Ecuacion de vigas

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Trabajo realizado por estudiantes
Título Ecuación de vigas. Grupo 13-B
Asignatura Ecuaciones Diferenciales
Curso Curso 2013-14
Autores Mónica Gómez, Noemí Ortiz, Alicia Chacón, Miguel Sánchez, Cristina Jiménez
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura


1 Ecuación de viga apoyada en ambos extremos

El trabajo a realizar consiste en el estudio de la deflexión de una viga apoyada en ambos extremos, de sección trasversal S, sometida al momento de unas fuerzas (Fi) aplicadas sobre esta. Entendemos como momento flector al producto de la fuerza por la distancia que hay entre la fuerza y el punto a estudiar.

Flexión de una viga al ser sometida a una fuerza F.

1.1 Flexión de una viga con sección constante sometida a momentos flectores

Suponemos que el eje de la viga va en la dirección del eje X, ocupando un intervalo [0,L] de forma que estudiaremos la deflexión de ésta en su eje perpendicular, eje Y.

Para estudiar dicha situación, la representamos por un problema de contorno que solucionamos mediante el método de diferencias finitas expuesto a continuación.

\[\left\{\begin{matrix}\ y=\frac{M(x)}{E I(x)}\ , & \\ y(0)=0 \ , \\ y(L)=0\ & \end{matrix}\right.\]




Cabe destacar que las condiciones de frontera son nulas debido a que la viga, como nos requiere el enunciado, está apoyada en sus extremos.

Como datos tenemos:

  • El módulo de elasticidad (módulo de Young) que depende de las propiedades elásticas del material, y que en nuestro caso permanece constante
  • Conocemos como I(x) el momento de inercia de la sección transversal S respecto al centro (cuadrado de lado a=0.5 metros).
  • Finalmente disponemos del momento flector definido antes, M(x).
  • Longitud de la viga (L=10 metros):

[math] L=10 \ ; \ E= 5*10^4 \ ; \ M(x)= L/2- | x- L/2 | \ ; \ I(x)= \frac {a*b^3}{12} [/math]


El código Matlab empleado para su estudio es :

 1 %%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0
 2 
 3 clear all
 4 close all
 5 
 6 % datos generales
 7 L=10;               % longitud viga
 8 E=5E4;              % módulo de Young
 9 a=0.5;              % altura sección rectangular
10 b=1-a;              % anchura sección rectangular
11 I=(1/12)*b*a^3;     % momento de inercia
12 
13 % partición espacial
14 x0=0;xN=L;
15 N=50;dx=(xN-x0)/N;
16 x=x0:dx:xN;
17 xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);
18 
19 % f(x)
20 y0=0;yL=0;
21 M=L/2-abs(xi-L/2);
22 f=(M/(E*I))';       % vector columna
23 f(1)=f(1)-y0/(dx^2);
24 f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);
25 
26 % matriz K
27 KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);
28 K=(1/dx^2)*KK;  
29 
30 %solución
31 y=K\f;
32 
33 y=[y0;y;yL];            % añadimos los valores del contorno
34 fle_max=-max(abs(y))
35 
36 
37 % dibujamos
38 figure(314)
39 plot(x,y)


Como se puede ver en la siguiente gráfica, el punto de mayor deflexión es en el centro de vano (x=5 m) y de valor absoluto 0.16013 en sentido negativo del eje.

Deflexión de la viga.
















1.2 Flexión de viga dependiendo del valor del canto

A continuación hemos ido variando los datos iniciales de la sección trasversal de la viga de forma que el canto (a) toma valores del intervalo [0.1,0.9]. A su vez, el ancho de la viga también cambia de forma que b=1-a.

Con estos cambios, realizamos un estudio de diferentes secciones de la viga, tomando como condición que el volumen se mantenga constante, con la finalidad de determinar en cuál de ellos se sufre la menor deflexión y, a su vez, la flecha máxima de la mayor deflexión

Numéricamente, el código que exponemos a continuación nos resuelve este apartado:


