Campos escalares y vectoriales en fluidos. (Grupo C5)
1 Campos en un fluido con Obstáculo Circular
Partimos de una superficie a una cota determinada (tomamos z=0 para evitar tenerla en cuenta) que expresaremos en coordenadas cilíndricas. O sea, el disco de radio 5 centrado en el Origen de coordenadas. Tenemos como Obstáculo un círculo de radio 1 centrado en el Origen al rededor del cual observaremos el comportamiento del fluido.
2 Velocidad de las partículas
Conocemos una función φ de la cual sabemos que su gradiente representa la velocidad de cada punto del fluido.
[math] φ(ρ,θ,z)=(ρ+1/ρ)cosθ [/math]
[math] u⃗ =∇φ=((1-1/ρ^2)cosθ,-(ρ+1/ρ)sinθ,0)[/math]
Podemos observar que el rotacional de [math]u⃗[/math] es nulo:
- [math] \nabla\times \vec u⃗ =\left| \begin{matrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ & & \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ & & \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{matrix}\right| [/math]
:[math]∇φ=(∂u^3/∂ρ -∂u^2/∂θ)i^-(∂u^3/∂ρ -∂u^1/∂z)j^+(∂u^2/∂ρ -∂u^1/∂θ)k^[/math]
que se anula en las coordenadas [math]i[/math] y [math]j[/math] porque no existe ∂/∂z y la componente [math]k[/math] porque [math]∂u^2/∂ρ =∂u^1/∂θ[/math]:
[math] [-(1-1/ρ)sinθ] -[-(1-1/ρ)sinθ] [/math]
también vemos que la divergencia se anula:
[math]∇·u⃗ =∂u^1/∂ρ+∂u^2/∂θ[/math]
solo que realmente no se anula....
2.1 Dibujar [math]φ(ρ,θ,z)[/math] y [math]u⃗ =∇φ[/math]
Sabemos que el gradiente (u⃗ ) es ortogonal a las curvas de nivel ya que por definición matemática indica la dirección de máximo crecimiento del campo. Podemos ver que en la representación también ocurre.
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