Diferencia entre revisiones de «Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)»

Revisión del 19:40 4 dic 2025

Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de representación de puntos en el espacio, el cual se basa en la representación cilíndrica y en la forma parabólica para describir la posición de puntos de manera específica. Estas coordenadas resultan muy convenientes para el estudio de campos en los que vemos implicadas geometrías parabólicas.
Su repercusión en la ingeniería es notable y su uso es frecuente, debido a las características que presenta la parábola y sus propiedades tan resaltables. La relación que existe entre las coordenadas cartesianas y las cilíndricas parabólicas es la siguiente (con u>0):

1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 en coordenadas cartesianas

1.1 Lineas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧

Conocidas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) y las coordenadas cartesianas ( \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\)), las parametrizaciones de las líneas coordenadas (en cartesianas) se calculan variando uno de los tres parámetros (u, v, z) y manteniendo los otros dos constantes para cada una de las tres líneas coordenadas.

[math] \gamma_u(t): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = tv \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

[math] \gamma_v(t): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\ x_2 = ut \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

[math] \gamma_z(t): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = uv \\ x_3 = t \end{cases} [/math]

Las líneas coordenadas asociadas a u y a v tienen forma de parábolas, mientras que la asociada a z es una recta vertical.

1.2 Programas MATLAB y representaciones gráficas

Representación lineas coordenadas

clear; 
clc;

% Dibujo de lineas coordenadas gamma_u y gamma_v en plano x_3=0
figure;
hold on; 
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
title('Lineas coordenadas \gamma_u y \gamma_v en el plano x_3=0');

% Curva gamma_u (fijamos v0) 
v0 = 1; 
u = linspace(0.01,5,400);
x1 = (u.^2 - v0^2)/2;
x2 = u .* v0;
plot(x1, x2, 'LineWidth', 2);

% Curva gamma_v (fijamos u0)
u0 = 1;        
v = linspace(0.01,5,400);
x1_v = (u0^2 - v.^2)/2;
x2_v = u0 .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'LineWidth', 2);

legend(['\gamma_u (v = 1)'], ...
       ['\gamma_v (u = 1)'], ...
       'Location','best');

hold off;

Representación lineas coordenadas

clear;
clc;

% Valores de u y v para curvas gamma_v y gamma_u
u_vals = linspace(0.1, 2, 5); 
v_vals = linspace(0.1, 2, 5); 

figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u con v fijo para diferentes valores de v_fixed)
for v_f = v_vals
    u = linspace(0.1, 2, 100);
    x1_u = (u.^2 - v_f^2) / 2;
    x2_u = u .* v_f;
    plot(x1_u, x2_u,'r','LineWidth', 1.5);
end

% Curvas gamma_v (variando v con u fijo para diferentes valores de u_fixed)
for u_f = u_vals
    v = linspace(0.1, 2, 100); % Resolución de v
    x1_v = (u_f^2 - v.^2) / 2;
    x2_v = u_f .* v;
    plot(x1_v, x2_v,'b', 'LineWidth', 1.5);
end

% Representación gráfica
title('Lineas coordenadas \gamma_u (para distintos valores de v) y \gamma_v (para distintos valores de u )');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'Curvas \gamma_u (u)', 'Curvas \gamma_v (v)'});
grid on;
axis equal;
hold off;

2 Campos velocidad, factores de escala y vectores tangentes de las líneas coordenadas [math]\gamma'_u, \gamma'_v, \gamma'_z[/math]

2.1 Campos velocidad

Denotamos con [math]\vec{r}_u, \vec{r}_v, \vec{r}_z[/math] a las parametrizaciones vectoriales asociadas a [math]\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z[/math], respectivamente.

El vector velocidad se obtiene como [math]\vec{r}'_i (t) = \frac{\partial x_1}{\partial i} \vec{i} + \frac{\partial x_2}{\partial i} \vec{j} + \frac{\partial x_3}{\partial i} \vec{k}[/math] .

