Series de Fourier (Grupo DMR)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Series de Fourier (Grupo DMR). |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2024-25 |
| Autores | Daniel Rodríguez Calderón, Marcos Cabellos Hernández, Rafael Pascual Ortega. |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
1 Introducción
Qué es una S.F. Citar Base Trig. Motiv. de usos que tiene IRL Introducir la Base Compleja Ortonormalizar
2 Base trigonométrica compleja
Para estudiar la base compleja, partimos la base trigonométrica y por la fórmula de Euler cada coseno y seno se puede expresar
[math] \cos\theta = \frac{1}{2} (e^{i\theta} + e^{-i\theta}) [/math] [math]\quad[/math] y [math]\quad[/math] [math] \sin\theta = \frac{1}{2i} (e^{i\theta} - e^{-i\theta}) [/math].
La serie trigonométrica de Fourier puede representarse entonces [math]f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos \left( nx \right) + b_n\sin \left( nx \right) \right] = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[\frac{a_n}{2}(e^{inx}+e^{-inx}) + \frac{b_n}{2i}(e^{inx}-e^{-inx}) \right] = [/math]
[math]= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[\frac{a_n-ib_n}{2}e^{inx} +\frac{a_n+ib_n}{2}e^{-inx} \right] = c_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[c_n e^{inx} +c_{-n} e^{-inx} \right]=[/math]
[math]= \sum_{n=0}^\infty\left[c_n e^{inx} \right] + \sum_{n=-\infty}^{-1}\left[c_n e^{inx} \right]
=\sum_{n=-\infty}^\infty\left[c_n e^{inx} \right][/math]
definiendo [math] c_0:=\frac{a_0}{2}[/math], [math] c_n:=\frac{a_n-ib_n}{2} [/math] y [math] c_{-n}:=\frac{a_n+ib_n}{2} [/math].
De esta manera obtenemos la serie de Fourier expresada en una nueva base, la base trigonométrica compleja: [math] \left\{ e^{i n x} \right\}_{n \in \mathbb{Z}} [/math]. Al dejarlo en una única expresión, se simplifican los cálculos matemáticos y facilita su comprensión teórica.
