Diferencia entre revisiones de «La espiral de Ekman (grupo 5)»
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| − | *<math> V_{0} </math> es la intensidad de la velocidad superficial inducida por el viento; | + | *<math> V_{0} </math> es la intensidad de la velocidad superficial inducida por el viento; <br/> |
| − | *<math> d_{E}=\sqrt{\frac{2\times V_{e}}{ | + | *<math> d_{E}=\sqrt{\frac{2\times V_{e}}{|f|}} </math> es la profundidad de Ekman, la distancia vertical en la que la influencia del viento y la fuerza de Coriolis afectan significativamente el movimiento del agua <br/> |
| − | *<math> \vartheta </math> es una fase inicial determinada por la direcci ́on del viento respecto a la fuerza de Coriolis; | + | *<math> \vartheta </math> es una fase inicial determinada por la direcci ́on del viento respecto a la fuerza de Coriolis; <br/> |
| − | *sgn es la función signo: | + | *sgn es la función signo: <br/> |
<center> <math> sgn(x)=\left\{\begin{matrix} | <center> <math> sgn(x)=\left\{\begin{matrix} | ||
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Revisión del 19:07 2 dic 2024
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | La espiral de Ekman. Grupo 5 |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2024-25 |
| Autores | Paula Gil Rodríguez Álvaro Capilla Sanz Berta Ramos Domínguez Hugo Gutiérrez Iscar |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
En este artículo se analizará la influencia de la espiral de Ekman sobre las corrientes oceánicas. Cuando el viento sopla, se crea una corriente superficial sobre el mar en la dirección del viento, sin embargo, debido a la fuerza de Coriolis, esta dirección no permanece constante.
La dirección de la velocidad del flujo se desvía gradualmente formando la espiral de Ekman. En consecuencia, el transporte total del agua seguirá un desplazamiento perpendicular a la dirección del viento en la superficie.
La velocidad del fluido en cada capa de profundidad se describe con [math] \vec{v}= u\vec{i}+v\vec{j} [/math]
Siendo:
[math]v(z)=V_{o}e^{z/d_{E}}sin\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right ) [/math]
- [math] V_{0} [/math] es la intensidad de la velocidad superficial inducida por el viento;
- [math] d_{E}=\sqrt{\frac{2\times V_{e}}{|f|}} [/math] es la profundidad de Ekman, la distancia vertical en la que la influencia del viento y la fuerza de Coriolis afectan significativamente el movimiento del agua
- [math] \vartheta [/math] es una fase inicial determinada por la direcci ́on del viento respecto a la fuerza de Coriolis;
- sgn es la función signo:
Contenido
- 1 Parámetro de Coriolis
- 2 Valor de fase inicial θ
- 3 Soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman
- 4 Animación de campo vectorial \( \vec{v}\)
- 5 Representación de campo vectorial \( \vec{v}\)
- 6 Cálculo y representación de divergencia de \( \vec{v}\)
- 7 Cálculo y animación de rotacional de \( \vec{v}\)
- 8 Cálculo del flujo a través de una pared perpendicular
- 9 Parametrización de la espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas
- 10 Cálculo de la curvatura y torsión de la espiral de Ekman
- 11 Calculo y animación del triedro de Frenet
- 12 Espiral logarítmica
1 Parámetro de Coriolis
El parámetro de Coriolis está definido por la siguiente fórmula: [math] f=2\Omega sen(\phi ) [/math], donde [math] \Omega [/math] es la velocidad angular de la Tierra y [math] \phi [/math] la latitud. Aproximadamente, la velocidad angular de la tierra es [math] \Omega =7.2921\cdot 10^{-5} rad/s [/math].
