Ecuacion de vigas
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Ecuación de vigas. Grupo 13-B |
| Asignatura | Ecuaciones Diferenciales |
| Curso | Curso 2013-14 |
| Autores | Mónica Gómez, Noemí Ortiz, Alicia Chacón, Miguel Sánchez, Cristina Jiménez |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
1 Flexión de una viga con sección constante sometida a momentos flectores
El trabajo a realizar consiste en el estudio de la deflexión de una viga apoyada en ambos extremos, de sección trasversal S, sometida al momento de unas fuerzas (Fi) aplicadas sobre esta. Entendemos como momento flector al producto de la fuerza por la distancia que hay entre la fuerza y el punto a estudiar.
Suponemos que el eje de la viga va en la dirección del eje X, ocupando un intervalo [0,L] de forma que estudiaremos la deflexión de ésta en su eje perpendicular, eje Y.
Para estudiar dicha situación, la representamos por un problema de contorno que solucionamos mediante el método de diferencias finitas expuesto a continuación.
\[\left\{\begin{matrix}\ y=\frac{M(x)}{E I(x)}\ , & \\ y(0)=0 \ , \\ y(L)=0\ & \end{matrix}\right.\]
Cabe destacar que las condiciones de frontera son nulas debido a que la viga, como nos requiere el enunciado, está apoyada en sus extremos.
Como datos tenemos:
- El módulo de elasticidad (módulo de Young) que depende de las propiedades elásticas del material, y que en nuestro caso permanece constante
- Conocemos como I(x) el momento de inercia de la sección transversal S respecto al centro (cuadrado de lado a=0.5 metros).
- Finalmente disponemos del momento flector definido antes, M(x).
- Longitud de la viga (L=10 metros):
[math] L=10 \ ; \ E= 5*10^4 \ ; \ M(x)= L/2- | x- L/2 | \ ; \ I(x)= \frac {a*b^3}{12} [/math]
El código Matlab empleado para su estudio es :
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0
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% datos generales
L=10; % longitud viga
E=5E4; % módulo de Young
a=0.5; % altura sección rectangular
b=1-a; % anchura sección rectangular
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia
% partición espacial
x0=0;xN=L;
N=50;dx=(xN-x0)/N;
x=x0:dx:xN;
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);
% f(x)
y0=0;yL=0;
M=L/2-abs(xi-L/2);
f=(M/(E*I))'; % vector columna
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);
% matriz K
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*KK;
%solución
y=K\f;
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno
fle_max=-max(abs(y))
% el valor de x en el que se da la flecha máxima hay que calcularlo
% es en L/2, claro
% dibujamos
figure(314)
plot(x,y)
Como se puede ver en la siguiente gráfica, el punto de mayor deflexión es en el centro de vano (x=5 m) y de valor absoluto 0.16013 en sentido negativo del eje, tal como hemos obtenido gracias al programa.
A continuación hemos ido variando los datos iniciales de la sección trasversal de la viga de forma que el canto (a) toma valores del intervalo [0.1,0.9]. A su vez, el ancho de la viga también cambia de forma que b=1-a. Con estos cambios, realizamos un estudio de diferentes secciones de la viga, tomando como condición que el volumen se mantenga constante, con la finalidad de determinar en cuál de ellos se sufre la menor deflexión y, a su vez, la flecha máxima de la mayor deflexión
Con estos cambios, realizamos un estudio de diferentes diseños de sección de la viga para determinar en cual de ellos se sufre la menor deflexión, y a su vez la flecha máxima de la mayor deflexión.
Numéricamente, el código que exponemos a continuación nos resuelve este apartado:
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0
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% partición espacial
L=10; % longitud viga
x0=0;xN=L;
N=50;dx=(xN-x0)/N;
x=x0:dx:xN;
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);
% matriz K
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*KK;
% datos generales
E=5E4; % módulo de Young
y0=0;yL=0;
M=L/2-abs(xi-L/2);
n=0;fle_max=zeros(1,9);
for a=0.1:0.1:0.9 % altura sección rectangular
n=n+1;
b=1-a; % anchura sección rectangular
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia
% f(x)
f=(M/(E*I))'; % vector columna
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);
%solución
y=K\f;
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno
fle_max(n)=-max(abs(y));
% el valor de x en el que se da la flecha máxima hay que calcularlo
% es en L/2, claro
% dibujamos
figure(314)
hold on
plot(x,y)
end
fle_max(n)=-max(abs(y))
hold off
figure(628)
plot(0.1:0.1:0.9,fle_max,'-or')
Hemos deducido que la menor deflexión se produce con a=0.7 y b=0.3 con una flecha de 0.00973. Por el contrario, la flecha máxima se obtiene con a=0.1 y b=0.9 con un valor de flecha de 1.112. Físicamente este fenómeno se explica debido a que a mayor canto de la viga menor deformación. Así, obligamos a que el canto de la sección trasversal de la viga sea lo más grande posible dentro del intervalo.
