Diferencia entre revisiones de «Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)»

Revisión del 18:36 4 dic 2025

Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de representación de puntos en el espacio, el cual se basa en la representación cilíndrica y en la forma parabólica para describir la posición de puntos de manera específica. Estas coordenadas resultan muy convenientes para el estudio de campos en los que vemos implicadas geometrías parabólicas.
Su repercusión en la ingeniería es notable y su uso es frecuente, debido a las características que presenta la parábola y sus propiedades tan resaltables. La relación que existe entre las coordenadas cartesianas y las cilíndricas parabólicas es la siguiente:

1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 en coordenadas cartesianas

1.1 Lineas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧

Conocidas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) y las coordenadas cartesianas ( \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\)), las parametrizaciones de las líneas coordenadas (en cartesianas) se calculan variando uno de los tres parámetros (u, v, z) y manteniendo los otros dos constantes para cada una de las tres líneas coordenadas.

[math] \gamma_u(t): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = tv \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

[math] \gamma_v(t): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\ x_2 = ut \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

[math] \gamma_z(t): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = uv \\ x_3 = t \end{cases} [/math]

Las líneas coordenadas asociadas a u y a v tienen forma de parábolas, mientras que la asociada a z es una recta vertical.

1.2 Programa MATLAB y representación gráfica

Representación lineas coordenadas

clear; 
clc;

% Dibujo de lineas coordenadas gamma_u y gamma_v en plano x_3=0
figure;
hold on; 
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
title('Lineas coordenadas \gamma_u y \gamma_v en el plano x_3=0');

% Curva gamma_u (fijamos v0) 
v0 = 1; 
u = linspace(0.01,5,400);
x1 = (u.^2 - v0^2)/2;
x2 = u .* v0;
plot(x1, x2, 'LineWidth', 2);

% Curva gamma_v (fijamos u0)
u0 = 1;        
v = linspace(0.01,5,400);
x1_v = (u0^2 - v.^2)/2;
x2_v = u0 .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'LineWidth', 2);

legend(['\gamma_u (v = 1)'], ...
       ['\gamma_v (u = 1)'], ...
       'Location','best');

hold off;

clear;
clc;

% Valores de u y v para curvas gamma_u y gamma_v
u_vals = linspace(0.1, 2, 5); 
v_vals = linspace(0.1, 2, 5); 

figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u con v fijo para diferentes valores de v_fixed)
for v_f = v_vals
    u = linspace(0.1, 2, 100);
    x1_u = (u.^2 - v_f^2) / 2;
    x2_u = u .* v_f;
    plot(x1_u, x2_u,'r','LineWidth', 1.5);
end

% Curvas gamma_v (variando v con u fijo para diferentes valores de u_fixed)
for u_f = u_vals
    v = linspace(0.1, 2, 100); % Resolución de v
    x1_v = (u_f^2 - v.^2) / 2;
    x2_v = u_f .* v;
    plot(x1_v, x2_v,'b', 'LineWidth', 1.5);
end

% Representación gráfica
title('Lineas coordenadas \gamma_u (para distintos valores de v) y \gamma_v (para distintos valores de u )');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'Curvas \gamma_u (u)', 'Curvas \gamma_v (v)'});
grid on;
axis equal;
hold off;

2 Campos velocidad, factores de escala y vectores tangentes de las líneas coordenadas [math]\gamma'_u, \gamma'_v, \gamma'_z[/math]

2.1 Campos velocidad

Denotamos con [math]\vec{r}_u, \vec{r}_v, \vec{r}_z[/math] a las parametrizaciones vectoriales asociadas a [math]\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z[/math], respectivamente.

El vector velocidad se obtiene como [math]\vec{r}'_i (t) = \frac{\partial x_1}{\partial i} \vec{i} + \frac{\partial x_2}{\partial i} \vec{j} + \frac{\partial x_3}{\partial i} \vec{k}[/math] .

[math]\gamma_u (t) = \underbrace{( t, v, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{t²-v²}{2}, tv, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_u (t) = u \vec{i} + v \vec{j}[/math]

[math]\gamma_v (t) = \underbrace{( u, t, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-t²}{2}, ut, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_v (t) = -v \vec{i} + u \vec{j}[/math]

[math]\gamma_z (t) = \underbrace{( u, v, t )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-v²}{2}, uv, t)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_z (t) = \vec{k}[/math]

Siendo [math]\vec{r}'_u (t), \vec{r}'_v (t), \vec{r}'_z (t),[/math] definidos anteriormente, los vectores velocidad asociados a las parametrizaciones [math]\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z[/math].

