Series de Fourier (Grupo DMR)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Series de Fourier (Grupo DMR).
Asignatura	EDP
Curso	2024-25
Autores	Daniel Rodríguez Calderón, Marcos Cabellos Hernández, Rafael Pascual Ortega.
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

En un espacio de Hilbert [math]L^2(a,b)[/math], una serie de Fourier converge en norma [math]L^2[/math] a una función de variable real de variable real, [math]f[/math], que se puede representar mediante la base trigonométrica de Fourier como

[math] f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos \left( nx \right) + b_n\sin \left( nx \right) \right] [/math].

Pero esta no es la única forma de representar funciones por serie de Fourier. Si consideramos el seno y coseno complejos, obtenemos la base compleja de Fourier, que es un conjunto de funciones exponenciales de la forma [math]{e^{inx}} [/math], que usaremos para representar funciones de vairable real y valores complejos. Veremos más adelante cómo se usa, cómo se extiende y la visualizaremos.

2 Base trigonométrica compleja

Para estudiar la base compleja, partimos de la base trigonométrica. Por la fórmula de Euler podemos reescribir coseno y seno de la siguiente forma

[math] \cos\theta = \frac{1}{2} (e^{i\theta} + e^{-i\theta}) [/math] [math]\quad[/math] y [math]\quad[/math] [math] \sin\theta = \frac{1}{2i} (e^{i\theta} - e^{-i\theta}) [/math].

La base trigonométrica de Fourier puede representarse formalmente en [math] [-\pi,\pi] [/math]

[math] f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos \left( nx \right) + b_n\sin \left( nx \right) \right] = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[\frac{a_n}{2}(e^{inx}+e^{-inx}) + \frac{b_n}{2i}(e^{inx}-e^{-inx}) \right] = c_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[c_n e^{inx} +c_{-n} e^{-inx} \right]=[/math][math] \sum_{n=0}^\infty c_n e^{inx} + \sum_{n=-\infty}^{-1} c_n e^{inx} =\sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{inx}, [/math]

donde [math] c_0:=\frac{a_0}{2}[/math], [math] c_n:=\frac{a_n-ib_n}{2} [/math] y [math] c_{-n}:=\frac{a_n+ib_n}{2} [/math]. En la penúltima igualdad se considera de forma formal que se puede separar la serie.

De esta forma, hemos obtenido la base compleja

[math] \{e_n := e^{ inx }\}_{n \in \mathbb{Z}} [/math].

Usando el producto escalar comprobemos que es base ortogonal [math] (e_n,e_m)_{L^2} = \int_{-\pi}^{\pi} e_n \overline{e_m} \,dx = \int_{-\pi}^{\pi} e^{inx} e^{-imx} \,dx = \int_{-\pi}^{\pi} e^{(n-m)ix} \,dx = \frac{-i}{n-m} e^{(n-m)ix} \Big|_{-\pi}^{\pi} = 0 \quad \text{si } n \neq m, \\ [/math] [math](e_n,e_n)_{L^2} = \int_{-\pi}^{\pi} e^{(n-n)ix} \,dx = 2\pi. [/math]

Donde hemos usado el producto escalar en [math]L^2(-\pi,\pi)[/math] dado por [math] (f,g)_{L^2} = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \hspace{0.2cm} \overline{g(x)} \,dx [/math].

3 Extensión periódica

Utilicemos esta base para aproximar la función con valores complejos

[math] f(x) = 4x(\frac{1}{2} − x)^2 + ix, \quad x \in [0,1]. [/math]

Tomemos la extensión periódica de [math] f [/math], adaptando la base trigonométrica compleja

[math] \{E_n := e^{2\pi n ix }\}_{n \in \mathbb{Z}} : (E_n,E_m)_{L^2} = \int_0^1 E_n\overline{E_m} \,dx = \int_0^1 e^{2 \pi (n-m)i} \,dx = \begin{cases} \int_0^1 1 dx = 1 \text{ , si } n = m, \\ 0 \text{ , si } n \neq m. \end{cases} [/math]

Aplicando periodicidad de [math] E_n [/math] en [math] [0,1] [/math], tenemos una base ortonormal en [math] L_2(0,1) [/math]. Representamos estas funciones en FIGURA REPRESENTACIONES. Utilizando esta base,

[math] f(x) \sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_nE_n = \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_ne^{2 \pi n i} \quad , \quad C_n = (f,E_n)_{L^2} = \int_0^1 f(x) \overline{E_n} \in \mathbb{C}. [/math]

Estimando estos coeficientes [math] C_n [/math] numéricamente por fórmula del trapecio, podemos aproximar la función para un número dado de [math] E_n [/math]. La aproximación se aprecia en FOTOFINISH, analizando los errores de la aproximación en norma [math]L_2[/math] y uniforme FOTOERRORES.

Vemos que la aproximación mejora el error en norma [math]L_2[/math], que esperábamos por ser continua. Además, como [math] f(0) \neq \frac{f(0)+f(1)}{2} \neq f(1)[/math], la aproximación convergerá puntualmente a [math] \frac{f(0) + f(1)}{2} [/math] en los extremos y por ende no hay convergencia uniforme.

Esta base también permite aproximar funciones reales de valores reales. Por ejemplo, tomemos