Para una latitud de 45°N, es decir, de [math] \phi =\frac{\sqrt{2}}{2}rad [/math], se determina sustituyendo en la ecuación anterior que el parámetro de Coriolis es de:
Dependiendo de la latitud, el valor del parámetro de Coriolis puede ser negativo o positivo. Sustituyendo en la fórmula dada, se demuestra que:
- Para el hemisferio norte [math] (0^{\circ}\lt \phi \lt 90^{\circ}) [/math], el parámetro [math] f\gt0 [/math]
- Para el Ecuador [math] (\phi = 0^{\circ}) [/math], el parámetro [math] f=0 [/math]
- Para el hemisferio sur [math] (-90^{\circ}\lt \phi \lt 0^{\circ}) [/math], el parámetro [math] f\lt0 [/math]
2 Valor de fase inicial θ
3 Soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman
Las ecuaciones diferenciales de Ekman vienen definidas de la siguiente manera:
Cuyas soluciones se muestran:
Por lo tanto, para verificar la igualdad, tan solo hay que derivar dos veces respecto de z las soluciones propuestas:
[math] \frac{du}{dz}=sgn(f)V_{o}\left ( \left ( \frac{e^{z/d_{E}}}{d_{E}}cos\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right ) \right ) -\left( e^{z/d_{E}}\frac{1}{d_{E}} sin\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right) \right ) \right )=\frac{sgn(f)V_{o}}{d_{E}}e^{z/d_{E}}\left(cos\left( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right)-sin\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta\right) \right)[/math]
[math]\frac{d^{2}u}{dz^2}=\frac{sgn(f)V_{o}}{d_{E}}\left (\frac{e^{z/d_{E}}}{d_{E}}\left ( cos\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right)-sin\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right) \right )+\frac {e^{z/d_{E}}}{d_{E}}\left(-sen\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right)-cos\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta\right)\right) \right)= [/math]
[math]=\frac{sgn(f)V_{o}}{d_{E}^2}e^{z/d_{E}}\left( -2sin\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right)\right)=-\frac{2}{d_{E}^{2}}v=\left\{ d_{E}=\sqrt{\frac{2\nu _{e}}{\left| f\right|}}\right\}=-\frac{f}{\nu _{e}}v [/math]
[math] \frac{dv}{dz}=V_{o}\left ( \left ( \frac{e^{z/d_{E}}}{d_{E}}sin\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right ) \right ) +\left( e^{z/d_{E}}\frac{1}{d_{E}} cos\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right) \right ) \right )=\frac{V_{o}}{d_{E}}e^{z/d_{E}}\left(sin\left( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right)+cos\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta\right) \right) [/math]
[math] \frac{d^{2}v}{dz^2}=\frac{V_{o}}{d_{E}}\left (\frac{e^{z/d_{E}}}{d_{E}}\left ( sin\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right)+cos\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right) \right )+\frac {e^{z/d_{E}}}{d_{E}}\left(cos\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right)-sin\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta\right)\right) \right)= [/math]
[math]=\frac{V_{o}}{d_{E}^2}e^{z/d_{E}}\left( 2cos\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right)\right)=\frac{2}{d_{E}^{2}}u=\left\{ d_{E}=\sqrt{\frac{2\nu _{e}}{\left| f\right|}}\right\}=\frac{f}{\nu _{e}}u [/math]
Se verifican, entonces, las ecuaciones diferenciales de Ekman y sus soluciones.
4 Animación de campo vectorial \( \vec{v}\)
5 Representación de campo vectorial \( \vec{v}\)
6 Cálculo y representación de divergencia de \( \vec{v}\)
La divergencia del campo vectorial \( \vec{v}\) en coordenadas cartesianas se define como [math] \nabla\cdot \vec{v}(x,y,z)=\frac{\partial {u}}{\partial x}+\frac{\partial {v}}{\partial y}+\frac{\partial {w}}{\partial z} [/math]. Calculando, se determina que la divergencia de \( \vec{v}\) es:
7 Cálculo y animación de rotacional de \( \vec{v}\)
El rotacional del campo vectorial \( \vec{v}\) en coordenadas cartesianas se define como [math] \nabla\times \vec{v}(x,y,z)=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_{x} & u_{y} & u_{z} \\ \end{vmatrix} [/math]. Sustituyendo, se halla el rotacional de \( \vec{v}\):