 1 %%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0
 2 
 3 clear all
 4 close all
 5 
 6 % partición espacial
 7 L=10;               % longitud viga
 8 x0=0;xN=L;
 9 N=50;dx=(xN-x0)/N;
10 x=x0:dx:xN;
11 xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);
12 
13 % matriz K
14 KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);
15 K=(1/dx^2)*KK;
16 
17 % datos generales
18 E=5E4;              % módulo de Young
19 y0=0;yL=0;
20 M=L/2-abs(xi-L/2);
21 
22 n=0;fle_max=zeros(1,9);
23 for a=0.1:0.1:0.9      % altura sección rectangular
24     n=n+1;
25     b=1-a;              % anchura sección rectangular
26     I=(1/12)*b*a^3;     % momento de inercia
27     
28     % f(x)
29     f=(M/(E*I))';       % vector columna
30     f(1)=f(1)-y0/(dx^2);
31     f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);
32     
33     %solución
34     y=K\f;
35     
36     y=[y0;y;yL];            % añadimos los valores del contorno
37     fle_max(n)=-max(abs(y));
38     
39     % el valor de x en el que se da la flecha máxima hay que calcularlo
40     % es en L/2, claro
41     
42     % dibujamos
43     figure(314)
44     hold on
45     plot(x,y)
46 end
47  fle_max(n)=-max(abs(y))
48 hold off
49 figure(628)
50 plot(0.1:0.1:0.9,fle_max,'-or')


Finalmente tenemos como resultado gráfico la deflexión con cada medida de canto del intervalo.También obtenemos las flechas máximas para cada valor de a.

Deflexiones sufridas para las diferentes secciones.
Flechas máximas para las diferentes secciones.



Hemos deducido que la menor deflexión se produce con a=0.7 y b=0.3 con una flecha de 0.00973.

Por el contrario, la flecha máxima se obtiene con a=0.1 y b=0.9 con un valor de flecha de 1.112. Físicamente este fenómeno se explica debido a que a mayor canto de la viga menor deformación. Así, obligamos a que el canto de la sección trasversal de la viga sea lo más grande posible dentro del intervalo.


1.3 Flexión de una viga con sección cuadrada de lado variable sometida a momentos flectores

El problema que a continuación se expone es equivalente al anterior, con la modificación de que el lado de la sección pasa a ser variable y dependiente de x de forma que:

[math] a(x)=c*(x-L/2)^2 +d [/math]

siendo c y d parámetros que eligiendo adecuadamente nos permitirán obtener el diseño con menor deflexión.

Para obtener la relación entre estos valores tenemos en cuenta que la condición que se nos impone es que el volumen total de la viga tiene que ser constante y de valor igual al de la viga de sección cuadrada de lado a=0.5 metros.

[math] L*a^2=\int_{0}^{L} [c(x-L/2)^2+d]^2 dx[/math]

Necesitamos encontrar la relación entre los parámetros c y d siendo esta:

[math] d=\frac{c*L^2}{12} ± \sqrt{a^2-\frac{c^2*L^4}{180}} [/math]

El código que resuelve el problema es el que seguidamente aparece:

 1 %%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0
 2 
 3 clear all
 4 close all
 5 
 6 % partición espacial
 7 L=10;               % longitud viga
 8 x0=0;xN=L;
 9 N=50;dx=(xN-x0)/N;
10 x=x0:dx:xN;
11 xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);
12 
13 % matriz K
14 KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);
15 K=(1/dx^2)*KK;
16 
17 % datos generales
18 E=5E4;              % módulo de Young
19 y0=0;yL=0;
20 M=L/2-abs(xi-L/2);
21 
22 n=0;
23 c0=-.025;cf=-0.005;
24 dc=0.0005;
25 for c=c0:dc:cf         
26     n=n+1;
27     d=-(c*L^2/12)+sqrt((.5)^2-c^2*L^4/180) 
28     a=c*(xi-L/2).^2+d; 
29     I=(1/12).*a.^4;     % momento de inercia
30     
31     % f(x)
32     f=(M./(E*I))';       % vector columna
33     f(1)=f(1)-y0/(dx^2);
34     f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);
35     
36     %solución
37     y=K\f;
38     
39     y=[y0;y;yL];            % añadimos los valores del contorno
40     fle_max(n)=-max(abs(y));
41      
42     % dibujamos
43     figure(100)
44     hold on
45     plot(x,y)
46     hold on
47     end
48 hold off
49 figure(200)
50 plot(c0:dc:cf ,fle_max,'-or')
51 
52 figure(300) % perfil de la viga óptima
53 C=-0.0161
54 D=-(C*L^2/12)+sqrt((.5)^2-C^2*L^4/180)
55 A=C*(x-L/2).^2+D;
56 plot(x,A)


Como resultado obtenemos que c=-0.0161 y d=0.54028 son los valores correspondientes a la viga con menor deflexión.