2.2 Factores de escala [math]h_u , h_v , h_z[/math]

Definimos los factores de escala como los módulos de las velocidades calculadas en el apartado anterior.

[math]h_u = |\vec{r}'_u (t)| = \sqrt{u² + v²}[/math] , [math] \qquad h_v = |\vec{r}'_v (t)| = \sqrt{u² + v²}[/math] , [math] \qquad h_z = |\vec{r}'_z (t)| = 1[/math]

2.3 Vectores tangentes

Los vectores tangentes, de forma genérica, quedan definidos como [math]\quad \vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|} \quad[/math] en este caso [math]\quad \vec{e}_i = \frac{\vec{r}'_i}{h_i}.[/math]

[math]\vec{e}_u = \frac{\vec{r}'_u}{|\vec{r}'_u (t)|} = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}[/math]

[math]\vec{e}_v = \frac{\vec{r}'_v}{|\vec{r}'_v (t)|} = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}[/math]

[math]\vec{e}_z = \frac{\vec{r}'_z}{|\vec{r}'_z (t)|} = \vec{k}[/math]

Siendo [math]\vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z[/math] los vectores tangentes a las lineas coordenadas [math]\Gamma_u, \Gamma_v, \Gamma_z ,[/math] respectivamente.

2.4 Ortonormalidad

Para comprobar que se trata de una base ortonormal primero se debe cumplir la ortogonalidad, comprobándose mediante el producto escalar de los vectores de la base, que deben quedar ortogonales dos a dos.

[math]\vec{e}_u · \vec{e}_v = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·\left(-\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\right) + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·\frac{u}{\sqrt{u²+v²}} = 0[/math]

[math]\vec{e}_u · \vec{e}_z = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1= 0[/math]

[math]\vec{e}_v · \vec{e}_z = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1 = 0[/math]

Como se puede comprobar se trata de una base ortogonal.

Depués se comprueba que los vectores son unitarios, que como se han obtenido de la expresión [math]\vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|},[/math] por definición, lo son. Así queda comprobada la ortonormalidad de la base [math]\left\{ \vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z \right\}[/math].

2.5 Orientación

[math]\vec{e}_u \times \vec{e}_v = \left| \begin{matrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0\end{matrix} \right| = \frac{u²}{u² + v²}\vec{k} - \frac{(-v)v}{u² + v²}\vec{k} = \vec{k} = \vec{e}_z[/math]

3 Matrices de cambio de base Q y [math]Q^{-1}[/math]

[math]\vec{v} = v_1 \vec{i} + v_2 \vec{j} + v_3 \vec{k} = v_u \vec{e}_u + v_v \vec{e}_v + v_z \vec{e}_z[/math]

Q = [math]\begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/math]

Al tratarse de una matriz que representa un cambio de base entre bases ortonormales la matriz inversa ([math]Q^{-1}[/math]) es igual a la traspuesta ([math]Q^{t}[/math])

[math]Q^{-1} = Q^{t} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/math]

4 Campo de posición [math]\vec{r}[/math]

Denominamos [math]h[/math] a [math]h_u = h_v = h[/math]

[math]\begin{pmatrix} v_u \\ v_v \\ v_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{u}{h} & \frac{v}{h} & 0 \\ -\frac{v}{h} & \frac{u}{h} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{v}{h} uv \\ -\frac{v}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{u}{h} uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{uh}{2} \\ \frac{vh}{2} \\ z \end{pmatrix}[/math]

[math]\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z[/math]

5 Gradiente

El gradiente de un campo escalar f(u,v,z) en este sistema es:

∇f = (1/h_u)(∂f/∂u) e_u + (1/h_v)(∂f/∂v) e_v + (1/h_z)(∂f/∂z) e_z

Sustituyendo los factores de escala:

∇f = (1 / sqrt(u^2 + v^2)) (∂f/∂u) e_u + (1 / sqrt(u^2 + v^2)) (∂f/∂v) e_v + (∂f/∂z) e_z

syms u v z

% Definimos la función f(u,v,z)
f = u^2*v + v*z;

% Factores de escala del sistema
h_u = sqrt(u^2 + v^2);
h_v = sqrt(u^2 + v^2);
h_z = 1;

% Derivadas parciales
df_du = diff(f, u);
df_dv = diff(f, v);
df_dz = diff(f, z);

% Componentes del gradiente en coordenadas cilindricas parabolicas
grad_u = (1/h_u) * df_du;
grad_v = (1/h_v) * df_dv;
grad_z = (1/h_z) * df_dz;

% Mostrar resultado
gradiente = [grad_u; grad_v; grad_z]

6 Divergencia

syms u v z

% Componentes del campo vectorial A(u,v,z)
A_u = u*v;
A_v = u^2;
A_z = v*z;

% Factores de escala
h_u = sqrt(u^2 + v^2);
h_v = sqrt(u^2 + v^2);
h_z = 1;

% Determinante del producto de factores de escala
H = h_u * h_v * h_z;  % = (u^2 + v^2)

% Terminos que aparecen en la formula
term_u = diff(A_u * h_v * h_z, u);
term_v = diff(A_v * h_u * h_z, v);
term_z = diff(A_z * h_u * h_v, z);

% Divergencia segun formula general para sistemas ortogonales
divA = (1/H) * (term_u + term_v + term_z);

divA

7 Rotacional

7.1 Formula genérica

El rotacional en coordenadas cilindico-parabolicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente formula en el campo que queremos estudiar:

[math] rot( \vec{F})=\nabla \times \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right | [/math] El vector resultante nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a producir rotacion.

7.2 Campo vectorial \(\vec{r}\) y facrores de escala que vamos a usar

[math]\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z[/math]

[math] h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad h_z = 1. [/math]

7.3 Sustituimos en la formula

[math] h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2[/math] [math] \xrightarrow{} [/math]

[math]rot(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |[/math]

7.4 Resolvemos le determinante

Componente [math] \vec{e_u} [/math] :

[math] \vec{e_u} =\frac{\partial}{\partial v}(h_z r_z) - \frac{\partial}{\partial z}(h_v r_v) [/math] [math] \xrightarrow{} [/math] [math] \vec{e_u} =0 - 0 [/math] [math] \xrightarrow{} [/math][math] \vec{e_u} =0 [/math]

Campo rotacional

syms u v z

% Componentes del campo

A_u = u*v;

A_v = u^2;

A_z = v*z;

% Factores de escala

h_u = sqrt(u^2 + v^2);
 
h_v = sqrt(u^2 + v^2);

h_z = 1;

% Rotacional en coordenadas ortogonales (sin simplificar)

curl_u = (1/(h_v*h_z)) * (diff(h_z*A_z, v) - diff(h_v*A_v, z));

curl_v = (1/(h_z*h_u)) * (diff(h_u*A_u, z) - diff(h_z*A_z, u));

curl_z = (1/(h_u*h_v)) * (diff(h_v*A_v, u) - diff(h_u*A_u, v));

curlA = [curl_u; curl_v; curl_z];

disp('Rotacional de A:');
disp(curlA);

8 Superficies de nivel

8.1 Diferentes superficies de nivel y su representación

Las superficies de nivel se obtienen al mantener constante una de las coordenadas del sistema de representación. Se busca ver la forma que toma al fijar cada coordenada. Cada coordenada genera una familia de superficies en el espacio que se define como:

Manteniendo u fija (u=cte):

[math] u=u_0 \begin{cases} x=u_0*v\\ y=\frac{1}{2}*(v^2-u_0^2) \end{cases} [/math]
Obtenemos un paraboloide cóncavo, abierto hacia las y positivas.

Manteniendo v fija (v=cte):

[math] v=v_0 \begin{cases} x=u*v_0\\ y=\frac{1}{2}*(v_0^2-u^2) \end{cases} [/math]
Obtenemos un paraboloide convexo, abierto hacia las y negativas.

Manteniendo z fija (z=cte):

[math] z=z_0 [/math]
Obtenemos un plano paralelo al plano XY.

Al fijar dos coordenadas diferentes a la vez, obtenemos superficies parabólicas. Esto es lo que hace que al superponerlas se formen cilindros ,dando nombre al sistema de coordenadas (cilíndricas parabólicas).