[math]\gamma_u (t) = \underbrace{( t, v, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{t²-v²}{2}, tv, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_u (t) = u \vec{i} + v \vec{j}[/math]

[math]\gamma_v (t) = \underbrace{( u, t, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-t²}{2}, ut, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_v (t) = -v \vec{i} + u \vec{j}[/math]

[math]\gamma_z (t) = \underbrace{( u, v, t )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-v²}{2}, uv, t)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_z (t) = \vec{k}[/math]

Siendo [math]\vec{r}'_u (t), \vec{r}'_v (t), \vec{r}'_z (t),[/math] definidos anteriormente, los vectores velocidad asociados a las parametrizaciones [math]\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z[/math].

2.2 Factores de escala [math]h_u , h_v , h_z[/math]

Definimos los factores de escala como los módulos de las velocidades calculadas en el apartado anterior.

[math]h_u = |\vec{r}'_u (t)| = \sqrt{u² + v²}[/math] , [math] \qquad h_v = |\vec{r}'_v (t)| = \sqrt{u² + v²}[/math] , [math] \qquad h_z = |\vec{r}'_z (t)| = 1[/math]

2.3 Vectores tangentes

Los vectores tangentes, de forma genérica, quedan definidos como [math]\quad \vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|} \quad[/math] en este caso [math]\quad \vec{e}_i = \frac{\vec{r}'_i}{h_i}.[/math]

[math]\vec{e}_u = \frac{\vec{r}'_u}{|\vec{r}'_u (t)|} = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}[/math]

[math]\vec{e}_v = \frac{\vec{r}'_v}{|\vec{r}'_v (t)|} = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}[/math]

[math]\vec{e}_z = \frac{\vec{r}'_z}{|\vec{r}'_z (t)|} = \vec{k}[/math]

Siendo [math]\vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z[/math] los vectores tangentes a las lineas coordenadas [math]\Gamma_u, \Gamma_v, \Gamma_z ,[/math] respectivamente.

2.4 Ortonormalidad

Para comprobar que se trata de una base ortonormal primero se debe cumplir la ortogonalidad, comprobándose mediante el producto escalar de los vectores de la base, que deben quedar ortogonales dos a dos.

[math]\vec{e}_u · \vec{e}_v = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·\left(-\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\right) + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·\frac{u}{\sqrt{u²+v²}} = 0[/math]

[math]\vec{e}_u · \vec{e}_z = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1= 0[/math]

[math]\vec{e}_v · \vec{e}_z = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1 = 0[/math]

Como se puede comprobar se trata de una base ortogonal.

Depués se comprueba que los vectores son unitarios, que como se han obtenido de la expresión [math]\vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|},[/math] por definición, lo son. Así queda comprobada la ortonormalidad de la base [math]\left\{ \vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z \right\}[/math].

2.5 Orientación

Para comprobar la orientación de la base se hace el producto vectorial de los dos primeros vectores de la base, de esta manera: [math]\vec{e}_u \times \vec{e}_v .[/math] Si el producto resulta el tercer vector de la base [math]\left( \vec{e}_z \right)[/math] entonces se considera la base orientada positivamente, si por el contrario nos da su opuesta [math]\left( -\vec{e}_z \right)[/math] se considera orientada negativamente.

[math]\vec{e}_u \times \vec{e}_v = \left| \begin{matrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0\end{matrix} \right| = \frac{u²}{u² + v²}\vec{k} - \frac{(-v)v}{u² + v²}\vec{k} = \vec{k} = \vec{e}_z[/math]

Como se comprueba, la base esta orientada positivamente.

3 Matrices de cambio de base Q y [math]Q^{-1}[/math]

La matriz de cambio de coordenadas cilíndricas parabólicas a coordenadas cartesianas se construye colocando en columnas las coordenadas en cartesianas de los vectores de la base cilíndrica parabólica de esta manera:

Q = [math]\begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/math]

Al tratarse de una matriz que representa un cambio de coordenadas entre bases ortonormales, la matriz inversa ([math]Q^{-1}[/math]) es igual a la traspuesta ([math]Q^{t}[/math]), resultando la matriz de cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas parabólicas así:

[math]Q^{-1} = Q^{t} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/math]

4 Campo de posición [math]\vec{r}[/math]

Denominamos [math]h[/math] a [math]h_u = h_v = h[/math]

[math]\begin{pmatrix} v_u \\ v_v \\ v_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{u}{h} & \frac{v}{h} & 0 \\ -\frac{v}{h} & \frac{u}{h} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{v}{h} uv \\ -\frac{v}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{u}{h} uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{uh}{2} \\ \frac{vh}{2} \\ z \end{pmatrix}[/math]

[math]\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z[/math]

5 El Gradiente

5.1 Fórmula Genérica

El gradiente en coordenadas cilíndrico-parabólicas se calcula aplicando la siguiente fórmula a la función escalar que queremos estudiar:

[math] \nabla f = \text{grad}(f) = \frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} \vec{e}_u + \frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} \vec{e}_v + \frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} \vec{e}_z [/math] El resultado es un campo vectorial que representa la dirección y magnitud de la máxima tasa de cambio de la función escalar.

Factores de Escala (Coordenadas Cilíndrico-Parabólicas) [math] h_u = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_z = 1 [/math] Ejemplo: Gradiente de una Función Escalar Consideremos la función escalar: [math]f(u,v,z) = \frac{1}{4}(u^2+v^2)^2 + z^2[/math]

5.2 Aplicamos la Fórmula del Gradiente

Componente en [math]\vec{e}_u[/math]: [math] \frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right] [/math] [math] = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2u = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot u(u^2+v^2) [/math] [math] = u\sqrt{u^2+v^2} [/math]

Componente en [math]\vec{e}_v[/math]: [math] \frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right] [/math] [math] = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2v = v\sqrt{u^2+v^2} [/math]

Componente en [math]\vec{e}_z[/math]: [math] \frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} = 1 \cdot \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2z [/math]

5.3 Resultado Final

[math] \nabla f = \text{grad}(f) = u\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_u + v\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_v + 2z \ \vec{e}_z [/math] Interpretación Geométrica El gradiente apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función. Su magnitud indica la tasa de cambio en esa dirección.

[math] |\nabla f| = \sqrt{(u\sqrt{u^2+v^2})^2 + (v\sqrt{u^2+v^2})^2 + (2z)^2} = \sqrt{(u^2+v^2)^2 + 4z^2} [/math] Relación entre Gradiente y Divergencia Observa que si tomamos el gradiente que calculamos: [math] \nabla f = u\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_u + v\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_v + 2z \ \vec{e}_z [/math]

Visualización del Gradiente Archivo:Grafico gradiente.png

syms u v z

% Definir la función escalar
f = (1/4)*(u^2 + v^2)^2 + z^2;

% Factores de escala
h_u = sqrt(u^2 + v^2);
h_v = sqrt(u^2 + v^2);
h_z = 1;

% Calcular el gradiente
grad_f_u = (1/h_u) * diff(f, u);
grad_f_v = (1/h_v) * diff(f, v);
grad_f_z = (1/h_z) * diff(f, z);

disp('Gradiente de f:');
disp(['Componente u: ', char(simplify(grad_f_u))]);
disp(['Componente v: ', char(simplify(grad_f_v))]);
disp(['Componente z: ', char(simplify(grad_f_z))]);

% Gráfica 2D del gradiente en el plano u-v (con z=0)
figure('Position', [100, 100, 800, 600])
hold on
grid on
axis equal

% Crear malla
[u_grid, v_grid] = meshgrid(-2:0.3:2, -2:0.3:2);

% Calcular función y gradiente en z=0
f_grid = (1/4)*(u_grid.^2 + v_grid.^2).^2;
grad_u = u_grid .* sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2);
grad_v = v_grid .* sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2);

% Graficar curvas de nivel (superficies equipotenciales)
contour(u_grid, v_grid, f_grid, 15, 'LineWidth', 1.5);
colormap('parula');

% Graficar campo gradiente
quiver(u_grid, v_grid, grad_u, grad_v, ...
'LineWidth', 1.2, 'Color', 'r', ...
'AutoScaleFactor', 0.8, 'MaxHeadSize', 0.3);

% Configuración
xlabel('Coordenada u', 'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
ylabel('Coordenada v', 'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
title('Campo Gradiente \nabla f y Curvas de Nivel de f', ...
'FontSize', 14, 'FontWeight', 'bold');

legend('Curvas de nivel de f', 'Campo gradiente \nabla f', ...
'Location', 'northwest', 'FontSize', 10);

% Añadir texto explicativo
text(0.5, -1.8, 'El gradiente es perpendicular a las curvas de nivel', ...
'FontSize', 10, 'BackgroundColor', 'yellow', 'EdgeColor', 'black');

hold off

% Gráfica 3D de la función y su gradiente
figure('Position', [100, 100, 800, 600])
subplot(1,2,1)

% Superficie 3D de la función (con z=0)
surf(u_grid, v_grid, f_grid, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.8);
colormap('jet');
colorbar;
hold on

% Gradiente en la superficie
quiver3(u_grid, v_grid, f_grid, grad_u, grad_v, zeros(size(grad_u)), ...
'Color', 'k', 'LineWidth', 1.5, 'AutoScaleFactor', 0.6);

xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('f(u,v,0)');
title('Función f y su gradiente proyectado', 'FontWeight', 'bold');
grid on

subplot(1,2,2)

% Magnitud del gradiente
mag_grad = sqrt(grad_u.^2 + grad_v.^2);
surf(u_grid, v_grid, mag_grad, 'EdgeColor', 'none');
colormap('hot');
colorbar;

xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('

6 Divergencia

6.1 Fórmula genérica

La divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en el campo que queremos estudiar:

[math] div(\vec{F})=\nabla \cdot \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right] [/math] El resultado escalar nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a emanar o converger en un punto.

6.2 Campo vectorial \(\vec{r}\) y factores de escala que vamos a usar

[math]\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z[/math]

[math] h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad h_z = 1. [/math]

6.3 Sustituimos en la fórmula

[math] h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2[/math] [math] \xrightarrow{} [/math]

[math]div(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right][/math]

6.4 Calculamos cada término

• • Primer término:**

[math] h_v h_z F_u = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{u\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{u(u^2+v^2)}{2} [/math] [math] \frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{u(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + u \cdot 2u\right] = \frac{3u^2+v^2}{2} [/math]

• • Segundo término:**

[math] h_u h_z F_v = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{v\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{v(u^2+v^2)}{2} [/math] [math] \frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{v(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + v \cdot 2v\right] = \frac{u^2+3v^2}{2} [/math]

• • Tercer término:**

[math] h_u h_v F_z = (u^2+v^2) \cdot z [/math] [math] \frac{\partial}{\partial z}\left[(u^2+v^2) \cdot z\right] = u^2+v^2 [/math]

6.5 Sumamos los términos

[math] \frac{3u^2+v^2}{2} + \frac{u^2+3v^2}{2} + (u^2+v^2) = \frac{4u^2+4v^2}{2} + (u^2+v^2) [/math] [math] = 2(u^2+v^2) + (u^2+v^2) = 3(u^2+v^2) [/math]

6.6 Aplicamos el factor común

[math] div(\vec{r}) = \frac{1}{u^2+v^2} \cdot 3(u^2+v^2) = 3 [/math]

6.7 Resultado final

Sustituimos el resultado que hemos obtenido y obtenemos la divergencia:

[math] div(\vec{r}) = \nabla \cdot \vec{r} = 3 [/math]

syms u v z

% Componentes del campo
F_u = (u*sqrt(u^2 + v^2))/2;
F_v = (v*sqrt(u^2 + v^2))/2;
F_z = z;

% Factores de escala
h_u = sqrt(u^2 + v^2);
h_v = sqrt(u^2 + v^2);
h_z = 1;

% Divergencia en coordenadas ortogonales
divF = (1/(h_u*h_v*h_z)) * (...
       diff(h_v*h_z*F_u, u) + ...
       diff(h_u*h_z*F_v, v) + ...
       diff(h_u*h_v*F_z, z));

disp('Divergencia de r:');
simplify(divF)

% Gráfica del campo vectorial en 2D (plano u-v)
figure('Position', [100, 100, 800, 600])
hold on
grid on
axis equal

% Crear malla en el plano
[u_grid, v_grid] = meshgrid(-3:0.5:3, -3:0.5:3);

% Calcular componentes del campo
F_u_num = (u_grid.*sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2))/2;
F_v_num = (v_grid.*sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2))/2;

% Graficar campo vectorial
quiver(u_grid, v_grid, F_u_num, F_v_num, ...
       'LineWidth', 1.2, 'Color', 'b', ...
       'AutoScaleFactor', 0.8, 'MaxHeadSize', 0.5);

% Marcar puntos de divergencia
scatter(0, 0, 100, 'r', 'filled', ...
        'MarkerEdgeColor', 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Configuración de la gráfica
xlabel('Coordenada u', 'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
ylabel('Coordenada v', 'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
title('Campo Vectorial \vec{r} en coordenadas cilíndrico-parabólicas', ...
      'FontSize', 14, 'FontWeight', 'bold');

% Añadir leyenda
legend('Campo vectorial \vec{r}', ...
       'Punto con divergencia constante = 3', ...
       'Location', 'northwest', 'FontSize', 10);

% Añadir texto informativo
text(0.5, -2.5, 'Divergencia(\vec{r}) = 3 en todo el espacio', ...
     'FontSize', 11, 'FontWeight', 'bold', ...
     'BackgroundColor', 'yellow', 'EdgeColor', 'black');

hold off

% Gráfica 3D opcional
figure('Position', [950, 100, 800, 600])
[x, y, z] = meshgrid(-2:0.4:2, -2:0.4:2, -1:0.4:1);

% Convertir a coordenadas cartesianas para visualización
% (En coordenadas cilíndrico-parabólicas: x = (u²-v²)/2, y = uv)
u_val = sqrt(sqrt(x.^2 + y.^2) + x);
v_val = sign(y).*sqrt(sqrt(x.^2 + y.^2) - x);

F_x = (u_val.*sqrt(u_val.^2 + v_val.^2))/2;
F_y = (v_val.*sqrt(u_val.^2 + v_val.^2))/2;
F_z_3d = z;

% Graficar campo 3D
quiver3(x, y, z, F_x, F_y, F_z_3d, ...
        'LineWidth', 1, 'Color', 'm', ...
        'AutoScaleFactor', 0.6);

xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Campo \vec{r} en 3D (representación aproximada)', ...
      'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
grid on
axis equal
rotate3d on

disp('Gráficas generadas correctamente.');

7 Rotacional

7.1 Formula genérica

El rotacional en coordenadas cilindico-parabolicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente formula en el campo que queremos estudiar:

[math] rot( \vec{F})=\nabla \times \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right | [/math] El vector resultante nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a producir rotacion.

7.2 Campo vectorial \(\vec{r}\) y facrores de escala que vamos a usar

[math]\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z[/math]

[math] h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad h_z = 1. [/math]

7.3 Sustituimos en la formula

[math] h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2[/math] [math] \xrightarrow{} [/math]

[math]rot(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |[/math]

7.4 Resolvemos el determinante

Componente [math] \vec{e_u} [/math] :

[math] \vec{e_u} =\frac{\partial}{\partial v}(h_z r_z) - \frac{\partial}{\partial z}(h_v r_v) [/math] [math] \xrightarrow{} [/math] [math] \vec{e_u} =0 - 0 [/math] [math] \xrightarrow{} [/math][math] \vec{e_u} =0 [/math]

Componete [math] \vec{e_v} [/math] :

[math] \vec{e_v} =\frac{\partial}{\partial z}(h_u r_u) - \frac{\partial}{\partial u}(h_z r_z) [/math] [math] \xrightarrow{} [/math] [math] (h_u r_u)[/math] y [math](h_z r_z)[/math] NO DEPENDEN DE z [math] \xrightarrow{} [/math][math] \vec{e_v} =0 [/math]

Componete [math] \vec{e_z} [/math] :

[math] \vec{e_z} =\frac{\partial}{\partial u}(h_v r_v) - \frac{\partial}{\partial v}(h_u r_u) [/math] [math] \xrightarrow{} [/math] [math] \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v)=vu \\[6pt] \frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u)=uv \end{array} \right. [/math] [math] \xrightarrow{} [/math] [math] e_z = vu - uv [/math] [math] \xrightarrow{} [/math] [math] e_z =0 [/math]

7.5 Resultado final

Sustituimos los resultados que hemos obtenido de cada componente y obtenemos el vector rotacional:

[math] rot (\vec {r}) = \nabla × \vec{r}= 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v} + 0·\vec{e_z}= \vec {0} [/math]

Campo rotacional

syms u v z

% Componentes del campo

A_u = u*v;

A_v = u^2;

A_z = v*z;

% Factores de escala

h_u = sqrt(u^2 + v^2);
 
h_v = sqrt(u^2 + v^2);

h_z = 1;

% Rotacional en coordenadas ortogonales (sin simplificar)

curl_u = (1/(h_v*h_z)) * (diff(h_z*A_z, v) - diff(h_v*A_v, z));

curl_v = (1/(h_z*h_u)) * (diff(h_u*A_u, z) - diff(h_z*A_z, u));

curl_z = (1/(h_u*h_v)) * (diff(h_v*A_v, u) - diff(h_u*A_u, v));

curlA = [curl_u; curl_v; curl_z];

disp('Rotacional de A:');
disp(curlA);

8 Superficies de nivel

8.1 Diferentes superficies de nivel y su representación

Las superficies de nivel se obtienen al mantener constante una de las coordenadas del sistema de representación. Se busca ver la forma que toma al fijar cada coordenada. Cada coordenada genera una familia de superficies en el espacio que se define como:

Manteniendo u fija (u=cte):

[math] u=u_0 \begin{cases} x=u_0*v\\ y=\frac{1}{2}*(v^2-u_0^2) \end{cases} [/math]
Obtenemos un paraboloide cóncavo, abierto hacia las y positivas.

Manteniendo v fija (v=cte):

[math] v=v_0 \begin{cases} x=u*v_0\\ y=\frac{1}{2}*(v_0^2-u^2) \end{cases} [/math]
Obtenemos un paraboloide convexo, abierto hacia las y negativas.

Manteniendo z fija (z=cte):

[math] z=z_0 [/math]
Obtenemos un plano paralelo al plano XY.

Al fijar dos coordenadas diferentes a la vez, obtenemos superficies parabólicas. Esto es lo que hace que al superponerlas se formen cilindros ,dando nombre al sistema de coordenadas (cilíndricas parabólicas).

8.2 Programa Matlab de las superficies de nivel

superficie de nivel asociada a u

superficie de nivel asociada a v

superficie de nivel asociada a z

%  Coordenadas cilíndricas parabólicas
%   x = (u^2 - v^2)/2
%   y = u*v
%   z = z

%  Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 40);
v = linspace(0, 2, 40);
z = linspace(0, 2, 40);


% SUPERFICIE 1: u= constante

u_const = 1;

% Mallado en (v,z)
[V1, Z1] = meshgrid(v, z);

% Ecuaciones paramétricas
X1 = (u_const^2 - V1.^2) / 2;
Y1 = u_const .* V1;

figure(1);
surf(X1, Y1, Z1, Z1, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);   
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: u= cte');
axis equal;
grid on;
view(15, 25);