Deflexiones de la viga para diferentes c y d.















2 Flexión de una viga encastrada con sección constante sometida a una carga

A continuación se presenta la situación de una viga encastrada en ambos extremos de ésta con la misma sección trasversal que en el problema inicial (sección cuadrada de lado a=b=0.5 metros). En este caso abordamos el problema con cuatro condiciones de frontera ya que la ecuación de la viga que se nos proporciona es de orden 4.

Respecto al problema inicial encontramos varias diferencias:

- La viga en cuestión deja de estar apoyada en ambos extremos y pasa a estar encastrada en ellos.

- La función deja de depender del momento flector y dependerá de la carga aplicada sobre ésta (W(x)).

Conservando los valores numéricos dados en el apartado 1 y siendo [math] \ W(x)= L/2- | x- L/2 | \ [/math] (dato) definimos el problema de contorno:

\[\left\{\begin{matrix}y'=\frac{-W(x)}{E I(x)}\ , & \\ y(0)=0 \ , \\ y(L)=0\ , & \\ y'(0)=0\ , \\ y'(L)=0\ , \end{matrix}\right.\]


Buscamos plantear el método de diferencias finitas para aproximar las soluciones del problema anterior. Para obtenerlo usamos las siguientes aproximaciones:

[math] y''''(x_j)=\frac{y(x_j-2)-4y(x_j-1)+6y(x_j)-4y(x_j+1)+y(x_j+2)}{h^4}+f(h^2)[/math]
[math] y'(x_0)=\frac{y(x_1)-y(x_-1)}{2h}+f(h^2)[/math]
[math] y'(x_N)=\frac{y(x_N+1)-y(x_N-1)}{2h}+f(h^2)[/math]

El código que hemos desarrollado para la evaluación de este ejercicio es el que aquí mostramos:


 1 %%% y''''(x)=-w(x)/(EI)=g(x)=-f(x)
 2 %%% y(0)=y'(0)=y(L)=y'(L)=0
 3 
 4 clear all
 5 close all
 6 
 7 % datos generales
 8 L=10;               % longitud viga
 9 E=5E4;              % módulo de Young
10 a=0.5;              % altura sección rectangular
11 b=1-a;              % anchura sección rectangular
12 I=(1/12)*b*a^3;     % momento de inercia
13 
14 % partición espacial
15 x0=0;xN=L;
16 N=10;dx=(xN-x0)/N;
17 x=x0:dx:xN;
18 xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);
19 
20 % g(x)
21 w=L/2-abs(xi-L/2);
22 g=-(w/(E*I))';       % vector columna
23 
24 
25 % matriz K
26 KK=6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2);
27 KK(1,1)=7;KK(N-1,N-1)=7;
28 K=(1/dx^4)*KK;  
29 
30 %solución
31 y=K\g;
32 
33 y=[0;y;0];            % añadimos los valores del contorno
34 fle_max=-max(abs(y))
35 
36 
37 % dibujamos
38 figure(314)
39 W=L/2-abs(x-L/2);
40 plot(x,W,'r',x,y,'b')


Al desarrollar el código numérico, calculamos el valor de mayor deflexión siendo este en valor absoluto 0.38064 y el punto en el que se alcanza es L/2=5.

Gráfica con la carga y la deflexión.















3 Flexión de una viga apoyada en sus extremos dependiendo del tiempo. Problema dinámico.

Consideramos ahora el problema dinámico. En este caso la deflexión de la viga depende también del tiempo y(x,t) quedando la ecuación:

[math]ρy_tt + EIy_xxxx = -w(x,t) [/math]

Siendo "p" la densidad de la viga que mantendremos constante y de valor la unidad. De esta forma nuestra ecuación final será:

[math] y_tt + EIy_xxxx = -w(x,t) [/math]

Al tratarse de un problema dependiente de 2 variables necesitamos dos condiciones iniciales [math] y(x,0)=y_0(x) \ ; \ y_t(x,0)=y_(x) [/math]

De esta forma planteamos el sistema de ecuaciones completo y su aproximación de diferencias finitas considerando el método del trapecio para resolver el problema en tiempo.

\[\left\{\begin{matrix}\ y=\ ky + b(t)\ , & \\ y(0)=y_0 \ , \\ y'(0)=z_0\ & \end{matrix}\right.\]

Tras realizar las derivaciones respecto al tiempo y respecto a x y despejando los valores conocidos nuestro sistema queda definido por:

