perpendicular al viento en la superficie, como consecuencia del equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción.

El rotacional de un campo de velocidades tridimensional se define como:

[math]\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_x & \vec u_y & \vec u_z \end{vmatrix}} [/math]

En el caso de la espiral de Ekman, donde asumimos un flujo horizontal [math](\vec u_z = 0)[/math] y homogéneo en las direcciones horizontales. Esto significa que:

1. La variación del componente [math] v [/math] con la profundidad genera una rotación en la dirección x.

2. La variación del componente [math] u [/math] con la profundidad genera una rotación en la dirección y.

El rotacional global será tridimensional, pero su componente dominante estará vinculado al gradiente de velocidad en la profundidad.

A continuación, se adjunta un programa de Matlab que representa el rotacional en varios planos paralelos, desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman:

Perspectiva del rotacional

Rotacional en planta

clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5;  % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 30.10242;  % Latitud en grados
V0 = 0.15;  % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05;  % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4;  % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta;  % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40;  % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames);  % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-0.1, 0.1, 15), linspace(-0.1, 0.1, 15));  % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)


% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
    z = z_vals(k);  % Profundidad actual
    % Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
    du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
            (-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

    dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
            (-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
    % Calcular los campos vectoriales para este valor de z
    quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

    title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
    xlabel('Este (m)');
    ylabel('Norte (m)');
    xlim([-0.12 0.12]);
    ylim([-0.12 0.12]);
    zlim([-z_max 0])
    % Pausa para actualizar la animación
    pause(0.1);

end
%%
figure(2);

grid on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
    z = z_vals(k);  % Profundidad actual
    % Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
    du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
            (-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

    dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
            (-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
    % Calcular los campos vectoriales para este valor de z
    quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
view([0 90])
    title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
    xlabel('Este (m)');
    ylabel('Norte (m)');
    xlim([-0.12 0.12]);
    ylim([-0.12 0.12]);
    zlim([-z_max 0])
    % Pausa para actualizar la animación
    pause(0.1);
    
end

9 Reflexión del transporte de Ekman (por unidad de ancho)

El transporte de Ekman está definido como:

[math] \vec{M}_E=\int_{0}^{-\infty} \vec{w}(z)\,dz [/math] donde :[math]\vec{w}(z)=(u(z),v(z))`[/math] es el campo de velocidades horizontales.

Las expresiones del modelo son:

[math] u(z)=\text{sgn}(f)\,V_0 e^{z/d_E}\cos\left(\frac{z}{d_E}+\theta\right)[/math]

[math]v(z)=V_0 e^{z/d_E}\sin\left(\frac{z}{d_E}+\theta\right)[/math]

Integración analítica

Hacemos el cambio: [math] t=z/d_E, dz=d_E\,dt[/math]

Entonces:

[math]\vec{M}_E = V_0 d_E\int_{-\infty}^{0} e^{t} \begin{pmatrix} \text{sgn}(f)\cos(t+\theta)\\ \sin(t+\theta) \end{pmatrix} dt[/math]

Las integrales relevantes son:

[math]\int_{-\infty}^{0} e^{t}\cos(t+\theta)\,dt=\frac{\cos\theta+\sin\theta}{2} \int_{-\infty}^{0} e^{t}\sin(t+\theta)\,dt=\frac{\sin\theta-\cos\theta}{2}[/math]

Por tanto:

[math]\vec{M}_E =\frac{V_0 d_E}{2} \begin{pmatrix} \text{sgn}(f)(\cos\theta+\sin\theta)\\ \sin\theta-\cos\theta \end{pmatrix}[/math]

Perpendicularidad respecto al viento

El viento sopla de norte a sur, dirección:[math](0,-1)[/math] Dado que en el hemisferio norte :[math]\sin\theta=\cos\theta[/math] (desviación ≈45°) [math]\vec{M}_E\cdot (0,-1)=0[/math]

El transporte de Ekman es perpendicular al viento.

10 Calculo flujo neto de V a través de una pared vertical

En este contexto, se analiza una pared de agua orientada perpendicular a un vector genérico [math] \overrightarrow{n}= cos(α)i+ sen(α)j [/math], con orientación dependiente de α, donde: [math] \alpha \in [0, 2\pi) [/math]. La pared se extiende desde la superficie del océano [math] (z = 0) [/math], hasta una profundidad teóricamente infinita [math](z = -\infty)[/math].

El objetivo, es calcular analíticamente el flujo neto del campo de velocidad [math] \overrightarrow{v} [/math] a través de esta pared y demostrar que dicho flujo se dirige hacia el oeste, perpendicular al viento predominante. Este resultado es una confirmación teórica del transporte de Ekman, que predice que el movimiento neto en la capa superficial tiene una orientación perpendicular a la dirección del viento. Utilizamos para ello la fórmula del flujo conociendo el campo vectorial y un vector perpendicular a la superficie, que se denota como:

[math]\Phi = \int_{-\infty}^0 \int_0^L ({v}\cdot n) \, dx \, dz,[/math]

Donde: [math] {v} = u(z) \overrightarrow{i} + \overrightarrow v(z) j [/math] [math] {n} = \cos\alpha \overrightarrow{i} + \sin\alpha \overrightarrow{j} . [/math]

Entonces el producto escalar sería: [math] \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{n}= u(z) \cos\alpha + v(z) \sin\alpha. [/math]

[math] \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{n}= V_0 e^{z/d_E} \left[ \cos\alpha \cos\left(\frac{z}{d_E} + \vartheta\right) + \sin\alpha \sin\left(\frac{z}{d_E} + \vartheta\right) \right].[/math]

Usando la siguiente intentidad trigonométrica para simplificar: [math] \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \implies \quad \implies \quad \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{n}= V_0 e^{z/d_E} \cos\left(\frac{z}{d_E} + \vartheta - \alpha \right). [/math]

Ahora la integral a resolver para hallar el flujo sería: [math] \Phi = \int_{0}^L \int_{-\infty}^0 V_0 e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz dx [/math]

Resolvemos la parte [math] dx [/math]:

[math] \Phi = L \int_{-\infty}^0 V_0 e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz [/math]

Para resolver lo que queda de integral usaremos la integración por partes:

[math] \int u \, dv = uv - \int v \, du [/math]

[math] u = \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right), \quad \implies \quad du = -\frac{1}{d_E} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz [/math]

[math]dv = e^{\frac{z}{d_E}} dz \implies \quad v = d_E e^{\frac{z}{d_E}} [/math]

Aplicamos la integración por partes:

[math] \Phi = L V_0 \left[ d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - \int d_E e^{\frac{z}{d_E}} \left(-\frac{1}{d_E} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ -\alpha\right)\right) dz \right] [/math] Si simplificamos: [math]\implies \quad \Phi = L V_0 \left[ d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) + \int e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz \right] [/math]

Ahora nos queda otra integral, [math] I_2 = \int e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz [/math]

Utilizando integral por partes otra vez

[math] I_2 = d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - \int d_E e^{\frac{z}{d_E}} \frac{1}{d_E} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz[/math] [math] I_2 = d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - \int e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz [/math]

Observamos que Ia última integral es el término original. Solo queda resolver el sistema:

[math] I_2 = d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - I \implies \quad [/math] Esta la sustituimos en [math]\implies \quad \Phi [/math] [math] \Phi = L V_0 \left[ d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) + d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - I \right] [/math] Como [math] \Phi=I = \int_{-\infty}^0 e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz [/math] Entonces [math] 2I =V_{0} d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) + d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right)[/math]

Solo nos queda evaluar la integral entre [math] z=-\infty [/math] y [math] z=0 [/math]

Al evaluar,para [math] z =0 \implies \quad e^{\frac{z}{d_E}} = 1, \quad \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) = \cos(ϑ - \alpha), \quad \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) = \sin(ϑ - \alpha) [/math] Y para [math] z =-\infty [/math] todos los [math] e^{\frac{z}{d_E}} \to 0 [/math] entonces se anulan

Entonces el flujo nos quedaría:

[math] \Phi = L V_0 d_E \left[ \cos(ϑ - \alpha) + \sin(ϑ - \alpha) - \frac{1}{2} \left(\cos(ϑ - \alpha) + \sin(ϑ - \alpha)\right) \right] [/math] [math] \Phi = \frac{L V_0 d_E}{2} \left[\cos(ϑ - \alpha) + \sin(ϑ - \alpha)\right] [/math]

