Diferencia entre revisiones de «Ecuación de Calor (Grupo 7)c»
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El trabajo nos muestra una figura de una placa en forma de anillo, entre los radios 1 y 3, sobre la que vamos a trabajar en coordenadas polares. Tendremos en cuenta los radios para la resolución del problema, que vienen definidos por la coordenada ρ (según la dirección radial). | El trabajo nos muestra una figura de una placa en forma de anillo, entre los radios 1 y 3, sobre la que vamos a trabajar en coordenadas polares. Tendremos en cuenta los radios para la resolución del problema, que vienen definidos por la coordenada ρ (según la dirección radial). | ||
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Los extremos de la placa están en contacto con ciertos objetos que les proporcionan una temperatura de 3ºC y de 0ºC para el ρ=1 y ρ=3, respectivamente. Esto es lo que nos marcará las condiciones de frontera que tiene nuestra placa. | Los extremos de la placa están en contacto con ciertos objetos que les proporcionan una temperatura de 3ºC y de 0ºC para el ρ=1 y ρ=3, respectivamente. Esto es lo que nos marcará las condiciones de frontera que tiene nuestra placa. | ||
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La temperatura u de la placa sólo va a depender de la coordenada radial y del tiempo, es decir, por u(ρ,0)=e-8(ρ-2)+3–ρ. El enunciado nos indica que hagamos una parametrización con coordenadas polares, y vamos a tomar ρ y θ. Sin embargo, nuestra temperatura únicamente va a tener en cuenta el radio ρ, y no tendremos que tener en cuenta la coordenada que marcará el ángulo de giro θ. | La temperatura u de la placa sólo va a depender de la coordenada radial y del tiempo, es decir, por u(ρ,0)=e-8(ρ-2)+3–ρ. El enunciado nos indica que hagamos una parametrización con coordenadas polares, y vamos a tomar ρ y θ. Sin embargo, nuestra temperatura únicamente va a tener en cuenta el radio ρ, y no tendremos que tener en cuenta la coordenada que marcará el ángulo de giro θ. | ||
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Vamos a usar el método del trapecio, con un paso de discretización del espacio y tomando una discretización del tiempo en t [0,10]: | Vamos a usar el método del trapecio, con un paso de discretización del espacio y tomando una discretización del tiempo en t [0,10]: | ||
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Debido a que tenemos dos condiciones de frontera, en nuestra placa se unen los extremos de la placa quedando de forma lineal y transmitiendo el calor de forma progresiva, siendo más frío en el extremo inferior . | Debido a que tenemos dos condiciones de frontera, en nuestra placa se unen los extremos de la placa quedando de forma lineal y transmitiendo el calor de forma progresiva, siendo más frío en el extremo inferior . | ||
| − | '''Apartado 3''' | + | '''Apartado 3''': |
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Comportamiento de la temperatura en los puntos para los cuales ρ = 2 en una gráfica 2D temperatura/tiempo | Comportamiento de la temperatura en los puntos para los cuales ρ = 2 en una gráfica 2D temperatura/tiempo | ||
| − | Código programa | + | '''Código programa''' |
**codigo | **codigo | ||
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Aquí podemos ver el comportamiento de la temperatura para en un gráfico de 2D. En el gráfico podemos apreciar como la temperatura va enfriándose de una forma radical y se estabiliza a medida que pasa el tiempo hacia un valor 1.45ºC. | Aquí podemos ver el comportamiento de la temperatura para en un gráfico de 2D. En el gráfico podemos apreciar como la temperatura va enfriándose de una forma radical y se estabiliza a medida que pasa el tiempo hacia un valor 1.45ºC. | ||
| − | '''Apartado 4''' | + | '''Apartado 4''': |
| − | Metodo de Euler Explicito | + | |
| + | ''Metodo de Euler Explicito'' | ||
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Se resuelve el sistema de ecuaciones diferenciales aplicando el método de Euler explicito y con las mismas condiciones que se indican en el apartado 2 del método de diferencias finitas y del trapecio | Se resuelve el sistema de ecuaciones diferenciales aplicando el método de Euler explicito y con las mismas condiciones que se indican en el apartado 2 del método de diferencias finitas y del trapecio | ||
| − | Codigo de Matlab: | + | '''Codigo de Matlab:''' |
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La temperatura máxima se alcanza según puede verse en el grafico entre los radios 1 y 3. Cuando pasa el tiempo la temperatura baja por la tendencia que la placa tiene para estabilizarse. De este modo el calor se trasmite desde las zonas de mayor temperatura a las de menos, hasta conseguir una temperatura equilibrada | La temperatura máxima se alcanza según puede verse en el grafico entre los radios 1 y 3. Cuando pasa el tiempo la temperatura baja por la tendencia que la placa tiene para estabilizarse. De este modo el calor se trasmite desde las zonas de mayor temperatura a las de menos, hasta conseguir una temperatura equilibrada | ||
| − | Metodo de Euler implícito | + | |