% SUPERFICIE 2: v= constante

v_const = 1;

% Mallado en (u,z)
[U2, Z2] = meshgrid(u, z);

% Ecuaciones paramétricas
X2 = (U2.^2 - v_const^2) / 2;
Y2 = U2 .* v_const;

figure(2);
surf(X2, Y2, Z2, Z2, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: v= cte');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);


%  SUPERFICIE 3: z= cte

z_const = 1;

x_vals = linspace(-5, 5, 40);
y_vals = linspace(-5, 5, 40);

% Mallado en (u,v)
[X3, Y3] = meshgrid(x_vals, y_vals);

% Ecuación paramétrica
Z3 = z_const * ones(size(X3));

figure(3);
surf(X3, Y3, Z3, Z3, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: z = constante');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

8.3 Superficies regladas del sistema de representación

Las diferentes líneas coordenadas que generan las superficies de nivel están asociadas a superficies regladas. Estas superficies regladas están constituidas por una línea coordenada y un vector w(t) asociado a la curva.

En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas las curvas asociadas a u y v forman cilindros parabólicos y tienen un eje paralelo al eje Z, por lo que se contruyen mediante infinitas rectas paralelas a dicho eje. Estas generan una superficie idéntica a la superficie de nivel.
En el caso de la curva generada por z es un plano, y por lo tanto son infinitas rectas paralelas al eje X o al eje Y.

9 Curvatura

10 La parábola y su uso en la ingeniería

10.1 La parábola

Auditorio de Tenerife

Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija del mismo plano. A dicho punto se le conoce como foco y a dicha recta como directriz.

La parábola se puede definir también como una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del cono. Las parábolas tienen una propiedad fundamental que es la reflexión. Por la reflexión los rayos paralelos al eje que inciden en una parábola se reflejan pasando por su foco.

10.2 Usos principales en ingeniería

Viaducto de Garabit

Reflectores y antenas

Las antenas parabólicas y los concentradores solares usan la propiedad de reflexión para concentrar ondas electromagnéticas o radiación solar en el foco.

Micrófonos parabólicos

La manera de funcionar de este tipo de micrófonos es reflejar las ondas de sonido hacia un micrófono en el foco del paraboloide amplificando así los sonidos. Esto hace posible captar de una manera muy nítida y precisa sonidos en una dirección específica.

Estructuras y arcos

Un arco parabólico es una forma muy apropiada para ser empleada en estructuras sometidas a compresión porque por su forma, reparten eficientemente las cargas minimizando los esfuerzos cortantes y las flexiones.

Puentes y cables

En puentes colgantes, la curva asumida por los cables puede aproximarse a una parábola cuando el cable soporta una carga uniformemente distribuida. Sin embargo, no es así cuando el cable cuelga solo con la actuación de su propio peso. En ese caso la curva es la catenaria y no la parábola.

10.3 Construcciones donde se ha utilizado la parábola

Antigua oficina postal central de Ultrecht

Planta embotelladora de Bacardí en México

Auditorio de Tenerife: Esta construcción cuenta con un muy característico elemento arquitectónico. Dicho elemento es el arco con forma de parábola que se encuentra por encima de todo el resto de la estructura.

Viaducto de Garabit: La parte fundamental de este puente, en cuanto la estructura se refiere, es el arco parabólico que transmite las cargas a los apoyos que se encuentran en cada una de las dos laderas del valle. Con el uso de este tipo de arco se pretende minimizar los esfuerzos flectores y cortantes presentes en la estructura.

Antigua oficina postal central de Ultrecht: El techo de la sala principal de este edificio tiene una sección transversal constante que es una parábola, formando así el techo una superficie que es un paraboloide.

Planta embotelladora de Bacardí en México: La estructura de esta nave embotelladora esta formada por distintos paraboloides unidos que intersecan entre sí. Las secciones transversales de estos paraboloides son parábolas.

11 Bibliografía