Enunciado del trabajo 5

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos.

Mallado del exterior del disco unidad

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares). Se pide:

1. Dibujar un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para ello tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen. Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un círculo dibujaremos los ejes en el intervalo [math][-4,4]\times[-4,4][/math] (ver figura).
2. La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial [math]\varphi(\rho,\theta)=(\rho+1/\rho)\cos \theta [/math]. Dibujar la función potencial [math]\varphi[/math] y el campo de velocidades del fluido. Observar gráficamente (dibujando un zoom de la gráfica) que [math]\vec u=\nabla \varphi[/math] es ortogonal a las curvas de nivel de [math]\varphi[/math].
3. Comprobar analíticamente que [math]\vec u[/math] es al mismo tiempo de rotacional nulo y de divergencia nula. La divergencia nula está asociada en este caso al hecho de que localmente el fluido mantiene su volumen (ni se expande ni se contrae), es decir, se trata de la condición de incompresibilidad. El agua se puede suponer incompresible pero no el aire.
4. Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo [math]\vec u[/math], es decir las líneas que son tangentes a [math]\vec u[/math] en cada punto. Para ello calculamos el campo [math]\vec v[/math] que en cada punto es ortogonal a [math]\vec u[/math] (tomar [math]\vec v=\vec k \times \vec u[/math]). Observar que [math]\vec v[/math] es irrotacional (por ser [math]\vec u[/math] de divergencia nula) y tiene un potencial escalar [math]\psi[/math] que se conoce como función de corriente de [math]\vec u[/math]. Dibujar las líneas [math]\psi=cte[/math] y comprobar que son efectivamente líneas de corriente de [math]\vec u[/math].
5. Calcular los puntos de la frontera [math]S[/math] donde la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. ¿Cuales son?
6. Supondremos que la densidad del fluido es constante [math]\rho_d=2[/math], y que se verifica la ecuación de Bernouilli:

[math] \frac{1}{2} \rho_d |\vec u|^2 + p = cte, [/math] donde p es la presión. Calcular la presión del fluido dando un valor a la constante anterior. Dibujarla. ¿En qué puntos se alcanza la mayor y menor presión? Compararlo con los puntos donde se alcanza la mayor y menor velocidad.

1. Si fuéramos una partícula del fluido seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. ¿Cómo cambiaría nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo? Deducir esto a partir de las gráficas de las líneas de corriente, presión y módulo de la velocidad [math]|\vec u|[/math].
2. Comprobar que la circulación del campo [math]\vec u[/math] a lo largo de la circunferencia unitaria centrada en el origen se anula. El Teorema de Kutta-Joukowski establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (círculo unidad) es proporcional a esta circulación. Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición. Esto es lo que se conoce como la paradoja de D'Alembert. Para ilustrar esta fuerza es necesario tomar soluciones de modelos de fluidos más sofisticados.
3. Repetir los apartados 2,3 y 4 suponiendo esta vez [math]\varphi(\rho,\theta)=(\rho+1/\rho)\cos \theta +\theta / (4\pi)[/math].