| + | ''Metodo de Euler implícito'' | ||
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Análogamente en este apartado se especifica la aplicación del método de Euler implícito | Análogamente en este apartado se especifica la aplicación del método de Euler implícito | ||
| − | Código de Matlab: | + | |
| + | '''Código de Matlab:''' | ||
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En esta grafica se cumplen los mismos principios que en el método de Euler implícito y por lo tanto la misma resolución. | En esta grafica se cumplen los mismos principios que en el método de Euler implícito y por lo tanto la misma resolución. | ||
| − | Metodo de Heun | + | |
| + | ''Metodo de Heun'' | ||
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Con este método se obtienen aproximaciones más exactas que con Euler o Runge Kutta, pero debido a nuestra discretización no se aprecia notablemente en nuestro gráfico. | Con este método se obtienen aproximaciones más exactas que con Euler o Runge Kutta, pero debido a nuestra discretización no se aprecia notablemente en nuestro gráfico. | ||
| − | Código de Matlab: | + | |
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Vamos a comprobar que para tiempos grandes la temperatura sufre muy poca variación en el tiempo, por lo que podríamos despreciar Ut , obtendríamos valores estacionarios en cada punto de la placa , fijando un radio determinado. | Vamos a comprobar que para tiempos grandes la temperatura sufre muy poca variación en el tiempo, por lo que podríamos despreciar Ut , obtendríamos valores estacionarios en cada punto de la placa , fijando un radio determinado. | ||
Variacion de la temperatura para tiempos grandes | Variacion de la temperatura para tiempos grandes | ||
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La temperatura se representa a lo largo de la placa para diferentes tiempos t= 0 , 1 , 2 ,10 y observamos que la temperatura muestra tendencia a equilibrarse a un valor estacionario en cada punto, alcanzándose un aumento de temperatura lineal en el anillo en la dirección del radio. | La temperatura se representa a lo largo de la placa para diferentes tiempos t= 0 , 1 , 2 ,10 y observamos que la temperatura muestra tendencia a equilibrarse a un valor estacionario en cada punto, alcanzándose un aumento de temperatura lineal en el anillo en la dirección del radio. | ||
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Podemos apreciar en las cuatro subventanas la comparación para distintos valores de t (t=0,t=1,t=2, y t=10) y el valor estacionario. Se ve como se va estabilizando con t mayores. | Podemos apreciar en las cuatro subventanas la comparación para distintos valores de t (t=0,t=1,t=2, y t=10) y el valor estacionario. Se ve como se va estabilizando con t mayores. | ||
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hold off | hold off | ||
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Como se puede observar no hay prácticamente diferencia entre un paso y el otro | Como se puede observar no hay prácticamente diferencia entre un paso y el otro | ||
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La oscilación de la temperatura a lo largo del disco no es uniforme pues en el extremo ρ=3 la temperatura es mayor en ρ=1. Esto se debe a la condición inicial de ubicar un aislante en el extremo. | La oscilación de la temperatura a lo largo del disco no es uniforme pues en el extremo ρ=3 la temperatura es mayor en ρ=1. Esto se debe a la condición inicial de ubicar un aislante en el extremo. | ||
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Variacion en las condiciones de frontera de la temperatura | Variacion en las condiciones de frontera de la temperatura | ||
Situamos ahora en la frontera interior de la placa ρ=1 una pieza aislante (en lugar de un objeto con temperatura constante 3). El aislante impide la pérdida de calor en ese extremo y por ello el flujo de temperatura en la dirección radial es nulo y no entra ni sale calor en ese extremo de la placa. Así, el valor estacionario de la temperatura de la placa será 0ºC. | Situamos ahora en la frontera interior de la placa ρ=1 una pieza aislante (en lugar de un objeto con temperatura constante 3). El aislante impide la pérdida de calor en ese extremo y por ello el flujo de temperatura en la dirección radial es nulo y no entra ni sale calor en ese extremo de la placa. Así, el valor estacionario de la temperatura de la placa será 0ºC. | ||
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**ecuacion | **ecuacion | ||
| − | Código Matlab: | + | '''Código Matlab:''' |
**codigo | **codigo | ||
Revisión del 18:29 27 abr 2017
Ecuación del calor en una placa en forma de anillo.
Introducción:
El trabajo nos muestra una figura de una placa en forma de anillo, entre los radios 1 y 3, sobre la que vamos a trabajar en coordenadas polares. Tendremos en cuenta los radios para la resolución del problema, que vienen definidos por la coordenada ρ (según la dirección radial).
- dibujo
Figura1. Anillo circular entre radios 1 y 3.
La temperatura inicial de la placa viene definida por la función:
- ecuacion
y la placa está comprendida entre ρ=1 y ρ=3.
Los extremos de la placa están en contacto con ciertos objetos que les proporcionan una temperatura de 3ºC y de 0ºC para el ρ=1 y ρ=3, respectivamente. Esto es lo que nos marcará las condiciones de frontera que tiene nuestra placa.
Apartado 1:
La temperatura u de la placa sólo va a depender de la coordenada radial y del tiempo, es decir, por u(ρ,0)=e-8(ρ-2)+3–ρ. El enunciado nos indica que hagamos una parametrización con coordenadas polares, y vamos a tomar ρ y θ. Sin embargo, nuestra temperatura únicamente va a tener en cuenta el radio ρ, y no tendremos que tener en cuenta la coordenada que marcará el ángulo de giro θ.
Como ya hemos dicho, la temperatura vendrá definida por la coordenada radial ρ y por el tiempo t, siendo: u=u(ρ,t) Y deberá satisfacer la ecuación del calor: ut−∆u = 0
- Ecuacion
Y la ecuación del calor quedará de la siguiente forma:
- ecuacion
Apartado 2:
Vamos a usar el método del trapecio, con un paso de discretización del espacio y tomando una discretización del tiempo en t [0,10]: Código programa:
- codigo
Resultando la siguiente gráfica:
- grafica
Debido a que tenemos dos condiciones de frontera, en nuestra placa se unen los extremos de la placa quedando de forma lineal y transmitiendo el calor de forma progresiva, siendo más frío en el extremo inferior . Apartado 3:
Comportamiento de la temperatura en los puntos para los cuales ρ = 2 en una gráfica 2D temperatura/tiempo Código programa
- codigo
- grafica
Gráfica: Aquí podemos ver el comportamiento de la temperatura para en un gráfico de 2D. En el gráfico podemos apreciar como la temperatura va enfriándose de una forma radical y se estabiliza a medida que pasa el tiempo hacia un valor 1.45ºC.
Apartado 4:
Metodo de Euler Explicito
Se resuelve el sistema de ecuaciones diferenciales aplicando el método de Euler explicito y con las mismas condiciones que se indican en el apartado 2 del método de diferencias finitas y del trapecio
Codigo de Matlab:
- codigo
- grafica
- grafica
La temperatura máxima se alcanza según puede verse en el grafico entre los radios 1 y 3. Cuando pasa el tiempo la temperatura baja por la tendencia que la placa tiene para estabilizarse. De este modo el calor se trasmite desde las zonas de mayor temperatura a las de menos, hasta conseguir una temperatura equilibrada
Metodo de Euler implícito
Análogamente en este apartado se especifica la aplicación del método de Euler implícito
Código de Matlab:
- codigo
Gráfica:
- grafica
En esta grafica se cumplen los mismos principios que en el método de Euler implícito y por lo tanto la misma resolución.
Metodo de Heun
Con este método se obtienen aproximaciones más exactas que con Euler o Runge Kutta, pero debido a nuestra discretización no se aprecia notablemente en nuestro gráfico.
Código de Matlab:
- codigo
Gráfica:
- grafica
Apartado 5:
Vamos a comprobar que para tiempos grandes la temperatura sufre muy poca variación en el tiempo, por lo que podríamos despreciar Ut , obtendríamos valores estacionarios en cada punto de la placa , fijando un radio determinado. Variacion de la temperatura para tiempos grandes El sistema de ecuaciones que cumple U= U (ρ,t) es el siguiente:
- ecucion
La temperatura se representa a lo largo de la placa para diferentes tiempos t= 0 , 1 , 2 ,10 y observamos que la temperatura muestra tendencia a equilibrarse a un valor estacionario en cada punto, alcanzándose un aumento de temperatura lineal en el anillo en la dirección del radio.
Código Matlab:
- codigo
Gráfica:
- grafica
Podemos apreciar en las cuatro subventanas la comparación para distintos valores de t (t=0,t=1,t=2, y t=10) y el valor estacionario. Se ve como se va estabilizando con t mayores.
COMPARACION h=0.1,0.01
- codigo
hold off Grafica: Como se puede observar no hay prácticamente diferencia entre un paso y el otro
- grafica
La oscilación de la temperatura a lo largo del disco no es uniforme pues en el extremo ρ=3 la temperatura es mayor en ρ=1. Esto se debe a la condición inicial de ubicar un aislante en el extremo.
Apartado 6:
Variacion en las condiciones de frontera de la temperatura Situamos ahora en la frontera interior de la placa ρ=1 una pieza aislante (en lugar de un objeto con temperatura constante 3). El aislante impide la pérdida de calor en ese extremo y por ello el flujo de temperatura en la dirección radial es nulo y no entra ni sale calor en ese extremo de la placa. Así, el valor estacionario de la temperatura de la placa será 0ºC. El sistema en este caso es semejante al anterior. La diferencia es que el flujo de calor en la dirección radial sea nulo en la placa ( Neumann).
El sistema de ecuaciones que cumple U= U (ρ,t) es el siguiente:
- ecuacion
Código Matlab:
- codigo
