La espiral de Ekman (Grupo 16)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	La espiral de Ekman. Grupo 16.
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Angela María Clarambo Nassarre Alejandra García-Agullo Canle María Cabranes Gonzalez Alvaro Román Aguilera
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

2 Parametros de coriolis f y profundidad de Ekman dE

El parámetro de Coriolis cuantifica la influencia local de la rotación terrestre en el movimiento de fluidos y objetos sobre la Tierra. Se define como:

[math] f= 2 Ω \sin ( \phi ) [/math]

Sustituyendo la velocidad angular Ω y la latitud expresada en radianes [math] \phi = \pi/6 [/math], nos da la siguiente expresión:

[math] f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } [/math]

Para identificar en qué lugares de la Tierra 𝑓 es positivo, negativo o nulo, debemos fijarnos en [math] \phi [/math], es decir, en la latitud.

• 𝑓 será nulo en el Ecuador (latitud 0°). No hay efecto de Coriolis horizontal.

• 𝑓 será positivo en todo el Hemisferio Norte. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la derecha.

• 𝑓 será negativo en todo el Hemisferio Sur. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la izquierda.

La profundidad de Ekman 𝑑𝐸, define la capa de agua directamente influenciada por la fricción del viento en la superficie y desviada por la fuerza de Coriolis.

Para calcularla, es necesario saber |𝑓|, la viscosidad turbulenta y aplicar la siguiente fórmula:

[math] d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} = 37.0317 [/math] metros

3 Determinar el valor de ϑ

θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis. En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ con respecto la dirección del viento.

Como hemos visto antes nuestro valor de f es positivo por lo cual nos encontramos en el hemisferio norte y por ende [math] sgn(f) =1 [/math]

[math]\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) [/math]

[math] \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \gt 0 [/math]

[math] u ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)[/math]

[math]v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )[/math]

[math] \rightarrow z = 0 \rightarrow [/math][math] u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )[/math][math] \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )[/math]

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, [math] ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } [/math]

4 Soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman

Las soluciones propuestas para las componentes horizontales de la velocidad en la capa de Ekman son:

[math] u ( z ) =V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ ) [/math] [math] v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ) [/math]

Para verificar que estas expresiones son solución del sistema, deben satisfacer las ecuaciones diferenciales de Ekman:

[math] \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v [/math] [math] \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u [/math]

Cálculo de primeras derivadas:

[math] \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) ) [/math] [math] \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} +ϑ )) [/math]

Cálculo de segundas derivadas:

[math] \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ) [/math] [math] \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) [/math]

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

[math] \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )[/math]

Sustituiyendo [math] d_{E} [/math] en la ecuación, nos queda:

[math] \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } [/math]

Ahora se sustituye [math] d_{E} [/math] y así se confirma que se verifica [math]f = |f |[/math]

7 Divergencia de V

El campo está definido por: [math]\overrightarrow {V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }[/math]

Donde las componentes para el modelo clásico de Ekman son:

[math] u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)[/math]

[math]v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )[/math]

Un aspecto fundamental del flujo de Ekman es que las componentes de velocidad u y v dependen exclusivamente de la coordenada vertical z, no varían en las direcciones horizontales.

La divergencia horizontal del campo vectorial se define como: [math]\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0[/math]

Esto significa que el flujo de Ekman es incompresible a escala horizontal. No existe convergencia ni divergencia neta de masa de agua en el plano horizontal dentro de la capa de Ekman. Esto implica que el transporte de masa asociado a la espiral se produce sin que se acumule o se vacíe agua en ningún punto, reflejando la continuidad del fluido en el modelo ideal.

8 Rotacional de V

El rotacional en la espiral de Ekman describe el giro del flujo dentro de la capa de Ekman, resultado de la combinación entre la fricción y la fuerza de Coriolis. El rotacional cuantifica la circulación del flujo por unidad de área y es clave para entender cómo el transporte en esta capa afecta procesos de mayor escala, como la formación de vórtices o el desarrollo de corrientes oceánicas.

