Ecuación del Calor Grupo CCE

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Ecuación del Calor. Grupo CCE
Asignatura	EDP
Curso	2025-26
Autores	Coloma de Lara Carlos de Miguel Elena Rodríguez
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Medio:PosterecuacioncalorCCE.pdf

1 Ilustrar la solución fundamental de la ecuación del calor en dimensión 1.

Primero vamos a ilustrar la solución fundamental de la ecuación del calor en dimensión [math] 1 [/math] , tomando [math]x\in [-1,1] [/math] y [math]t\in [10^{-2},1] [/math]. Recordamos que la solución fundamental de la ecuación del calor es :

[math]\Phi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi k t}} e^{-\frac{x^2}{4kt}}[/math]

donde [math] k [/math] es la constante de difusión térmica del material. Para ilustrarla vamos a suponer [math] k=1 [/math].

Implementación en MATLAB

Resultado Gráfico

% Parámetros iniciales k = 1; % Asumimos difusividad 1 x = linspace(-1, 1, 1000); % Instantes de tiempo dentro del intervalo [10^-2, 1] tiempos = [0.01, 0.05, 0.1, 0.5, 1]; figure; hold on; grid on; colores = lines(length(tiempos)); % Calcular y dibujar la solución en cada instante de tiempo for i = 1:length(tiempos) t = tiempos(i); % fórmula de la solución fundamental Phi = (1 / sqrt(4 * pi * k * t)) * exp(-(x.^2) / (4 * k * t)); % dibujamos plot(x, Phi, 'LineWidth', 2, 'Color', colores(i,:), ... 'DisplayName', ['t = ', num2str(t)]); end title('Solución fundamental de la ecuación del calor', 'FontSize', 14); xlabel('Posición (x)', 'FontSize', 12); ylabel('\Phi(x,t)', 'FontSize', 12); legend('show', 'FontSize', 11); xlim([-1 1]); hold off;

Solución fundamental.

2 Ilustrar la solución fundamental de la ecuación del calor en dimensión 2.

Vamos a representar ahora la solución fundamental en dimensión [math] 2[/math] para los tiempos [math]t=0.001 [/math], [math] t=0.01[/math] y [math] t= 0.1[/math] y veremos como se acerca a una Delta de Dirac, ya que toda la energía se concentra en un solo punto a medida que el tiempo se acerca a 0. Ahora la solución fundamental es de la forma:

[math]\Phi(x,t) = \frac{1}{4\pi k t} e^{-\frac{x^2 + y^2}{4kt}}[/math]

El código es:

Implementación en MATLAB: Representación dim=2
k = 1; tiempos = [0.1, 0.01, 0.001]; [X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 100), linspace(-1, 1, 100)); figure('Position', [100, 100, 1200, 400]); for i = 1:length(tiempos) t = tiempos(i); Phi_2D = (1 / (4 * pi * k * t)) * exp(-(X.^2 + Y.^2) / (4 * k * t)); subplot(1, 3, i); surf(X, Y, Phi_2D, 'EdgeColor', 'none'); colormap(jet); view(-30, 30); title(['t = ', num2str(t)], 'FontSize', 14); xlabel('x_1', 'FontSize', 12); ylabel('x_2', 'FontSize', 12); zlabel('\Phi', 'FontSize', 12); xlim([-1 1]); ylim([-1 1]); end sgtitle('Solución fundamental en dimensión 2', 'FontSize', 16, 'FontWeight', 'bold');
1. t=0.1	2. t=0.01	3. t=0.001
.	.

3 Autosemejanza

Implementación en MATLAB

Resultado Gráfico

clear; clc; close all; % Parámetro de difusión k = 1; % Valores de tiempo t_values = [0.01, 0.05, 0.1, 0.5, 1]; % Dominio espacial x = linspace(-1, 1, 1000); %% 🔹 Gráfica 1: u(x,t) para distintos tiempos figure; hold on; for t = t_values u = (1./sqrt(4*pi*k*t)) .* exp(-x.^2./(4*k*t)); plot(x, u, 'LineWidth', 2); end title('Solución de la ecuación del calor'); xlabel('x'); ylabel('u(x,t)'); legend('t=0.01','t=0.05','t=0.1','t=0.5','t=1'); grid on; %% 🔹 Gráfica 2: Autosemejanza figure; hold on; for t = t_values u = (1./sqrt(4*pi*k*t)) .* exp(-x.^2./(4*k*t)); xi = x ./ sqrt(t); % variable reescalada u_rescaled = u .* sqrt(t); % reescalado vertical plot(xi, u_rescaled, 'LineWidth', 2); end title('Autosemejanza: colapso de curvas'); xlabel('\xi = x / sqrt(t)'); ylabel('u(x,t) * sqrt(t)'); legend('t=0.01','t=0.05','t=0.1','t=0.5','t=1'); grid on;

Solución fundamental. Solución fundamental.