[math] vec{y''}=k*vec{y} +vec{b(1)} [/math]

donde si tenemos en cuenta las condiciones iniciales resultaria: \[\left\{\begin{matrix}\vec{y}=k*\vec{y} +\vec{b(1)} \ , & \\\vec{y(0)}=\vec{y_0} \ , \\ \vec{y'(0)}=\vec{z_0}\ & \end{matrix}\right.\] Realizando el cambio de variable:

[math] \vec{y'}=\vec{z} [/math]
[math] \vec{z'}=k*\vec{y} +\vec{b} [/math]

Nuestro sistema final sobre el cual aplicaremos el método del trapecio es:

\[\left\{\begin{matrix} \vec{W'}= K*\vec{W} + \vec{B} \ , & \\ \vec{W(0)}=\vec{W_0} \ & \end{matrix}\right.\]

El código que a continuación mostramos nos permite calcular el sistema anteriomente mostrado siendo:

[math] y(0,t)=sin(\frac{8pix}{L}) [/math]
[math] y_t(0,t)=0 [/math]

Además nos permitirá obtener el comportamiento de y(x,t) en el punto x=0.5 en un intervalo de t [0,5]:

 1 %%% (ro)ytt+EIyxxxx=-w(x)
 2 %%% ytt+(EI/ro)yxxxx=-w(x)/ro=f(x)
 3 %%% y(0,t)=y'(0,t)=y(L,t)=y'(L,t)=0
 4 %%% y(x,0)=(1/3)*sin(8*pi*x/L); yt(x,0)=0
 5 
 6 clear all
 7 close all
 8 
 9 % datos generales
10 L=10;               % longitud viga
11 E=5E4;              % módulo de Young
12 ro=1;               % densidad
13 a=0.5;              % altura sección rectangular
14 b=1-a;              % anchura sección rectangular
15 I=(1/12)*b*a^3;     % momento de inercia
16 
17 % partición espacial
18 x0=0;xN=L;
19 N=100;dx=(xN-x0)/N;
20 x=x0:dx:xN;
21 xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);
22 
23 % condiciones iniciales
24 y0=((1/3)*sin(8*pi*xi/L))';      % y(x,0) // column vector
25 z0=zeros(1,length(xi))';        % yt(x,0) // column vector
26 W0=[y0;z0];
27 
28 % f(x)=-w(x)/ro
29 w=1*(L/2-abs(xi-L/2));
30 f=-(w/ro)';         % vector columna
31 
32 % matriz K
33 KK=6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2);
34 KK(1,1)=7;KK(N-1,N-1)=7;
35 K=-(E*I/ro)*(1/dx^4)*KK;  
36 
37 % matriz Q=[O,I;K,O]
38 I=eye(N-1);O=zeros(N-1);
39 Q=[O,I;K,O];
40 
41 % partición temporal
42 tM=5;M=100;dt=tM/M;t=0:dt:tM;
43 
44 % theta=0(Euler),0.5(Crank-Nicholson),1(Euler implícito)
45 theta=1/2;  % Crank-Nicholson
46 
47 % matriz P=inv(L)*R
48 I2=eye(2*(N-1)); 
49 L=I2-dt*theta*Q;
50 R=I2+dt*(1-theta)*Q;
51 % P=L\R;
52 
53 % término B
54 B=[zeros(length(f),1);f];
55 % B=[zeros(length(f),1);zeros(length(f),1)];
56 
57 % programa
58 W=zeros(2*(N-1),M+1);   
59 W(:,1)=W0;
60 
61 for n=1:M
62     W(:,n+1)=L\(R*W(:,n)+dt*B);  
63 end
64 
65 Y=W(1:N-1,1:M+1);
66 Y0=zeros(1,M+1);
67 YN=zeros(1,M+1);
68 Y=[Y0;Y;YN];           
69 
70 figure(100)     % gráfico y(x,t)
71 [X,T]=meshgrid(x,t);
72 figure(100)
73 surf(X,T,Y') 
74 
75 figure(200)     % curva y(0.5,t)
76 xc=0.5;
77 plot(t,Y(round(xc/dx+1),:))


Obteniendo las siguientes gráficas:

Aproximación de y(x,t) con las condiciones iniciales anteriormente mostradas en el intervalo [0,5].
Comportamiento de y(x,t) en el punto x=0.5 en un intervalo de tiempo [0,5].