Ecuación de Calor (Grupo 7)c

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Ecuación del calor en una placa en forma de anillo

Introducción:

El trabajo nos muestra una figura de una placa en forma de anillo, entre los radios 1 y 3, sobre la que vamos a trabajar en coordenadas polares. Tendremos en cuenta los radios para la resolución del problema, que vienen definidos por la coordenada ρ (según la dirección radial).

1.jpg

Figura1. Anillo circular entre radios 1 y 3.

La temperatura inicial de la placa viene definida por la función:

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y la placa está comprendida entre ρ=1 y ρ=3.

Los extremos de la placa están en contacto con ciertos objetos que les proporcionan una temperatura de 3ºC y de 0ºC para el ρ=1 y ρ=3, respectivamente. Esto es lo que nos marcará las condiciones de frontera que tiene nuestra placa.

Apartado 1:

La temperatura u de la placa sólo va a depender de la coordenada radial y del tiempo, es decir, por u(ρ,0)=e-8(ρ-2)+3–ρ. El enunciado nos indica que hagamos una parametrización con coordenadas polares, y vamos a tomar ρ y θ. Sin embargo, nuestra temperatura únicamente va a tener en cuenta el radio ρ, y no tendremos que tener en cuenta la coordenada que marcará el ángulo de giro θ Como ya hemos dicho, la temperatura vendrá definida por la coordenada radial ρ y por el tiempo t, siendo: u=u(ρ,t) Y deberá satisfacer la ecuación del calor: ut−∆u = 0

3.jpg

Y la ecuación del calor quedará de la siguiente forma:

4.jpg

Apartado 2:

Vamos a usar el método del trapecio, con un paso de discretización del espacio y tomando una discretización del tiempo en t [0,10]:

Código programa:

Archivo:Ej2TEXTO.jpg

Resultando la siguiente gráfica:

    • grafica

Debido a que tenemos dos condiciones de frontera, en nuestra placa se unen los extremos de la placa quedando de forma lineal y transmitiendo el calor de forma progresiva, siendo más frío en el extremo inferior .

Apartado 3:

Comportamiento de la temperatura en los puntos para los cuales ρ = 2 en una gráfica 2D temperatura/tiempo

Código programa

Archivo:Ej3TEXTO.jpg

    • grafica

Gráfica:

Aquí podemos ver el comportamiento de la temperatura para en un gráfico de 2D. En el gráfico podemos apreciar como la temperatura va enfriándose de una forma radical y se estabiliza a medida que pasa el tiempo hacia un valor 1.45ºC.

Apartado 4:

Metodo de Euler Explicito

Se resuelve el sistema de ecuaciones diferenciales aplicando el método de Euler explicito y con las mismas condiciones que se indican en el apartado 2 del método de diferencias finitas y del trapecio

Codigo de Matlab:

Archivo:Ej4TEULEREXPTEXTO.jpg

    • grafica
    • grafica
La temperatura máxima se alcanza según puede verse en el grafico entre los radios   1  y  3. Cuando pasa el tiempo la temperatura baja por la tendencia que la placa tiene para estabilizarse.  De este modo  el calor se trasmite desde las zonas de mayor temperatura a las de menos,  hasta conseguir una temperatura equilibrada 

Metodo de Euler implícito

Análogamente en este apartado se especifica la aplicación del método de Euler implícito

Código de Matlab:

Archivo:Ej4EULERIMPTEXTO.jpg

Gráfica:

    • grafica

En esta grafica se cumplen los mismos principios que en el método de Euler implícito y por lo tanto la misma resolución.

Metodo de Heun

Con este método se obtienen aproximaciones más exactas que con Euler o Runge Kutta, pero debido a nuestra discretización no se aprecia notablemente en nuestro gráfico.

Código de Matlab:

Archivo:Ej4HEUNTEXTO.jpg

Gráfica:

    • grafica

Apartado 5:

Vamos a comprobar que para tiempos grandes la temperatura sufre muy poca variación en el tiempo, por lo que podríamos despreciar Ut , obtendríamos valores estacionarios en cada punto de la placa , fijando un radio determinado. Variacion de la temperatura para tiempos grandes El sistema de ecuaciones que cumple U= U (ρ,t) es el siguiente:

    • ecucion

La temperatura se representa a lo largo de la placa para diferentes tiempos t= 0 , 1 , 2 ,10 y observamos que la temperatura muestra tendencia a equilibrarse a un valor estacionario en cada punto, alcanzándose un aumento de temperatura lineal en el anillo en la dirección del radio.

Código Matlab:

Ej5TEXTO.jpg

Gráfica:

    • grafica

Podemos apreciar en las cuatro subventanas la comparación para distintos valores de t (t=0,t=1,t=2, y t=10) y el valor estacionario. Se ve como se va estabilizando con t mayores.


COMPARACION h=0.1,0.01

    • codigo

hold off

Grafica: Como se puede observar no hay prácticamente diferencia entre un paso y el otro

    • grafica

La oscilación de la temperatura a lo largo del disco no es uniforme pues en el extremo ρ=3 la temperatura es mayor en ρ=1. Esto se debe a la condición inicial de ubicar un aislante en el extremo.

Apartado 6:

Variacion en las condiciones de frontera de la temperatura Situamos ahora en la frontera interior de la placa ρ=1 una pieza aislante (en lugar de un objeto con temperatura constante 3). El aislante impide la pérdida de calor en ese extremo y por ello el flujo de temperatura en la dirección radial es nulo y no entra ni sale calor en ese extremo de la placa. Así, el valor estacionario de la temperatura de la placa será 0ºC. El sistema en este caso es semejante al anterior. La diferencia es que el flujo de calor en la dirección radial sea nulo en la placa ( Neumann). El sistema de ecuaciones que cumple U= U (ρ,t) es el siguiente

    • ecuacion

Código Matlab:

Archivo:Ej6TEXTO.jpg