Diferencia entre revisiones de «La espiral de Ekman(Grupo35)»

Revisión del 17:35 6 dic 2024

1 Introducción

La redacción de este artículo tiene por objetivo el estudio de la espiral de Ekman, que se trata de es un fenómeno físico que describe cómo la interacción entre el viento, la rotación terrestre (efecto Coriolis) y la fricción, que afecta al movimiento de los fluidos en el océano y la atmósfera. Este efecto, debe su nombre a su desarrollador, el oceanógrafo sueco Vagn Walfrid Ekman (1874-1954), quién explicó cómo una corriente superficial generada por un viento constante no fluye directamente en la dirección del viento, sino que se desvía gradualmente (hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur) produciendo una estructura en forma de espiral en la columna de agua, la espiral de Ekman.

Cada capa de agua en la columna se mueve en una dirección ligeramente distinta, con una velocidad que decrece exponencialmente con la profundidad debido a la fricción interna entre las capas. El resultado neto de este fenómeno es el transporte de Ekman, un desplazamiento total del agua en una dirección perpendicular al viento de superficie (90° a la derecha en el hemisferio norte y 90° a la izquierda en el hemisferio sur). Este proceso es fundamental en la circulación oceánica, ya que contribuye a la redistribución de calor y nutrientes, además de influir en fenómenos como la surgencia costera y la productividad marina.

La espiral de Ekman se describe matemáticamente mediante ecuaciones diferenciales que relacionan la fuerza de Coriolis, la viscosidad turbulenta y la acción del viento superficial. Estas ecuaciones tienen soluciones que muestran una rotación y una disminución exponencial de la velocidad del agua conforme aumenta la profundidad. Este concepto tiene aplicaciones clave en la comprensión de los patrones de circulación oceánica, el clima global y los ecosistemas marinos.

2 Parámetro de Coriolis f y el valor de ϕ en su fórmula

3 Valor de ϑ

θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis. En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ Con respecto la dirección del viento.

[math]\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) [/math] [math] \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } \gt 0 \rightarrow sgn(f) = 1 [/math]

[math] u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)[/math]

[math]v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )[/math]

[math] \rightarrow z = 0 \rightarrow [/math][math] u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )[/math][math] \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )[/math]

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, [math] ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } [/math]

4 Verificación de u(z) y v(z) como soluciones de la ecuaciones diferenciales de Ekman

Nos preguntamos, ¿son u(z) y v(z) soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman?

Partimos de los datos:

[math] u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ ) [/math]  ::::: [math] v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ) [/math]

[math] \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v [/math]

[math] \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u [/math]

Primero calculo las primeras derivadas:

[math] \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) ) [/math]

[math] \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} +ϑ )) [/math]

Para ahora calcular las segundas derivadas,

[math] \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ) [/math]

[math] \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) [/math]

Aparte tenemos que, [math] (1) : d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} \rightarrow \frac { 2 } { d _ { E } ^ { 2 } } = \frac { | f| } { v _ { e } } [/math]

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

[math] \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )[/math], y sustituimos [math] d_{E} [/math] en la ecuación, quedándonos:

[math] \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } [/math] ahora se sustituye d_{E} confirmamos que se verifica [math]f = |f |[/math]

En la otra derivada pasará lo mismo:

[math] \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { 2 } { d_{E}^2 } V_ { 0} e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) =\frac { f } { v _ { e } }u [/math],

verificandose asi que u(z) y v(z)son soluciones validas de las derivadas parciales de Ekman [math] [/math] [math] [/math] [math] [/math]

5 Campo vectorial v en varios planos paralelos a la superficie del mar

% Parámetros dados
% Parámetros constantes
nu_e = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
Omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = deg2rad(45); % Latitud en radianes
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida (m/s)
theta = deg2rad(45); % Fase inicial

% Parámetro de Coriolis
f = 2 * Omega * sin(phi);

% Profundidad de Ekman
d_E = sqrt(2 * nu_e / abs(f));

% Rango de profundidades
z_vals =(0:3:d_E) 

[X, Y] = meshgrid(-1:0.2:1, -1:0.2:1); % Malla para representar vectores
sgn_f = sign(f);

% Iniciar la animación
figure;
hold on;
set(gcf, 'Color', 'w'); % Fondo blanco
axis equal;
xlabel('X (Dirección Este)');
ylabel('Y (Dirección Norte)');
zlabel('Profundidad');
title('Campo Vectorial de Ekman');
grid on;
view(3);

for z = z_vals
    % Cálculo de las velocidades u(z) y v(z)
    u = sgn_f * V0 * exp(z / d_E) * cos(z / d_E + theta);
    v = V0 * exp(z / d_E) * sin(z / d_E + theta);
    
    % Campo vectorial
    quiver3(X, Y, z * ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)), zeros(size(X)), 'b');
    pause(0.5); % Pausa entre planos
end

