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¡Bienvenido a MateWiki! Esperamos que contribuyas mucho y bien. Probablemente quieras leer las páginas de ayuda. Nuevamente, bienvenido y ¡diviértete! Carlos Castro (discusión) 15:40 27 nov 2014 (CET)

1 ENUNCIADO

Consideramos una placa plana (en dimension 2) que ocupa la region comprendida entre las parábolas P1 : 18y-􀀀81x²2-􀀀1 = 0 y P2 : 2y+x²2-􀀀1 = 0. Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan:

• x=uv
• y=(1/2)(u²-v²)

con u y v definidas en (u,v) 2 [1/3,1]x[􀀀-1,1].En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades fisicas: la temperatura T(u,v), que depende de las dos coordenadas curvilineas (u,v), y los desplazamientos u(x,y) producidos por la accion de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos r0(u,v) el vector de posicion de los puntos de la placa antes de la deformacion, la posicion de cada punto (u,v) de la placa despues de la deformacion viene dada por:

• r(u,v) = r0(u,v) + u(u,v)

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos u(u,v) = a (b . r0) donde a y b son vectores dados. En este trabajo supondremos lo siguiente: a=g_u/|g_u| y b=(-4).(g_u/|g_u|)

1.1 Representación gráfica de la placa

En primer lugar, se obtiene el gráfico que representa la placa que consideraremos a lo largo de todo este trabajo, que corresponde a la región comprendida entre dos parábolas dadas
(P1 : 18y-􀀀81x²-􀀀1 = 0 y P2 : 2y+x²􀀀-1 = 0).Este programa realiza el mallado correspondiente a (u,v) en el intervalo [-1,1]x[-1,1], y con un paso de 1/20 (=h).Para ello utilizamos el siguiente programa:

h=(1/20);
u=(1/3):h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
figure(1)
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis([-1,1,-1,1]);
view(2);
subplot(1,2,2);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis([-1,1,-1,1]);

2 Lineas coordenadas y vectores de la base natural

Definimos las líneas coordenadas como superficies que se obtienen al variar una componente y fijar las restantes. En este apartado dibujaremos dichas líneas y los vectores de la base natural, que cambiarán de dirección en cada punto de la placa, y esto sucede ya que la base natural en estas coordenadas no es constante.

(Con el siguiente programa obtenemos dos gráficos, en el primero de ellos se aprecia g_u aplicado en cada punto de la malla, y en el segundo aparece aplicado g_v )

h=(1/20);
u=(1/3):h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
guu=vv; guv=uu; gvu=uu; gvv=-vv;
figure(2)
subplot(1,2,1);
quiver(xx,yy,guu,guv);
axis([-1.6,1.6,-0.8,0.8]);
subplot(1,2,2);
quiver(xx,yy,gvu,gvv);
axis([-1.6,1.6,-0.8,0.8]);

Aplicando ambas componentes de la base natural sobre cada punto de la malla, todo en un mismo gráfico, se obtiene:

figure (3)
hold on
quiver(xx,yy,guu,guv);
quiver(xx,yy,gvu,gvv);
axis([-1.6,1.6,-0.8,0.8]);
hold off

3 Campo de temperaturas

Tomamos el campo de temperaturas dado por la función T(x,y)=(8-y²+2y).e^-(x2)

3.1 Curvas de nivel del campo y maxima temperatura

h=(1/20);
u=(1/3):h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
f=(8-((1/2).*(uu.^2-vv.^2)).^2+(uu.^2-vv.^2)).*exp(-(uu.*vv).^2);
figure(4)
subplot(1,2,1);
hold on
contour(uu,vv,f,20);
view(2);
axis([-1,2,-1,1]);
hold off
subplot(1,2,2);
surf(uu,vv,f);colorbar

3.2 Variación de temperatura

Para obtener dicha variación de temperaturas, se calcula el gradiente de la función que lo define y que en este caso es:

GRADIENTE DE T = -(8-y²-2y)(2x)e^-(x)2+(-2y-2).e^-(x)2,

,o lo que es lo mismo por definicion → (derivada parcial de T(x,y) sobre x)+(derivada parcial de T(x,y) sobre y).

h=(1/20);
u=(1/3):h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
f=(8-(yy.^2)-(2.*yy)).*(exp(-(xx.^2)));
grad=-(8-(yy.^2)-(2.*yy)).*((2.*xx).*exp(-(xx.^2)))+((-2.*yy-2).*exp(-(xx.^2)));
figure(30)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,grad);
contour(xx,yy,f,20);
view(2)
axis([-1.2,1.2,-0.8,0.8]);
hold off

INTERPRETACIÓN:Se puede observar, por la propia definición del gradiente, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, el módulo del gradiente en cada punto va siendo mayor.

4 Campo de desplazamientos

4.1 Representación campo de vectores

h=(1/20);
u=(1/3):h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
fx=(-2.*(uu.*vv)./((uu.^2)-(vv.^2)));
fy=(2.*(uu.^2)./((uu.^2-vv.^2)));
figure(50)
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-1.6,1.6,-0.8,0.8]);

4.2 Sólido antes y después del desplazamiento

4.3 Variación de volumen producida por desplazamiento

4.4 Tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto