La espiral de Ekman (grupo 5)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	La espiral de Ekman. Grupo 5
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2024-25
Autores	Paula Gil Rodríguez Álvaro Capilla Sanz Berta Ramos Domínguez Hugo Gutiérrez Iscar
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

En este artículo se analizará la influencia de la espiral de Ekman sobre las corrientes oceánicas. Cuando el viento sopla, se crea una corriente superficial sobre el mar en la dirección del viento, sin embargo, debido a la fuerza de Coriolis, esta dirección no permanece constante. La dirección de la velocidad del flujo se desvía gradualmente formando la espiral de Ekman. En consecuencia, el transporte total del agua seguirá un desplazamiento perpendicular a la dirección del viento en la superficie.

La velocidad del fluido en cada capa de profundidad se describe con [math] \vec{v}= u\vec{i}+v\vec{j} [/math]

Siendo:

[math]u(z)=sgn(f)V_{o}e^{z/d_{E}}cos\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right )[/math]
[math]v(z)=V_{o}e^{z/d_{E}}sin\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right ) [/math]

• [math] V_{0} [/math] es la intensidad de la velocidad superficial inducida por el viento;
  
• [math] d_{E}=\sqrt{\frac{2\times V_{e}}{|f|}} [/math] es la profundidad de Ekman, la distancia vertical en la que la influencia del viento y la fuerza de Coriolis afectan significativamente el movimiento del agua
  
• [math] \vartheta [/math] es una fase inicial determinada por la direcci ́on del viento respecto a la fuerza de Coriolis;
  
• sgn es la función signo:
  

[math] sgn(x)=\left\{\begin{matrix} 1 \:si\: x\gt0\\ 0 \:si\: x=0\\ -1 \:si\: x\lt0 \end{matrix}\right. [/math]

1 Parámetro de Coriolis

El parámetro de Coriolis está definido por la siguiente fórmula: [math] f=2\Omega sen(\phi ) [/math], donde [math] \Omega [/math] es la velocidad angular de la Tierra y [math] \phi [/math] la latitud. Aproximadamente, la velocidad angular de la tierra es [math] \Omega =7.2921\cdot 10^{-5} rad/s [/math].

Para una latitud de 45°N, es decir, de [math] \phi =\frac{\sqrt{2}}{2}rad [/math], se determina sustituyendo en la ecuación anterior que el parámetro de Coriolis es de:

[math] f=2\cdot 7.2921\cdot 10^{-5}\cdot sen\left ( \frac{\sqrt{2}}{2} \right )=1.0312\cdot 10^{-4} \frac{1}{s} [/math]

Dependiendo de la latitud, el valor del parámetro de Coriolis puede ser negativo o positivo. Sustituyendo en la fórmula dada, se demuestra que:

• Para el hemisferio norte [math] (0^{\circ}\lt \phi \lt 90^{\circ}) [/math], el parámetro [math] f\gt0 [/math]
• Para el Ecuador [math] (\phi = 0^{\circ}) [/math], el parámetro [math] f=0 [/math]
• Para el hemisferio sur [math] (-90^{\circ}\lt \phi \lt 0^{\circ}) [/math], el parámetro [math] f\lt0 [/math]

2 Valor de fase inicial θ

En el apartado anterior se ha obtenido que [math] f=1.0312\cdot 10^{-4} \frac{1}{s} [/math]. Para obtener la fase inicial, utilizamos las dos siguientes ecuaciones:

• [math]u(z)=sgn(f)V_{o}e^{z/d_{E}}cos\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right )[/math]
  
• [math]v(z)=V_{o}e^{z/d_{E}}sin\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right ) [/math]
  

Al ser [math] f\gt0 [/math], concluimos que [math] sgn(f)=1 [/math], y por lo tanto [math]u(z)=V_{o}e^{z/d_{E}}cos\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right )[/math].
Para [math] z=0 [/math]:

• [math]u(0)=V_{o}cos\left ( \vartheta \right )[/math]
  
• [math]v(0)=V_{o}sin\left ( \vartheta \right ) [/math]
  

La ángulo inicial del flujo de Ekman está desviado en superficie aproximadamente [math] 45^{\circ} [/math], es decir, [math] \pi /4 [/math] rad.
Resolviendo las ecuaciones anteriores, se obtiene que la fase inicial es [math] \vartheta= \frac{3\pi }{4} [/math]

3 Soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman

Las ecuaciones diferenciales de Ekman vienen definidas de la siguiente manera:

[math]\frac{d^2u}{dz^2}=-\frac{f}{\nu _{e}}v[/math], [math]\frac{d^2v}{dz^2}=\frac{f}{\nu _{e}}u [/math]

Cuyas soluciones se muestran:

[math]u(z)=sgn(f)V_{o}e^{z/d_{E}}cos\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right )[/math],[math]v(z)=V_{o}e^{z/d_{E}}sin\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right )[/math]

Por lo tanto, para verificar la igualdad, tan solo hay que derivar dos veces respecto de z las soluciones propuestas:
[math] \frac{du}{dz}=sgn(f)V_{o}\left ( \left ( \frac{e^{z/d_{E}}}{d_{E}}cos\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right ) \right ) -\left( e^{z/d_{E}}\frac{1}{d_{E}} sin\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right) \right ) \right )=\frac{sgn(f)V_{o}}{d_{E}}e^{z/d_{E}}\left(cos\left( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right)-sin\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta\right) \right)[/math]