El flujo de Ekman se dirige hacia el oeste debido a la interacción del viento la fuerza de Coriolis, perpendicular al viento, confirmando el transporte de Ekman

Representación de la espiral de Ekman

% Parámetros

V0=0.15;
visc=0.05;
phi=0.17*pi;
omega=7.2921e-5;
f=2*omega*sin(phi);
dE=sqrt(2*visc/abs(f));
theta=3*pi/4;

% Profundidades hasta tres veces la profundidad de Ekman

zvals=linspace(0,-3*dE,40);

figure;
hold on;

% Matrices inciales

uvals=zeros(size(zvals));
vvals=zeros(size(zvals));

% Calcular valores y graficar

for i=1:length(zvals)
    z=zvals(i);

    % Calcular valores

    uvals(i)=sign(f)*V0*exp(z/dE)*cos((z/dE)+theta);
    vvals(i)=V0*exp(z/dE)*sin((z/dE)+theta);
end

% Espiral de Ekman

plot3(uvals,vvals,zvals,'g-','LineWidth',3);
title('espiral de Ekman');
view(3); % Vista 3D
axis([-0.20, 0.15, -0.20, 0.15, -3*dE, 0]);
xlabel('Componente Este (u)');
ylabel('Componente Norte (v)');
zlabel('Profundidad (z)');
grid on;
hold off;

11 La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas

La espiral de Ekman, que describe el perfil vertical de corrientes en la capa superficial oceánica bajo la influencia del viento y la fuerza de Coriolis, puede expresarse de manera natural en coordenadas cilíndricas debido a su estructura rotacional. Esta formulación resalta la naturaleza esencialmente rotacional del transporte de Ekman, donde el flujo neto integrado verticalmente es perpendicular a la dirección del viento, un resultado que emerge claramente al integrar las componentes cilíndricas sobre la profundidad.

Para pasar de cartesianas a cilíndricas haremos lo siguiente:

[math] \rho= \sqrt { u ( z ) ^ { 2 } + v ( z ) ^ { 2 } }[/math];

[math]\theta= a r c t g ( \frac { v ( z ) } { u( z ) } ) \rightarrow \theta = arctan ( tan ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ))[/math]

[math]\ z = z[/math]

En segundo lugar, sustituiremos:

[math] u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )[/math] [math]v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )[/math]

Una vez sustituidos, nos quedarán las siguientes ecuaciónes:

[math] \rho = \sqrt { ( v_{0} e ^ {z / d_{E} }) ^ { 2 } [ c o s ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) + s e n ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ ) ] } = v_{0} e ^ {z / d_{E} } [/math] [math]\ \theta = a r c t g ( \frac { s e n ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } { \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } ) = \frac { z } { d _{E} } + ϑ[/math]

La parametrización finalmente quedaría:

[math] \gamma( z ) = ( V _ { 0 } e ^ { z / d _{E} } , \frac { z } { d_{E} } + v , z ) , z \leq 0[/math]

Representación de la espiral de Ekman en cilindircas

% Parámetros iniciales

dE = sqrt(2 * 0.05 / 0.7*10^-4); % Cálculo de dE
z = linspace(0, dE, 500); % Valores de z
v=0.15;

% Definición de la curva
%Valores de rho, theta y z

rho = v .* exp(z ./ dE);
theta = (z ./ dE) + 3*pi/4;
Z=z-dE;

%Paso a cilíndricas para hacer gráfica en MATLAB

X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
Z=z-dE;
figure;
hold on;

%axis([-0.4,0.4,-0.4,0.4,-150,0]);

axis tight;
grid on;
zlabel('Profundidad');  %Z
view(3);
plot3(X, Y, Z, 'g', 'LineWidth', 4);

12 Curvatura y Torsión de la esprial de Ekman

La curvatura y la torsión ayudan a describir cómo se comporta la espiral de Ekman. La curvatura indica cuánto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto, mientras que la torsión mide cómo va girando el plano en el que se curva la trayectoria, reflejando así su carácter tridimensional. Las expresiones para la curvatura y la torsión se definen como:

[math] \tau (z)=\frac{\left [ \vec{v}(z),\vec{a}(z),{\vec{a}}'(z) \right ]}{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|^{2}} [/math]
[math] \kappa (z)=\frac{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|}{\left|\vec{v}(z) \right|^{3}} [/math]

