Diferencia entre revisiones de «Explotación minera (grupo5-A)»

Revisión del 22:44 4 mar 2015

INTRODUCCIÓN

En una determinada región se ha encontrado el yacimiento de un mineral altamente demandado por la población, por ello vamos a tratar de modelizar el comportamiento de la explotación y con los resultados obtenidos analizaremos la veracidad del método empleado. Un trabajo de modelización consiste en, a partir de unos datos obtenidos de la realidad, obtener una caracterización matemática de dichos datos para poder aproximar su posible comportamiento.

DATOS E INFORMACIÓN REAL

Mediante prospecciones geológicas se estima la cantidad total de mineral extraíble en 10875 Toneladas--------Variable K.

Un estudio de mercado dictamina que se espera un crecimiento rápido de la producción hasta los primeros 25 años, momento a partir del cual, ésta empieza a descender. Por las características técnicas de la explotación se estima una producción máxima de 240 Toneladas/año.

Debido a estas características se decide utilizar el modelo de Gompertz que corresponde a la ecuación diferencial siguiente:

                                                           dQ/dt=rQLn(k/Q)

Donde:

Q(t): Cantidad de mineral extraída hasta el tiempo t [Toneladas]

k:Cantidad de mineral extraible [Toneladas]

r:Tasa intrínseca de crecimiento (Factor a determinar)

Para que nuestra ecuación diferencial quede completamente definida calculamos el valor de la constante r,Como tenemos datos reales sobre la producción y no sobre la cantidad de mineral extraído definimos la función producción como la dQ/dt es decir, la cantidad de mineral que se extrae por unidad de tiempo, lo que se corresponde perfectamente con la definición de producción, así:

                                                             P(Q)=rQLn(k/Q)

De esta función es importante decir que no depende de la variable tiempo implicitamente si no atraves de la función Q(t), es decir, la función producción es una composición de la función Q(t), por lo que, como es lógico pensar, depende del tiempo aunque no de manera explícita.

Acudiendo a los datos iniciales sabemos que la producción tiene un máximo en 240 T/año, produciendose este a los 25 años.Reflejamos esto matemáticamente coomo:

dP/dt=0--------------------------- rLn(k)-rQ'Ln(Q)-rQ'=0 con Q'(25)=240 ya que P era la derivada respecto al tiempo de Q(t)

P_max=240---------------rQ(25)Ln(k/Q(25))=240

Lo que nos proporciona un sistema de ecuaciones con dos incógnitas (r, Q(25))

De este sistema cabe resaltar dos cosas:

1. Al producirse el máximo de la función producción a los 25 años y al depender de la función Q(t),ésta deja de ser una función tomando el valor correspondiente a Q(25).

2. Para calcular la dP/dt debemos utilizar la regla de la cadena es decir dP/dt=(dP/dQ)*(dQ/dt)

Para resolver este sistema existen múltiples procedimientos, utilizar una calculadora gráfica o la función fsolve de Matlab que lo resuelve iterativamente y de manera aproximada...

Sin embargo nosotros hemos decidido optar por un programa de Matlab que resuelve ecuaciones mediante cálculo simbólico, obteniendo una solución exacta del sistema. Como observación decir que Matlab no es un programa especializado en cálculo simbólico, si el sistema fuese muy complejo habría que acudir a otro tipo de herramientas, sin embargo en este caso e introduciendo las soluciones en las ecuaciones las verifican sin ningún problema, por lo que decidimos quedarnos con la solución exacta.

Programa Matlab:

syms r q;% Se introducen las variables de manera simbíloca  q=Q(25)
k=10875; 
solve('r*q*ln(10875/q)=240','r*240*ln(10875)-r*240*ln(q)-r*240=0','r','q');
r=ans.r;
r %muestra en pantalla el valor de r
%repito las sentencias por cuestiones de matlab para que me muestre el valor de q
syms r q;
k=10875; 
solve('r*q*ln(10875/q)=240','r*240*ln(10875)-r*240*ln(q)-r*240=0','r','q');
q=ans.q;
q

Lo que nos da unos valores

r=16e/725   que es aproximadamente 0.06

Q(25)=1875/e que es aproximadamente 4000

Conocido el valor de r ya tenemos las expresiones completas tanto de la ecuación diferencial como de la función P(Q)

Vamos a ver la gráfica de la función P(Q) y a analizar resultados

Como era de esperar el máximo lo alcanza en 240T/año para el valor de aproximadamente 4000T que obtuvimos de la resolución del sistema.

Vemos como la función no es simétrica, crece más rápidamente hasta alcanzar el máximo con un decrecimiento posterior más lento, por lo tanto se ajusta bastante bien con las previsiones que esperabamos de la explotación.

Si análogamente a lo que hemos hecho hasta ahora utilizasemos otra ecuación diferencial para modelizar el problema, como podría ser el modelo de Verlhust