6 Representación del campo vectorial v evaluado en los puntos de coordenadas cartesianas (0, 0, z)

Representación campo V

% Parámetros
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida (m/s)
nu_e = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
Omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud (grados)
f = 2 * Omega * sind(phi); % Parámetro de Coriolis (1/s)
d_E = sqrt(2 * nu_e / abs(f)); % Profundidad de Ekman (m)
theta = 3*pi/4; % Fase inicial (45° en radianes)

% Rango de profundidades
z = linspace(0, -d_E, 20); % Desde superficie hasta profundidad de Ekman (20 puntos)

% Cálculo de las componentes de velocidad
u = V0 * exp(z / d_E) .* cos(z / d_E + theta);
v = V0 * exp(z / d_E) .* sin(z / d_E + theta);

% Gráfica del campo vectorial
figure;
quiver3(zeros(size(z)), zeros(size(z)), z, u, v, zeros(size(z)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot3(u, v, z, 'b', 'LineWidth', 2); % Línea de la espiral
grid on;
xlabel('u (m/s)');
ylabel('v (m/s)');
zlabel('z (m)');
title('Espiral de Ekman');
xlim([-0.2, 0.2]);
ylim([-0.2, 0.2]);
zlim([min(z), 0]);
view(3); % Vista 3D
legend('Vectores de velocidad', 'Espiral de Ekman');

7 Divergencia de v

El campo está definido por: [math]\overrightarrow { V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }[/math] las componentes son:

[math] v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )[/math]

[math] u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )[/math]

sustituyo u y v en la ecuación:

[math]{\overrightarrow{V}} =V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d_{E} } } \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) {\overrightarrow {i}} + V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d_ {E} }} \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) {\overrightarrow{ j}}[/math].

ahora calculamos las derivadas, que al solo depender de la profundidad, la divergencia nos queda:

[math]\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0[/math]

[math][/math] [math][/math]

Que la divergencia sea nula significa que el flujo horizontal de Ekman es incompresible y continuo.

8 Rotacional de v

9 Flujo neto de v a través de la pared

10 La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas

la parametrizacion de la curva en cartesianas es [math]\gamma ( t ) = ( u ( z ) , v ( z ) , z )[/math]

Primero pasaremos esta parametrizacion en cartesianas a cilindricas, para ello tenemos que:

[math] \rho= \sqrt { u ( z ) ^ { 2 } + v ( z ) ^ { 2 } }[/math];

[math]\theta= a r c t g ( \frac { v ( z ) } { u( z ) } ) \rightarrow \theta = arctan ( tan ( \frac { z } { d z } + ϑ))[/math]

[math]\ z = z[/math]

ahora sustituimos, [math] u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )[/math] y [math]v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )[/math] , de tal manera que

[math] \rho = \sqrt { ( v_{0} e ^ {z / d_{E} }) ^ { 2 } [ c o s ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}t } + ϑ ) + s e n ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ ) ] } = v_{0} e ^ {z / d_{E} } [/math]

[math]\ \theta = a r c t g ( \frac { s e n ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } { \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } ) = \frac { z } { d _{E} } + ϑ[/math]

asi pues la parametrización en cilindricas queda como: [math] \gamma( z ) = ( V _ { 0 } e ^ { z / d {E} } , \frac { z } { d_{E} } + v , z ) , z \leq 0[/math]

Representación espiral ekman

% Parámetros dados
V0 = 0.2;        % Velocidad superficial (m/s)
nu_e = 0.1;      % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
f = 1.031e-4;    % Parámetro de Coriolis (s^-1)
theta = 3*pi/4;  % Fase inicial (radianes), para viento de norte a sur
z_max = -100;    % Profundidad máxima (m)
z_min = -500;    % Profundidad mínima (m)
dz = 5;          % Paso de profundidad (m)

% Calcular la profundidad de Ekman (d_E)
d_E = sqrt(2 * nu_e / abs(f));

% Rango de profundidades z
z = z_min:dz:z_max;

% Ecuaciones de Ekman para u(z) y v(z)
u = V0 * exp(z / d_E) .* cos(z / d_E + theta);
v = V0 * exp(z / d_E) .* sin(z / d_E + theta);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
r = sqrt(u.^2 + v.^2);                   % Distancia radial
theta_cyl = atan2(v, u);                  % Ángulo en el plano xy (dirección de la corriente)

% Graficar la curva en coordenadas cilíndricas (r, theta, z)
figure;
plot3(r .* cos(theta_cyl), r .* sin(theta_cyl), z, 'LineWidth', 2);

% Etiquetas con los ejes cilíndricos
xlabel('e_{\rho} (m)');  % Distancia radial
ylabel('e_{\theta} (m)');   % Dirección angular
zlabel('e_z (m)');          % Profundidad
title('Curva Ekman en coordenadas cilíndricas (r_\rho, \theta, z)');
grid on;

% Invertir el eje Y (para profundidades negativas)
set(gca, 'YDir', 'reverse');

% Establecer vista en 3D
view(3);

[math][/math] [math][/math]

11 Curvatura y la torsión de la espiral de Ekman

12 Triedro de Frenet a lo largo de la espiral

13 Aplicaciones de esta curva en ingeniería