Representación curvatura y torsion

clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5;  % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 30,10242;  % Latitud en grados
V0 = 0.15;  % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05;  % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4;  % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = -3 * delta;  % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 40;  % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames);  % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
axis equal;
% xlim([-0.5, 0.5]);
% ylim([-0.5, 0.5]);


K = zeros(1,n_frames);
Tau = zeros(1,n_frames);
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
    z = z_vals(k);  % Profundidad actual
    % Calcular las componentes de la velocidad
    u = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * cos(-z / delta+theta0);  % Componente u(z)
    v= V0 * exp(-z / delta) * sin(-z / delta+theta0);  % Componente v(z)
    K(k) = (1/delta)*1/(V0*exp(-z/delta))^2;
    Tau(k) = 0;




end
plot(-z_vals,K,'Color','g','DisplayName','Curvatura K(z)')
plot(-z_vals,Tau, 'LineStyle','--','Color','b','DisplayName','Torsion \tau(z)')
xlabel('Profundidad [m]');
ylabel('K(z) y \tau(z)');
set(gca, 'XDir', 'reverse')
legend()

13 Calculo y representación del tiedro de Frenet

El triédro de Frenet es un concepto utilizado en geometría diferencial para describir el movimiento de una curva en el espacio tridimensional. Se compone de tres vectores: el vector tangente, el vector normal y el vector binormal. En el estudio de la espiral de Ekman, que describe el movimiento del agua en la capa superficial del océano debido a la acción del viento y la rotación de la Tierra, el triédro de Frenet puede ser útil para analizar la trayectoria de las partículas de agua.

1. Vector Tangente (T): Este vector indica la dirección de la curva en un punto dado. En la espiral de Ekman, el vector tangente representaría la dirección del flujo del agua en un punto específico de la espiral. [math] \vec{t}(z)=\frac{\vec{v}(z)}{\left|\vec{v}(z) \right|} [/math]

2. Vector Normal (N): Este vector es perpendicular al vector tangente y apunta hacia la dirección en la que la curva está "girando". En la espiral de Ekman, el vector normal podría ayudar a entender cómo cambia la dirección del flujo a medida que se avanza en la espiral. [math] \vec{n}(z)=\vec{b}(z)\times \vec{t}(z) [/math]

3. Vector Binormal (B): Este vector es perpendicular tanto al vector tangente como al vector normal. En el caso de la espiral de Ekman, el vector binormal puede no tener un significado físico directo, pero es parte de la estructura del triédro de Frenet. [math] \vec{b}(z)=\frac{\vec{v}(z)\times \vec{a}(z)}{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|} [/math]

Representacion tiedro de frenet

clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5;  % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 30,10242;  % Latitud en grados
V0 = 0.15;  % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05;  % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4;  % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 15 * delta;  % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 100;  % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0,z_max, n_frames);  % Valores de profundidad (z < 0)



u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta)  .* cos(-z_vals / delta+theta0);  % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta)  .* sin(-z_vals / delta+theta0);  % Componente v(z)
% Calcular las componentes de la velocidad
r = u_m.^2+v_m.^2;  % Componente radial de la velocidad
theta = atan2(v_m,u_m); % Componente angular de la velocidad
% Convertir de coordenadas cilíndricas a cartesianas para graficar
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);

% Graficar el campo vectorial en coordenadas cilíndricas
figure(1);
plot3(x,y,-z_vals,'LineWidth',1.5)

xlabel('r (m)');
ylabel('θ (radianes)');
zlabel('Profundidad (m)');
title('Campo Vectorial de Ekman en Coordenadas Cilíndricas con el triedro de Frenet');
set(gca,'XDir','reverse')
grid on
view(3)
hold on
for i =1:size(z_vals,2)
    %Vectores Frenet
    %T: tangente
    T = [cos(theta(i)),sin(theta(i)),0];
    %N: Normal
    N = [-sin(theta(i)), cos(theta(i)), 0]; %Perpendicular a T
    %B: Binormal
    B = [0, 0, 1]; % Binormal apunta hacia el eje z
    % Punto espiral
    plot3(x(i), y(i), -z_vals(i), 'ko', 'MarkerSize', 5, 'MarkerFaceColor', 'k');
    % Vectores del triedro
    quiver3(x(i), y(i), -z_vals(i), T(1), T(2), T(3),0.01 , 'r', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Tangente
    quiver3(x(i), y(i),-z_vals(i), N(1), N(2), N(3),0.01 , 'g', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Normal
    quiver3(x(i), y(i), -z_vals(i), B(1), B(2), B(3),0.01,'y',  'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Binormal
    pause(0.1)
    %Actualizar figura
    cla
    plot3(x,y,-z_vals,'LineWidth',1.5)

