Comportamiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Comportamiento de un fluido incompresible. Grupo 4-C |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2015-16 |
| Autores | Adrián Coronado López Humberto del Castillo Montes de Oca |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
En este artículo nos centraremos en analizar el comportamiento de un fluido incompresible al interponerse en su camino un obstáculo. Dicho óbstaculo puede tratarse de un piedra en río, como la de imagen debajo. En el que se aprecia como cualquier objeto en medio de la circulación de un fluido genera un régimen turbulento, aunque en nuestro caso al darse velocidades bajas no llega a generarse dicho regimen y el fluido como veremos más a adelante sólo bordea al objeto.
Contenido
1 Visualización del recinto
Inicialmente consideramos una región con forma de corona circular de radio interior dos y radio exterior seis del plano Z=0 ocupada por un fluido. El obstáculo esta constituido por la circunferencia interior. Para visualizar el campo vectorial creamos un mallado plano que ocupe la región de estudio del fluido, que sería, en los ejes cartesianos [-5,5]x[-5,5].
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);
%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%dibujo del mallado
mesh(X,Y,0*X)
axis ([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2) %para verlo en 2D
2 Campo de velocidad del fluido
Ahora veremos como ese fluido se mueve en nuestro mallado, para ello veremos la variación de la velocidad de las partículas del fluido.
Esta velocidad viene dada por el gradiente de la función potencial:
\[\varphi=2cos\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\]
, la cual nos indica la dirección más probable que toma el fluido.
\[\vec{u}=\nabla\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\vec{g^\rho}+\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\vec{g^\theta}+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}\]
\[\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}=0\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g^\rho}-2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\vec{g^\theta}\]
\[\vec{g^\rho}=\vec{g_\rho}; \vec{g^\theta}=\frac{1}{\rho^2}\vec{g_\theta}\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_\rho}-2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})\vec{g_\theta}\]
2.1 Representación gráfica
El programa para representar la función potencial del fluído:
%Declaramos el paso y las variables
h=0.1;
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%Generamos la retícula
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);
%Representación de la función
surf(X,Y,f)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
El programa para representar el campo de velocidades [math]\vec u[/math] del fluido:
%Declarar paso y variables
h=0.3; %tomamos un paso diferente para que los vectores se vean más claramente
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%Generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(rho,th);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);
%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y); %componente en i
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X); %componente en j
%Representación de las curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'LineWidth',1.5) %utilizamos un grosor mayor para poder luego hacer
axis([-5,5,-5,5]) %una observación más precisa
axis equal
view(2)
hold on
%Representación del campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
Como podemos observar en el gráfico las lineas de nivel de la función potencial son ortogonales a los vectores, velocidad del fluido,[math]\vec{u}[/math]. Al existir un campo vectorial que es igual al gradiente de un campo escalar, ese campo vectorial es un campo conservativo. Como veremos más adelante la circulación es nula.
2.2 Conclusiones
Si \(\vec{n}\) es el vector normal a los puntos del obstáculo, [math]\vec{u}[/math]•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a [math]\vec{u}[/math]: [math]\begin{pmatrix}2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\1\end{pmatrix}=0[/math] Interpretamos esto, como que las partículas del fluido, se mueven en los ejes X e Y. significa que son la velocidad de las partículas del fluido son perpendiculares [math]\vec{n}[/math].
Además nótese que la velocidad depende tanto de si esta cerca del óbstaculo([math]\rho=2[/math]) como de si la partícula en concreto esta muy alejada del objeto. Por lo que para [math]\rho=\infty[/math], el campo de velocidades quedaria así:
[math]\displaystyle\lim_{\rho \to {\infty}}{\displaystyle(2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})cos\theta+2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}\rho sin\theta))\vec{i}+(2cos\theta sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})-2sin\theta\rho cos\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}))\vec{j}}=(2(cos^2\theta)+2(sin^2\theta))\vec{i}=2\vec{i}[/math]
3 Estudio de la incompresibilidad del fluido
3.1 Rotacional
En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
[math]\nabla \times\bar { u } =\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }[/math]
[math]{ u }_{ z }=0[/math]
[math]{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )[/math]
[math]{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )[/math]
[math]\boxed { \nabla \times (\bar { u } )=0 } [/math]
3.2 Divergencia
La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. Es decir, es lo que se expande el fluido
Para comprobar que un fluido sea incompresible, debemos estudiar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::
[math]div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial { x }^{ i } } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) [/math]
:
[math]\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0[/math]
:
[math]\boxed { div(\bar { u } )=0 } [/math]
3.3 Conclusiones
Siendo [math]\vec u [/math] el campo de velocidades de nuestro fluido, hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas del fluido no giran. El rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección antihoraria. Por lo tanto su circulación, como hemos comprobado, es nula. La divergencia del campo vectorial [math]\vec u [/math] en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, en caso de ser positivo, el fluido se estaría expandiendo, y en caso negativo, se estaría comprimiendo, al ser nula, podemos concluir que se trata de un fluido incompresible.