Implementación en MATLAB

Resultado Gráfico

clear; clc; close all; % Simulación Completa de Autosemejanza en 2D (Visualización 3D en 6 subplots) clear; clc; close all; % --- Parámetros de la simulación --- k = 1; % Difusividad térmica tiempos = [0.1, 0.01, 0.001]; % Instantes de tiempo solicitados [X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 200)); % Malla de visualización base R2 = X.^2 + Y.^2; % Preparar la figura principal (grande para que se vea bien) figure('Color', 'w', 'Position', [50, 50, 1300, 750]); colores = jet(length(tiempos)+1); % Paleta de colores cálidos % --- Bucle para generar las 6 gráficas --- for i = 1:length(tiempos) t = tiempos(i); % 1. Calcular la solución fundamental u(x, y, t) en 2D u = (1 / (4*pi*k*t)) * exp(-R2 / (4*k*t)); % --- GRÁFICAS SUPERIORES: Solución Original u(x, y, t) --- subplot(2, 3, i); surf(X, Y, u, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.9); colormap(jet); shading interp; % Suavizar colores camlight; lighting gouraud; % Iluminación 3D view(3); grid on; % Ajuste de títulos y ejes (Notarás que las escalas cambian) title(['Original $u(x,y)$, $t = ' num2str(t) '$'], 'Interpreter', 'latex', 'FontSize', 12); xlabel('$x$', 'Interpreter', 'latex'); ylabel('$y$', 'Interpreter', 'latex'); zlabel('$u(x,y,t)$', 'Interpreter', 'latex'); % --- GRÁFICAS INFERIORES: Colapso (Autosemejanza 2D) --- subplot(2, 3, i+3); % APLICAR VARIABLES DE ESCALA PARA 2D: % Ejes X,Y: eta = r / sqrt(t) % Eje Z (Altura): u * t (En 1D era u * sqrt(t)) Eta_X = X / sqrt(t); Eta_Y = Y / sqrt(t); U_escalada = u * t; % Graficar la superficie escalada surf(Eta_X, Eta_Y, U_escalada, 'FaceColor', colores(i,:), ... 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.8); shading interp; camlight; lighting gouraud; view(3); grid on; % Configuración de ejes fijos para notar el colapso geométrico % (Aquí todos deben verse iguales) axis([-5 5 -5 5 0 0.1]); title(['Escalada $Phi \cdot t$, $t = ' num2str(t) '$'], 'Interpreter', 'latex', 'FontSize', 12); xlabel('$\eta_x = x/\sqrt{t}$', 'Interpreter', 'latex'); ylabel('$\eta_y = y/\sqrt{t}$', 'Interpreter', 'latex'); zlabel('$Phi(x,y,t) \cdot t$', 'Interpreter', 'latex'); end % Título general del póster sgtitle('Difusión en 2D: De la Delta de Dirac a la Autosemejanza Universal', 'FontSize', 16, 'FontWeight', 'bold');

Solución fundamental.

4 =Mapa de calor

Implementación en MATLAB

Resultado Gráfico

clear; clc; close all; k = 1; t_final = 1; Nx = 300; Nt = 300; x_full = linspace(-1, 1, Nx); t_full = linspace(1e-4, t_final, Nt); después de cero para evitar la división por cero [X, T] = meshgrid(x_full, t_full); Phi_XT = (1 ./ sqrt(4 * pi * k * T)) .* exp(-(X.^2) ./ (4 * k * T)); figure('Position', [100, 100, 800, 700], 'Color', 'k'); % Fondo negro axes('Color', 'k', 'XColor', 'w', 'YColor', 'w'); % Ejes blancos sobre fondo negro hold on; grid off; % Eliminamos la rejilla para un look más limpio % Usamos pcolor y shadin interp para el degradado p = pcolor(X, T, Phi_XT); shading interp; % elegir y ajustar el mapa de colores para el efecto "luz" colormap(hot); % mapa de colores cálido caxis([0 3.5]); title({'MAPA ESPACIO-TEMPORAL: DELTA DE DIRAC PUNTUAL}, ... 'FontSize', 16, 'FontWeight', 'bold', 'Color', 'w', 'Interpreter', 'latex'); xlabel('Posición (x)', 'FontSize', 14, 'Color', 'w'); ylabel('Tiempo (t)', 'FontSize', 14, 'Color', 'w'); xlim([-1 1]); ylim([-0.02 t_final]); view(0, 90); hold off;