2 Flexión de una viga con sección cuadrada de lado variable sometida a momentos flectores
El problema que a continuación se expone es equivalente al anterior, con la modificación de que el lado de la sección pasa a ser variable y dependiente de x de forma que:
- [math] a(x)=c*(x-L/2)^2 +d [/math]
siendo c y d parámetros que eligiendo adecuadamente nos permitirán obtener el diseño con menor deflexión.
Para obtener la relación entre estos valores hemos realizado la integración del volumen total:
- [math] L*a^2=\int_{0}^{L} [c(x-L/2)^2+d]^2 dx[/math]
siendo esta:
- [math] d=\frac{c*L^2}{12} #pm \sqrt{a^2-\frac{c^2*L^4}{180} [/math]
El código que resuelve el problema es el que seguidamente aparece:
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0
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% partición espacial
L=10; % longitud viga
x0=0;xN=L;
N=50;dx=(xN-x0)/N;
x=x0:dx:xN;
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);
% matriz K
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*KK;
% datos generales
E=5E4; % módulo de Young
y0=0;yL=0;
M=L/2-abs(xi-L/2);
n=0;
c0=-.025;cf=-0.005;
dc=0.0005;
for c=c0:dc:cf
n=n+1;
d=-(c*L^2/12)+sqrt((.5)^2-c^2*L^4/180)
a=c*(xi-L/2).^2+d;
I=(1/12).*a.^4; % momento de inercia
% f(x)
f=(M./(E*I))'; % vector columna
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);
%solución
y=K\f;
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno
fle_max(n)=-max(abs(y));
% dibujamos
figure(100)
hold on
plot(x,y)
hold on
end
hold off
figure(200)
plot(c0:dc:cf ,fle_max,'-or')
figure(300) % perfil de la viga óptima
C=-0.0161
D=-(c*L^2/12)+sqrt((.5)^2-c^2*L^4/180)
A=C*(x-L/2).^2+D;
plot(x,A)
Siendo c=-0.0161 y d=0.54028 los valores correspondientes a la viga con menor deflexión.
Por el contrario los valores que dan una mayor deflexión son c= y d= . (Falta gráfica de viga con mayor deflexión)
3 Flexión de una viga encastrada con sección constante sometida a una carga
A continuación se presenta la situación de una viga encastrada en ambos extremos de ésta con la misma sección trasversal que en el problema inicial (sección cuadrada de lado a=b=0.5 metros). En este caso abordamos el problema con cuatro condiciones de frontera ya que la ecuación de la viga que se nos proporciona es de orden 4. Respecto al problema inicial encontramos varias diferencias: - La viga en cuestión deja de estar apoyada en ambos extremos y pasa a estar encastrada en ellos. - La función deja de depender del momento flector y dependerá de la carga aplicada sobre ésta (W(x)) Conservando los valores numéricos dados en el apartado 1 y siendo w(x)=… Definimos el problema de contorno:
\[\left\{\begin{matrix}y'=\frac{-W(x)}{E I(x)}\ , & \\ y(0)=0 \ , \\ y(L)=0\ , & \\ y'(0)=0\ , \\ y'(L)=0\ , \end{matrix}\right.\] Conservándose además los valores de los datos del apartado 1, y siendo: [math] \ W(x)= L/2- | x- L/2 | \ [/math]
Buscamos plantear el método de diferencias finitas para aproximar las soluciones del problema anterior. Para obtenerlo usamos las siguientes aproximaciones: (Datos del problema). El código que hemos desarrollado para la evaluación de este ejercicio es el que aquí mostramos:
%%% y''''(x)=-w(x)/(EI)=g(x)=-f(x)
%%% y(0)=y'(0)=y(L)=y'(L)=0
clear all
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% datos generales
L=10; % longitud viga
E=5E4; % módulo de Young
a=0.5; % altura sección rectangular
b=1-a; % anchura sección rectangular
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia
% partición espacial
x0=0;xN=L;
N=10;dx=(xN-x0)/N;
x=x0:dx:xN;
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);
% g(x)
w=L/2-abs(xi-L/2);
g=-(w/(E*I))'; % vector columna
% matriz K
KK=6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2);
KK(1,1)=7;KK(N-1,N-1)=7;
K=(1/dx^4)*KK;
%solución
y=K\g;
y=[0;y;0]; % añadimos los valores del contorno
fle_max=-max(abs(y))
% el valor de x en el que se da la flecha máxima hay que calcularlo
% es en L/2, claro
% dibujamos
figure(314)
W=L/2-abs(x-L/2);
plot(x,W,'r',x,y,'b')