8.2 Programa Matlab de las superficies de nivel

superficie de nivel asociada a u

superficie de nivel asociada a v

superficie de nivel asociada a z

%  Coordenadas cilíndricas parabólicas
%   x = (u^2 - v^2)/2
%   y = u*v
%   z = z

%  Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 40);
v = linspace(0, 2, 40);
z = linspace(0, 2, 40);


% SUPERFICIE 1: u= constante

u_const = 1;

% Mallado en (v,z)
[V1, Z1] = meshgrid(v, z);

% Ecuaciones paramétricas
X1 = (u_const^2 - V1.^2) / 2;
Y1 = u_const .* V1;

figure(1);
surf(X1, Y1, Z1, Z1, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);   
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: u= cte');
axis equal;
grid on;
view(15, 25);


% SUPERFICIE 2: v= constante

v_const = 1;

% Mallado en (u,z)
[U2, Z2] = meshgrid(u, z);

% Ecuaciones paramétricas
X2 = (U2.^2 - v_const^2) / 2;
Y2 = U2 .* v_const;

figure(2);
surf(X2, Y2, Z2, Z2, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: v= cte');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);


%  SUPERFICIE 3: z= cte

z_const = 1;

x_vals = linspace(-5, 5, 40);
y_vals = linspace(-5, 5, 40);

% Mallado en (u,v)
[X3, Y3] = meshgrid(x_vals, y_vals);

% Ecuación paramétrica
Z3 = z_const * ones(size(X3));

figure(3);
surf(X3, Y3, Z3, Z3, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: z = constante');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

8.3 Superficies regladas del sistema de representación

Las diferentes líneas coordenadas que generan las superficies de nivel están asociadas a superficies regladas. Estas superficies regladas están constituidas por una línea coordenada y un vector w(t) asociado a la curva.

En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas las curvas asociadas a u y v forman cilindros parabólicos y tienen un eje paralelo al eje Z, por lo que se contruyen mediante infinitas rectas paralelas a dicho eje. Estas generan una superficie idéntica a la superficie de nivel.
En el caso de la curva generada por z es un plano, y por lo tanto son infinitas rectas paralelas al eje X o al eje Y.

9 Curvatura

10 La parábola y su uso en la ingeniería

10.1 La parábola

Auditorio de Tenerife

Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija del mismo plano. A dicho punto se le conoce como foco y a dicha recta como directriz.

La parábola se puede definir también como una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del cono. Las parábolas tienen una propiedad fundamental que es la reflexión. Por la reflexión los rayos paralelos al eje que inciden en una parábola se reflejan pasando por su foco.

10.2 Usos principales en ingeniería

Viaducto de Garabit

Reflectores y antenas

Las antenas parabólicas y los concentradores solares usan la propiedad de reflexión para concentrar ondas electromagnéticas o radiación solar en el foco.

Micrófonos parabólicos

La manera de funcionar de este tipo de micrófonos es reflejar las ondas de sonido hacia un micrófono en el foco del paraboloide amplificando así los sonidos. Esto hace posible captar de una manera muy nítida y precisa sonidos en una dirección específica.

Estructuras y arcos

Un arco parabólico es una forma muy apropiada para ser empleada en estructuras sometidas a compresión porque por su forma, reparten eficientemente las cargas minimizando los esfuerzos cortantes y las flexiones.

Puentes y cables

En puentes colgantes, la curva asumida por los cables puede aproximarse a una parábola cuando el cable soporta una carga uniformemente distribuida. Sin embargo, no es así cuando el cable cuelga solo con la actuación de su propio peso. En ese caso la curva es la catenaria y no la parábola.

10.3 Construcciones donde se ha utilizado la parábola

Antigua oficina postal central de Ultrecht

Planta embotelladora de Bacardí en México

Auditorio de Tenerife: Esta construcción cuenta con un muy característico elemento arquitectónico. Dicho elemento es el arco con forma de parábola que se encuentra por encima de todo el resto de la estructura.

Viaducto de Garabit: La parte fundamental de este puente, en cuanto la estructura se refiere, es el arco parabólico que transmite las cargas a los apoyos que se encuentran en cada una de las dos laderas del valle. Con el uso de este tipo de arco se pretende minimizar los esfuerzos flectores y cortantes presentes en la estructura.

Antigua oficina postal central de Ultrecht: El techo de la sala principal de este edificio tiene una sección transversal constante que es una parábola, formando así el techo una superficie que es un paraboloide.

Planta embotelladora de Bacardí en México: La estructura de esta nave embotelladora esta formada por distintos paraboloides unidos que intersecan entre sí. Las secciones transversales de estos paraboloides son parábolas.

11 Bibliografía