    xlabel('r (m)');
    ylabel('θ (radianes)');
    zlabel('Profundidad (m)');
    title('Campo Vectorial de Ekman en Coordenadas Cilíndricas con el triedro de Frenet');
    set(gca,'XDir','reverse')
    grid on
    view(3)
    hold on
    %xlim([-0.5 0.5])
    %ylim([-0.1 0.1])
    zlim([-z_max 0])
end

14 Calculo de la longitud del arco de la espiral de Ekman

La espiral está dada por:

[math]\gamma(z)=(u(z),v(z),z)[/math] La longitud de arco desde [math]z=0[/math] hasta :[math]z=-Z[/math] es: [math]L(Z)=\int_{-Z}^{0} \sqrt{(u'(z))^2 + (v'(z))^2 + 1}\,dz[/math]

Derivadas

Las derivadas de las componentes son:

[math] u'(z)=\frac{1}{d_E}u(z)-\frac{1}{d_E}\text{sgn}(f)V_0 e^{z/d_E}\sin\left(\frac{z}{d_E}+\theta\right) ; v'(z)=\frac{1}{d_E}v(z)+\frac{1}{d_E}V_0 e^{z/d_E}\cos\left(\frac{z}{d_E}+\theta\right) [/math] Al calcular : [math](u')^2+(v')^2` , [/math] se obtiene: [math](u')^2+(v')^2 = \frac{V_0^2}{d_E^2} e^{2z/d_E}[/math]

Por tanto:

[math] L(Z)=\int_{-Z}^{0} \sqrt{1 + \frac{V_0^2}{d_E^2}e^{2z/d_E}}\,dz[/math] Comportamiento cuando :[math]Z\to\infty[/math] Como :[math]z\to -\infty[/math] [math]e^{2z/d_E} \to 0[/math]

Luego el integrando tiende a 1, y:

[math]L(Z)\sim Z \quad (Z\to\infty)[/math]

Conclusión: la longitud de arco de la espiral de Ekman crece sin límite.

15 La proyección de la espiral de Ekman sobre el plano horizontal

La proyección sobre el plano (x,y) es [math]\gamma_{xy}(z)=(u(z),v(z))[/math].

Los campos del modelo son:

[math]u(z)=\operatorname{sgn}(f)\,V_0 e^{z/d_E}\cos\!\left(\frac{z}{d_E}+\theta\right)[/math] [math]v(z)=V_0 e^{z/d_E}\sin\!\left(\frac{z}{d_E}+\theta\right)[/math]

15.1 Representación logaritmica en el plano XY

La curva proyectada se describe mediante:

[math]\gamma_{xy}(z) = \left( V_0 e^{z/d_E} \cos\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right), \; V_0 e^{z/d_E} \sin\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right) \right), \quad z \leq 0[/math]

Código MATLAB/Octave para representarla:

Escala logaritmica espiral de Ekman

clc; clear; close all;

% Parámetros físicos

V0 = 0.15;           % velocidad superficial [m/s]
nu_e = 0.05;         % viscosidad turbulenta [m2/s]
phi0 = -3*pi/4;      % fase superficial

% Latitud
phi_lat = 30 + 10/60 + 24.2/3600;

% parámetro de Coriolis
f = 2 * 7.2921e-5 * sin(deg2rad(phi_lat));

dE = sqrt(2*nu_e/abs(f));


% z

z = linspace(0, -3*dE, 2000);

% Calculo de las velocidades

u = V0 * exp(z/dE) .* cos(z/dE + phi0);
v = V0 * exp(z/dE) .* sin(z/dE + phi0);

% Saco la gráfica
figure;

plot3(u, v, z, 'LineWidth', 2);  
hold on;

plot3(u(1:100:end), v(1:100:end), z(1:100:end), 'ro', 'MarkerSize', 4);

grid on;
xlabel('u(z) [m/s]', 'FontSize', 12);
ylabel('v(z) [m/s]', 'FontSize', 12);
zlabel('z [m]', 'FontSize', 12);
title('Espiral de Ekman en 3D', 'FontSize', 14);

