Gruo62023

1. Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del s´olido. Tomar los ejes (comando axis) en el rect´angulo (x, y) ∈ [−1; 1] × [0; 12] y como paso de muestreo h = 2/10 para las variables x e y.

2. Dibujar las curvas de nivel de la temperatura (comando contour) y decidir en qu´e punto la temperatura es m´axima a partir de la gr´afica. Calcular ∇T y pintarlo como campo vectorial en la misma gr´afica. Observar gr´aficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas. (Nota: es muy importante que la escala de los ejes sea la misma para apreciar el ´angulo que forman las curvas de nivel y el gradiente)

3. De acuerdo a la Ley de Fourier la energ´ıa calor´ıfica Q~ viaja de acuerdo a la f´ormula Q~ = −κ∇T, donde κ es la constante de conductividad t´ermica de la placa que supondremos κ = 1. Calcular Q~ y dibujarlo como campo vectorial.

4. Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del s´olido, en t = 0.

5. Dibujar el s´olido antes y despu´es del desplazamiento dado por el campo de vectores ~u (en t = 0). Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

6. Dibujar ∇ · ~u en t = 0. Determinar anal´ıticamente los puntos en los que la divergencia de ~u es m´axima, m´ınima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gr´afica?

7. Calcular |∇ × ~u| en todos los puntos del s´olido en t = 0 y dibujarlo. ¿Qu´e puntos sufren un mayor rotacional?

8. Definamos �(~u) = (∇~u + ∇~ut )/2, la parte sim´etrica del tensor gradiente de ~u conocido como tensor de deformaciones. En un medio el´astico lineal, is´otropo y homog´eneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones σij a trav´es de la f´ormula σ = λ∇ · ~u 1 + 2µ�, donde 1 es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio R 3 y λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lam´e que dependen de las propiedades el´asticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ~u no tiene componente en la direcci´on de ~k) las tensiones no tienen por qu´e ser planas y puede haber tensiones en la direcci´on ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las tensiones normales en la direcci´on que marca el eje ~i, es decir ~i · σ ·~i, las tensiones normales en la direcci´on que marca el eje ~j, es decir ~j · σ · ~j y las correspondientes al eje ~k, es decir ~k · σ · ~k (dibujar las que no son nulas).

9. Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ~i, es decir |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i|, en t = 0. Dibujar s´olo las que no son nulas

10. La tensi´on de Von Mises se define por la f´ormula σV M = r (σ1 − σ2) 2 + (σ2 − σ3) 2 + (σ3 − σ1) 2 2 , donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (tambi´en conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento pl´astico (y no el´astico puro). Pintar la tensi´on de Von Mises y se˜nalar en qu´e punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/MatLab usar el comando eig.m)

11. El campo de fuerzas F~ que act´ua sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuaci´on de la elasticidad lineal F~ = ∂ 2~u ∂t2 − ∇ · σ, donde ∇ · σ es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz σ. Calcular la velocidad de propagaci´on de las ondas v en t´erminos de las constantes de Lam´e, suponiendo que F~ = 0. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando ~a = 1/3~j, ¿cual ser´ıa la velocidad de propagaci´on? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisi´on de ondas s´ısmicas

12. Fijado ahora el punto (1/2, 1), calcular el m´odulo del desplazamiento transversal (direcci´on ~i) a lo largo del tiempo en el intervalo t ∈ [0, 10]. Dibujar la funci´on que a cada t le asocia dicho desplazamiento.