4 Líneas de Corriente
Las líneas de corriente del campo \(\vec{u}\) son tangentes a la velocidad, entendida como el gradiente de la función potencial φ. Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un vector perpendicular a \(\vec{u}\), el vector [math]\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}[/math]
[math]\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ})[/math]
[math]\boxed{\vec{v}={2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}}}[/math]
[math]\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0[/math]
[math]\boxed{ { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } }[/math]
Además \(\vec{v}\) tendrá un potencial escalar ψ que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.
[math]\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}[/math]
[math]\frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0\ltbr /\gt → h(θ) = cte [/math]
[math] \boxed{ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}[/math].
Dibujamos las líneas de corriente y el campo de velocidades \(\vec{u}\)
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;
%Generar retícula
[U,V] = meshgrid(ro,tg);
%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);
%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);
%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on
%Dibujar campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
Finalmente, representamos las líneas de corriente y las líneas equipotenciales. Se puede comprobar que son ortogonales.
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;
%Generar retícula
[U,V] = meshgrid(ro,tg);
%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);
%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);
%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on
%Declara paso y variables
h=0.3;
ro=2:h:6;
tg=0:h:2*pi+h;
%Generar retícula
[U,V]=meshgrid(ro,tg);
%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);
%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);
%Dibujar curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.6)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
5 Puntos de la frontera
Utilizando el módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.
Estudiaremos también los puntos de remanso, donde la velocidad es cero, que además son los puntos de velocidad mínima. Buscaremos primero los máximos y mínimos relativos y después precederemos a su estudio para hallar os máximos y mínimos absolutos. Dado que la función a estudiar ([math]|\vec u|[/math]) contiene una raíz cuadrada, se estudiará el valor del interior de la raíz, cuyos puntos donde haya máximos y mínimos coincidirán con los de la velocidad.
Campo → [math]\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }[/math]
Módulo → [math] |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } [/math]
♦ ρ=2 → [math]|\vec u|(2,θ)= f(θ)= 4 senθ [/math]
Puntos de remanso que coinciden con los puntos de velocidad mínima →
[math]|\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 →\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π\ →\ |\vec u|(2,π)=0 \\
\ltbr/\gt Máximos \ relativos → |\vec u|'(2,θ)= f'(θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} →\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} →\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4[/math]
♦ ρ=6 → [math]|\vec u|(6,θ)= 2 {\sqrt { (\frac{64}{81}) cos^2θ + \frac{100}{81}sen^2θ} } [/math] → [math]f(θ)= { (\frac{64}{81}) cos^2θ + \frac{100}{81}sen^2θ} [/math]
[math] Mínimos\ relativos\ → f'(θ)= \frac{8}{9}\cosθsenθ=0 \\ θ_1=0 \ → |\vec u|(6,0)=1,78 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=1,78 \\ Máximos\ relativos\ → f'(θ)= \frac{8}{9}\cosθsenθ= 0 \\ θ_3=\frac{π}{2} \ →|\vec u|(6,\frac{π}{2})=2,22 \\ θ_4=\frac{3π}{2} \ → |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=2,22 \\ Puntos\ de\ remanso\ →|\vec u|(6,θ) \ es\ siempre\ distinto\ de\ 0\ luego\ no\ existen .[/math]
Podemos ver que los puntos de velocidad máxima, mínima y de remanso son: →
[math] Velocidad\ máxima\ → (ρ=2, θ=\frac{π}{2})\ y\ (ρ=2, θ=\frac{3π}{2})\ con\ |\vec u|=4 \\ Velocidad\ mínima\ y\ de\ remanso → (ρ=2, θ=0)\ y\ (ρ=2, θ=π)\ con\ |\vec u|=0 [/math]
6 Distribución de Presiones en el fluido
6.1 La ecuación de Bernouilli
Esta ecuación describe la distribución de presiones en el fluido. \[\frac{1}{2}d\left | \vec{u} \right |^2+p=15\]
Siendo: d: densidad del fluido incomprensible [math]\vec{u}[/math]: campo vectorial de velocidades del fluido p: presión estática a la que esta sometido el fluido debido a sus moléculas
Para poder aplicar esta ecuación debemos suponer que:
- 1.el fluido(gas o liquido) se mueve en un régimen permanente, es decir, [math] \frac{\partial}{\partial t}=0 [/math]
- 2.se desprecia la viscosidad ([math]\mu=0[/math])
La ecuación nos indica que a medida que se aumenta la velocidad del flujo, la presión estática en el fluido disminuye. Aplicamos esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión: \[|\vec{u}|^2+p=15\] \[|\vec{u}|^2=4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]
\[p=15-4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]
6.2 Representación gráfica
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);
%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%la presion viene dada por la función
p=15-(4*cos(V).^2.*(1-4./U.^2).^2+4*sin(V).^2.*(1./U+4./U.^3).^2)
%dibujamos la superficie de presiones en el fluido
figure(1)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(2)
figure(2)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(3)
Pmax=max(max(p));%presión máxima
Pmin=min(min(p));%presión mínima
%la velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa.jpg)
En cuanto a las Presiones Maximas y Mínimas son 15 y 11.006 respectivamente, según nuestro código.