15.2 Verificación de [math]p = p_0 e^{b\theta}[/math]

En coordenadas polares:

[math]\rho(z)=\sqrt{u(z)^2+v(z)^2}=V_0\,e^{z/d_E}[/math]

Para el ángulo:

- Si [math]\operatorname{sgn}(f)=+1[/math] (hemisferio norte): [math]\Theta(z)=\frac{z}{d_E}+\theta[/math]

- Si [math]\operatorname{sgn}(f)=-1[/math] (hemisferio sur): [math]\Theta(z)=\pi-\left(\frac{z}{d_E}+\theta\right)[/math]

Eliminando z (caso hemisferio norte):

[math]z/d_E = \Theta - \theta[/math]

Sustituyendo:

[math]\rho = V_0 e^{\Theta - \theta} = (V_0 e^{-\theta})\,e^{\Theta}[/math]

Así, la curva cumple:

[math]\rho = \rho_0 e^{b\Theta}[/math]

con:

- [math]\rho_0 = V_0 e^{-\theta}[/math]

- [math]b = 1[/math] en hemisferio norte - [math]b = -1[/math] en hemisferio sur

15.3 Calculo del ángulo entre vector posición y vector tangente. Verificación de que es constante

Para la espiral logarítmica:

[math]\rho = \rho_0 e^{b\Theta}[/math]

Derivamos:

[math]\frac{d\rho}{d\Theta} = b\rho[/math]

El ángulo [math]\alpha[/math] entre el vector de posición y el tangente satisface:

[math]\tan\alpha = \frac{\rho}{d\rho/d\Theta} = \frac{1}{b}[/math]

Por lo tanto:

El ángulo es constante, propiedad fundamental de la espiral logarítmica.

15.4 Aplicaciones de la espiral logaritmica en ingeniería

La espiral logarítmica (o espiral equiangular) es una de las curvas más estudiadas en matemáticas aplicadas debido a sus propiedades geométricas únicas y su frecuente aparición en sistemas naturales y artificiales.

Aplicaciones en ingeniería:

Diseño aeronáutico y de turbomáquinas:

Álabes de turbinas y compresores: El perfil de los álabes en turbinas eólicas, turbinas de gas y compresores centrífugos a menudo sigue una espiral logarítmica. Esto se debe a que mantiene un ángulo de ataque constante a lo largo del radio, lo que minimiza las pérdidas por choque y mejora la eficiencia aerodinámica o hidrodinámica.

Ductos de difusores y toberas: La forma espiral logarítmica permite una expansión o compresión gradual del flujo, reduciendo la formación de turbulencias y la separación de la capa límite.

Antenas y electromagnetismo:

Antenas espirales logarítmicas: Son ampliamente utilizadas en telecomunicaciones y radioastronomía por su característica de banda ancha. Pueden operar en un amplio rango de frecuencias sin cambios significativos en su impedancia y patrón de radiación.

Diseño de guías de onda y acopladores direccionales: La curva permite una transición suave de la energía electromagnética, minimizando reflexiones.

Ingeniería mecánica y diseño de resortes:

Resortes espirales no cilíndricos: En aplicaciones donde se requiere una relación no lineal entre fuerza y desplazamiento, los resortes con forma de espiral logarítmica ofrecen una respuesta mecánica más controlada.

Mecanismos de seguimiento solar: Algunos diseños de concentradores solares utilizan superficies reflectantes en forma de espiral logarítmica para enfocar la radiación de manera uniforme a lo largo del día.

Ingeniería civil y arquitectura:

Diseño estructural de escaleras y rampas: La espiral logarítmica proporciona una transición ergonómica y estéticamente agradable entre niveles.

Distribución de tensiones en cúpulas y arcos: Algunas estructuras de cubierta se inspiran en esta curva para redistribuir cargas de manera óptima.

Procesamiento de señales e imagen:

Algoritmos de compresión y reconocimiento de patrones: La espiral logarítmica sirve como base para transformadas matemáticas (como la transformada espiral) utilizadas en el análisis de texturas y formas naturales.

16 Poster

A continuación y como conlusión de este trabajo. Adjuntamos el poster realizado.