Mapa calor solucion fundamental.

4.1 Decaimiento

Implementación en MATLAB

Resultado Gráfico

clear; clc; close all; % Parámetros iniciales k = 1; t = logspace(0, 4, 100); Phi_max_1D = (1 ./ sqrt(4 * pi * k * t)); Phi_max_2D = (1 ./ (4 * pi * k * t)); figure; hold on; grid on; % Dibujamos el decaimiento usando escala logarítmica en ambos ejes loglog(t, Phi_max_1D, 'LineWidth', 2, 'Color', [0 0.4470 0.7410], ... 'DisplayName', 'Decaimiento 1D (\propto t^{-1/2})'); loglog(t, Phi_max_2D, 'LineWidth', 2, 'Color', [0.8500 0.3250 0.0980], ... 'DisplayName', 'Decaimiento 2D (\propto t^{-1})'); loglog(t, 0.2 * t.^(-0.5), '--k', 'LineWidth', 1, ... 'DisplayName', 'Pendiente de referencia: -1/2'); loglog(t, 0.05 * t.^(-1), ':k', 'LineWidth', 1, ... 'DisplayName', 'Pendiente de referencia: -1'); % ---------------------------------- title('Decaimiento térmico en el origen cuando t \rightarrow \infty', 'FontSize', 14); xlabel('Tiempo (t)', 'FontSize', 12); ylabel('Temperatura máxima \Phi(0,t)', 'FontSize', 12); legend('show', 'FontSize', 11, 'Location', 'southwest'); xlim([1 10^4]); hold off;

Implementación en MATLAB

Resultado Gráfico

clear; clc; close all; k = 1; t = logspace(0, 4, 100); Norma_L1 = ones(size(t)); Norma_L2_1D = (8 * pi * k * t).^(-1/4); figure; hold on; grid on; loglog(t, Norma_L1, 'LineWidth', 2, 'Color', [0.4660 0.6740 0.1880], ... 'DisplayName', 'Norma L^1 (Conservación de energía)'); loglog(t, Norma_L2_1D, 'LineWidth', 2, 'Color', [0 0.4470 0.7410], ... 'DisplayName', 'Norma L^2 (Decaimiento \propto t^{-1/4})'); loglog(t, 0.5 * t.^(-0.25), '--k', 'LineWidth', 1, ... 'DisplayName', 'Pendiente de ref: -1/4'); title('Evolución de las normas L^1 y L^2 en 1D (t \rightarrow \infty)', 'FontSize', 14); xlabel('Tiempo (t)', 'FontSize', 12); ylabel('Valor de la norma', 'FontSize', 12); ylim([0.01 2]); % Para dar algo de aire por arriba de la línea L1 legend('show', 'FontSize', 11, 'Location', 'southwest'); hold off;

Implementación en MATLAB

Resultado Gráfico

clear; clc; close all; % Parámetros iniciales k = 1; x = linspace(-2, 2, 100); y = linspace(-2, 2, 100); [X, Y] = meshgrid(x, y); tiempos = [0.05, 0.2, 0.5, 1]; figure('Position', [100, 100, 1200, 350], 'Name', 'Solución Fundamental 2D'); for i = 1:length(tiempos) t = tiempos(i); Phi = (1 / (4 * pi * k * t)) * exp(-(X.^2 + Y.^2) / (4 * k * t)); subplot(1, 4, i); surf(X, Y, Phi, 'EdgeColor', 'none'); colormap turbo; grid on; zlim([0 1.6]); title(['t = ', num2str(t)], 'FontSize', 12); xlabel('Posición (x)', 'FontSize', 10); ylabel('Posición (y)', 'FontSize', 10); zlabel('\Phi(x,y,t)', 'FontSize', 10); view(-30, 30); end