Diferencia entre revisiones de «Trabajo 4. Año 20/21»

Revisión del 13:06 3 dic 2020

Consideramos una placa plana que ocupa el semianillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2 en el semiplano y≥0. En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas:

• La temperatura T(x,y), que en nuestro caso solo depende de la variable espacial y.
  
• Los desplazamientos [math]\overrightarrow { u } (x,y)[/math]. producidos por la acción de una fuerza determinada.
  

A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan.

1 Visualización de la placa

Comenzamos dibujando el mallado de la placa, definida como un semianillo, el cual representa los puntos interiores del sólido.
Tomaremos h=1/10 como paso de muestreo y observamos que el mallado no completa el semianillo. Esto es debido al muestreo h que hemos tomado, éste será mayor que θ y, por ello, se omite y aparece ese pequeño desfase.

Código MATLAB

Mallado de la placa

2 Distribución de temperaturas del sólido

La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar:
[math]T(x,y)=log(y²+2)[/math]

Código MATLAB

Distribución de la temperatura en la placa

Como podemos observar en la gráfica, la temperatura es máxima en el punto (0,1'9991)

3 Estudio del gradiente de temperaturas

Al tener las curvas de nivel en nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma ∇T Aprovechamos para verificar que nuestras ecuaciones y los diagramas están correctos al utilizar una de las propiedades del gradiente. Como podemos observar el ∇T es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. Recordamos la fórmula general del cálculo de ∇T en coordenadas cartesianas
[math]\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } [/math].
Particularizándolo a nuestra temperatura:

Código MATLAB

Gradiente de la temperatura

4 Campo de desplazamientos

Consideramos un campo de desplazamientos [math]\overrightarrow { u } (\rho ,\theta)= sin(\theta)f(\rho) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }[/math] , teniendo en cuenta que:

• Los puntos situados en [math]\rho=1[/math] no sufren desplazamiento
• |[math]∇ × \overrightarrow { u }|= sin(\theta){\frac { (2\rho-1) }{ 10 }}[/math]
  

Obtenemos [math]f(\rho)[/math] y representamos el campo de desplazamientos:

Código MATLAB

Campo de desplazamiento

Este campo de desplazamientos va a producir una deformación en la placa debida a la vibración que ocasiona la fuerza aplicada. Como se aprecia en la siguiente imagen:

Código MATLAB

Mallado de la placa antes y después de aplicar el sólido

5 Divergencia

Estudio del cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo [math]\overrightarrow { u } (\rho ,\theta)= ({\frac {\rho}{ 15} - \frac {1}{20} - \frac{1}{60\rho²}})sin(\theta) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }[/math] obtenido anteriormente.

La divergencia (∇·[math]\overrightarrow {u})[/math] nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos), los cuales se encuentran en el medio anillo, y en cuales se expande (tonos cálidos).

El cambio de volumen no es muy notable.

5.1 Comparación

Vamos a observar el efecto que ha producido el campo vectorial sobre la placa:

6 Rotacional

Estudio del giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos [math]\overrightarrow { u }[/math]

• [math]∇ × \overrightarrow { u }= sin(\theta){\frac { (2\rho-1) }{ 10 }}[/math]

Como podemos ver en la gráfica el rotacional es mayor en los puntos exteriores, ya que tiende a rotar en los puntos que han sufrido más desplazamiento.

6.1 Comparación

Vamos a observar el efecto que ha producido el campo vectorial sobre la placa:

7 Tensiones normales

En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten definir el tensor de tensiones σij como: [math]σ(x,y)=λ∇·\overrightarrow { u }1 + 2με[/math]

Donde λ y μ son los coeficientes de Lamé, que dependen de cada material. Además, λ = μ = 1. ε es la parte simétrica del vector gradiente [math]\overrightarrow {u}[/math], es decir, [math]\epsilon (\overrightarrow {u})=\frac {∇\overrightarrow {u} +{∇}\overrightarrow {u} ^{ t } }{ 2 } [/math]

8 Tensiones tangenciales

Las tensiones tangenciales al plano ortogonal respecto de [math]\vec g_{\rho}[/math] vienen dadas por [math]|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|[/math].

9 Tensión de Von Mises

La tensión de Von Mises se define como: [math]{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } [/math]. Sabemos que [math]{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }[/math] son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de [math]\sigma[/math] .

10 Masa