[math]\frac{d^{2}u}{dz^2}=\frac{sgn(f)V_{o}}{d_{E}}\left (\frac{e^{z/d_{E}}}{d_{E}}\left ( cos\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right)-sin\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right) \right )+\frac {e^{z/d_{E}}}{d_{E}}\left(-sen\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right)-cos\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta\right)\right) \right)= [/math]
[math]=\frac{sgn(f)V_{o}}{d_{E}^2}e^{z/d_{E}}\left( -2sin\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right)\right)=-\frac{2}{d_{E}^{2}}v=\left\{ d_{E}=\sqrt{\frac{2\nu _{e}}{\left| f\right|}}\right\}=-\frac{f}{\nu _{e}}v [/math]
[math] \frac{dv}{dz}=V_{o}\left ( \left ( \frac{e^{z/d_{E}}}{d_{E}}sin\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right ) \right ) +\left( e^{z/d_{E}}\frac{1}{d_{E}} cos\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right) \right ) \right )=\frac{V_{o}}{d_{E}}e^{z/d_{E}}\left(sin\left( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right)+cos\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta\right) \right) [/math]

[math] \frac{d^{2}v}{dz^2}=\frac{V_{o}}{d_{E}}\left (\frac{e^{z/d_{E}}}{d_{E}}\left ( sin\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right)+cos\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right) \right )+\frac {e^{z/d_{E}}}{d_{E}}\left(cos\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right)-sin\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta\right)\right) \right)= [/math]
[math]=\frac{V_{o}}{d_{E}^2}e^{z/d_{E}}\left( 2cos\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right)\right)=\frac{2}{d_{E}^{2}}u=\left\{ d_{E}=\sqrt{\frac{2\nu _{e}}{\left| f\right|}}\right\}=\frac{f}{\nu _{e}}u [/math]
Se verifican, entonces, las ecuaciones diferenciales de Ekman y sus soluciones.

4 Animación de campo vectorial \( \vec{v}\)

%Parametros
V0=0.2;                     
visc=0.1;                   
phi=pi/4;                   
omega=7.2921e-5;            
f=2*omega*sin(phi);         
dE=sqrt(2*visc/abs(f));     
theta=-pi/4;                

% Profundidad de ekman
zz=linspace(0,-dE,30);  % Desde la superficie (z=0) hasta -d_E

% Creación de la figura para la animación
figure;
hold on;
axis equal;
xlabel('U');
ylabel('V');
title('Campo vectorial de la espiral de Ekman');
for i=1:length(zz)
    z=zz(i);

    u=sign(f)*V0*exp(z/dE)*cos((z/dE)+theta);
    v=V0*exp(z/dE)*sin((z/dE)+theta);
   
    quiver(0,0,u,v);
    pause(0.4);
    
    hold on;
    axis equal;
    xlabel('Este (x)');
    ylabel('Norte (y)');
    title('Campo vectorial de la espiral de Ekman');
    grid on;
end

5 Representación de campo vectorial \( \vec{v}\)

% Parámetros iniciales
f=1.03e-4;          
V0=0.2;             
visc=0.1;           
dE=sqrt(2 * visc / abs(f));  
theta=-pi/4;         

% Rango de profundidades
z_max =5*dE;      
z_vals=linspace(0,-z_max,30); 

% Crear la figura
figure;
hold on;
axis equal;
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');

% Recorrer los valores de z
for i = 1:length(z_vals)
    z = z_vals(i);
   
    u = sign(f) * V0 * exp(z/dE) * cos(z/dE + theta);
    v = V0 * exp(z/dE) * sin(z/dE + theta);

    quiver(0, 0, u, v);
end

6 Cálculo y representación de divergencia de \( \vec{v}\)

La divergencia del campo vectorial \( \vec{v}\) en coordenadas cartesianas se define como [math] \nabla\cdot \vec{v}(x,y,z)=\frac{\partial {u}}{\partial x}+\frac{\partial {v}}{\partial y}+\frac{\partial {w}}{\partial z} [/math]. Calculando, se determina que la divergencia de \( \vec{v}\) es:

[math] \nabla\cdot \vec{v}=\frac{\partial}{\partial x}\left (v_{0}e^{z/d_{E}}cos\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right ) \right)+\frac{\partial}{\partial y}\left ( v_{0}e^{z/d_{E}}sen\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right ) \right)+\frac{\partial}{\partial z}(0)=0 [/math]

7 Cálculo y animación de rotacional de \( \vec{v}\)

El rotacional del campo vectorial \( \vec{v}\) en coordenadas cartesianas se define como [math] \nabla\times \vec{v}(x,y,z)=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_{x} & u_{y} & u_{z} \\ \end{vmatrix} [/math]. Sustituyendo, se halla el rotacional de \( \vec{v}\):

[math] \nabla\times \vec{v}(x,y,z)=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ v_{0}e^{z/d_{E}}cos\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right ) & v_{0}e^{z/d_{E}}sen\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right ) & 0 \\ \end{vmatrix}=[/math]
[math]\left ( -v_{0}e^{z/d_{E}}\frac{1}{d_{E}}\left ( sen\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right )+cos\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right ) \right ) \right )\vec{i} + \left ( v_{0}e^{z/d_{E}}\frac{1}{d_{E}}\left ( cos\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right )-sen\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right ) \right ) \right )\vec{j} [/math]