6.3 Interpretación de una linea de corriente cercana al objeto
Como podemos observar en las imágenes, a medida nos acercamos al objeto, aumenta la presión y disminuye la velocidad del líquido. Incrementando dicha velocidad paulatinamente a medida que el objeto es rodeado, lo cual indica que la presión es inversamente proporcional a la velocidad. Observamos gráficamente lo explicado:
6.4 Presiones medias
Para ello aproximaremos la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el anillo 2 < [math]\rho[/math] < 6.
- Para el cálculo de estas presiones medias podemos utilizar la aproximación trapezoidal:
clear
%lo primero que haremos sera definir el mallado y para ello necesito
%definir las variables
h=0.01;
ro=2:h:6-h;
th=0:h:2*pi-h;
%el mallado
[U,V]=meshgrid(ro,th);
%haremos un cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
p=15-(4*(cos(V).^2).*((1-4./U.^2).^2)+4*(sin(V).^2).*((1./U+4./U.^3).^2));
%realizamos una integral aproximada
P=U.*p;
%resolución de la integral
volumen=h^2.*P;
resultado=sum(sum(volumen));
%area del anillo
area=pi*(6^2-2^2);
Pmedia=resultado/area;el resultado de la [math]\textbf{Presión media=13.574}[/math] que al fin y al cabo no es mas que obrservar la representación gráfica de la distribución de presiones.
7 La Paradoja de D'Alambert
Se trata de una contradicción a la que llegó D'Alembert luego de estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él. D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo sobre el cual fluye el aire es cero, lo cual se contradice con la observación. Para saber que esa fuerza es nula aplicamos el Teorema de Kutta-Joukowski que sabiendo que la circulación de [math]\overrightarrow {u} [/math] es nula y que es proporcional a la fuerza que se ejerce sobre el cuerpo. Por lo tanto, vamos a demostrar que la circulación de [math] \overrightarrow {u} [/math] es nula.
Para ello utilizamos el Teorema de Stokes el cual nos dice que:
\[\int \vec{u}\vec{t}ds=\int_{S}(\nabla\times \vec{u})\vec{\partial S}\]
\[\nabla\times \vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{g_\rho} & \vec{g_\theta} & \vec{g_z}\\ \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ 2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho}) & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}(-2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z}+2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z})=0\]
Pero como, al fin y al cabo, el objeto si que se mueve si un fluido lo rodea, tendríamos que considerar la fuerza de la viscosidad, es decir, en un fluido perfecto e incompresible como el que tenemos la fuerza de rozamiento debido a la viscosidad es nula. Por ello si tomamos el fluido como un fluido mas sofisticado ([math]\mu\gt0[/math]), esa fuerza sera diferente de 0.
Las ecuaciones de Navier-Stokes reciben su nombre de Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido.
\(\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} \)
8.1 Comprobación de la ecuación
A continuación, probamos que nuestro campo de presiones y velocidades satisfacen la ecuación y la condición de incompresibilidad (el agua ocupa siempre el mismo volumen). Para ello usaremos la ecuación de Bernouilli ([math]\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p=cte[/math]), haremos su gradiente y demostraremos que en efecto se cumple la ecuación:
[math]d(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p =\mu \nabla\vec{u}[/math], para [math]\mu=0[/math]
Además se demuestra que la función gradiente es lineal, lo que significa que [math]\nabla(\vec{u}+p)=\nabla\vec{u}+\nabla p[/math]
y que [math]\frac{1}{2}\nabla(d \cdot |\vec{u}|^2)=\frac{1}{2}(\nabla d \cdot |\vec{u}|^2 + d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2))=\frac{1}{2}d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2)=\frac{1}{2} d 2 \vec{u}\cdot\nabla\vec{u}=d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}[/math]
.
Ahora [math]\nabla(|\vec{u}|^2)=2\nabla\vec{u}\cdot\vec{u}=2(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}[/math]
.
[math]\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)[/math], el término [math]\frac{1}{2}[/math] sale fuera de la ecuación por tratarse de una constante, además [math]\nabla(cte)=0[/math].
sabiendo todo esto, [math]\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)[/math];
[math]\frac{1}{2}d(\nabla(|\vec{u}|^2)+\nabla p=0[/math].
[math]d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}+\nabla p=0[/math]
por lo que quedaria totalmente demostrado.