En la espiral de Ekman, el flujo horizontal tiene componentes en las direcciones [math] x [/math] e [math] y [/math]:

[math]\overrightarrow { U} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }[/math],

El transporte neto de masa en la capa de Ekman, se orienta perpendicularmente al viento en la superficie, debido al equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción.

El rotacional de un campo de velocidad en tres dimensiones es:

[math]\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_x & \vec u_y & \vec u_z \end{vmatrix}} [/math]

En el caso de la espiral de Ekman, donde asumimos un flujo horizontal [math](\vec u_z = 0)[/math] y homogéneo en las direcciones horizontales. Esto significa que:

1. La variación del componente [math] v [/math] con la profundidad genera una rotación en la dirección x.

2. La variación del componente [math] u [/math] con la profundidad genera una rotación en la dirección y.

El rotacional global será tridimensional, pero su componente dominante estará vinculado al gradiente de velocidad en la profundidad.

A continuación, se adjunta un programa de Matlab que representa el rotacional en varios planos paralelos, desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman:

12 Curvatura y Torsión de la esprial de Ekman

La curvatura y la torsión ayudan a describir cómo se comporta la espiral de Ekman. La curvatura indica cuánto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto, mientras que la torsión mide cómo va girando el plano en el que se curva la trayectoria, reflejando así su carácter tridimensional. Las expresiones para la curvatura y la torsión se definen como: :[math] \kappa (z) y \tau (z)[/math]

15 La proyección de la espiral de Ekman sobre el plano horizontal

15.4 Aplicaciones de la espiral logaritmica en ingeniería

La espiral logarítmica (o espiral equiangular) es una de las curvas más estudiadas en matemáticas aplicadas debido a sus propiedades geométricas únicas y su frecuente aparición en sistemas naturales y artificiales.

Aplicaciones en ingeniería:

Diseño aeronáutico y de turbomáquinas:

Álabes de turbinas y compresores: El perfil de los álabes en turbinas eólicas, turbinas de gas y compresores centrífugos a menudo sigue una espiral logarítmica. Esto se debe a que mantiene un ángulo de ataque constante a lo largo del radio, lo que minimiza las pérdidas por choque y mejora la eficiencia aerodinámica o hidrodinámica.

Ductos de difusores y toberas: La forma espiral logarítmica permite una expansión o compresión gradual del flujo, reduciendo la formación de turbulencias y la separación de la capa límite.

Antenas y electromagnetismo:

Antenas espirales logarítmicas: Son ampliamente utilizadas en telecomunicaciones y radioastronomía por su característica de banda ancha. Pueden operar en un amplio rango de frecuencias sin cambios significativos en su impedancia y patrón de radiación.

Diseño de guías de onda y acopladores direccionales: La curva permite una transición suave de la energía electromagnética, minimizando reflexiones.

Ingeniería mecánica y diseño de resortes:

Resortes espirales no cilíndricos: En aplicaciones donde se requiere una relación no lineal entre fuerza y desplazamiento, los resortes con forma de espiral logarítmica ofrecen una respuesta mecánica más controlada.

Mecanismos de seguimiento solar: Algunos diseños de concentradores solares utilizan superficies reflectantes en forma de espiral logarítmica para enfocar la radiación de manera uniforme a lo largo del día.

Ingeniería civil y arquitectura:

Diseño estructural de escaleras y rampas: La espiral logarítmica proporciona una transición ergonómica y estéticamente agradable entre niveles.

Distribución de tensiones en cúpulas y arcos: Algunas estructuras de cubierta se inspiran en esta curva para redistribuir cargas de manera óptima.

Procesamiento de señales e imagen:

Algoritmos de compresión y reconocimiento de patrones: La espiral logarítmica sirve como base para transformadas matemáticas (como la transformada espiral) utilizadas en el análisis de texturas y formas naturales.