Enunciado del trabajo 4

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

Mallado de una placa en forma de anillo

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura [math]T(\rho,\theta,t)[/math], que depende de las dos coordenadas polares [math](\rho,\theta)[/math] y el tiempo [math]t[/math], y los desplazamientos [math]\vec u(\rho,\theta,t)[/math]. De esta forma, si definimos [math]r_0(\rho,\theta)[/math] el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto [math](\rho,\theta)[/math] de la placa en un instante de tiempo [math]t[/math] viene dada por: [math] \vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t). [/math] Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante [math]t_0[/math] vienen dados por: [math] \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}. [/math]

Se pide:

1. Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido (ver figura). Tomar como paso de muestreo [math]h=1/10[/math] para las variables [math]x[/math] e [math]y[/math].
2. La temperatura del sólido proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen. Supongamos que la conocemos y viene dada por [math]T(x,y)=e^{-y}[/math]. Dibujarla.
3. Calcular [math]\nabla T[/math] y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que [math]\nabla T[/math] es ortogonal a dichas curvas.
4. Consideramos ahora el campo de vectores [math]\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}[/math]. Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
5. Si [math]\vec u[/math] determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido, dibujar el sólido antes y después del desplazamiento. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.
6. Calcular la [math]\nabla \cdot \vec u[/math] en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.
7. Calcular [math]|\nabla \times \vec u|[/math] en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?
8. Definamos [math]\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2[/math], la parte simétrica del tensor gradiente de [math]\vec u[/math], que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones [math]\sigma_{ij}[/math] a través de la fórmula:

[math] \sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}, [/math] donde [math]\lambda[/math] y [math]\mu[/math] son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando [math]\lambda=\mu=1[/math], dibujar las tensiones normales en la dirección [math]\vec g_{\rho}[/math], es decir [math]\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho[/math] y las tensiones normales en la dirección [math]\vec g_\theta/\rho[/math], es decir [math]\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho[/math].

1. Dibujar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a [math]\vec g_\rho[/math], es decir [math]|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|[/math]. ¿Donde son mayores? Compararlas con los puntos de mayor deformación de la malla.
2. Dibujar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a [math]\vec g_\theta/\rho[/math], es decir [math]|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|[/math]. ¿Donde son mayores? Compararla con los puntos de mayor deformación de la malla.