Diferencia entre revisiones de «Lógistica con umbral (Grupo 18)»

Revisión del 09:57 4 mar 2015

1 Introducción

En este trabajo se estudiarán dos modelos matemáticos, el primero de ellos sobre dinamica de poblaciones y en el segundo se estudiará un modelo de competencia.

2 Problema de valor inicial

2.1 Resolución numérica

Para la resolución numérica de este problema vamos a implementar con Matlab los métodos de Euler, Heun y Runge-Kutta de grado cuatro, ambos tres con diferente tamaño de paso: 1; 0.1; 0.01 de tal modo que podremos observar tanto las diferencias entre los diferentes métodos como de la precisión conseguida con los diferentes tamaños de paso.

clear all
%DATOS DEL PROBLEMA
%Intervalo de tiempo [0,100].
t0=0;tN=100;    
%Población inicial
y0=input('introduzca poblacion inicial');          
%Se ejecutarán los 3 métodos con tres tamaños de paso: h=1,0.1,0.01 viendo asi como cambia la precisión  

%Tamaño de paso
h=input('Introduce tamaño de paso:');      
%Nodos
N=(tN-t0)/h;        
%Constantes de la ecuación logística. 
%r:constante de crecimiento
%M1:umbral
%M2: población cuando el tiempo tiende a infinito
r=0.04;M1=30;M2=100;
%Discretizacion del tiempo.
t=t0:h:tN;         
%Condición inicial.
E=zeros(1,N+1);E(1)=y0;    %Euler
HE=zeros(1,N+1);HE(1)=y0;  %Heun
R=zeros(1,N+1); R(1)=y0;   %Runge-Kutta
for i=1:N
 %Método Euler:
 E(i+1)=E(i)+h*((-r*R(i))*(1-R(i)/M1)*(1-R(i)/M2));
 
 %Método de Heun:
 Kh1=-r*HE(i)*(1-HE(i)/M1)*(1-HE(i)/M2);
 Kh2=-r*(HE(i)+Kh1*h)*(1-((HE(i)+Kh1*h)/M1))*(1-((HE(i)+Kh1*h)/M2));
 HE(i+1)= HE(i)+h/2*(Kh1+Kh2);
 
 %Método Runge-Kutta: 
 K1=-r*R(i)*(1-R(i)/M1)*(1-R(i)/M2);
 K2=-r*(R(i)+1/2*K1*h)*(1-((R(i)+1/2*K1*h)/M1))*(1-((R(i)+1/2*K1*h)/M2));
 K3=-r*(R(i)+1/2*K2*h)*(1-((R(i)+1/2*K2*h)/M1))*(1-((R(i)+1/2*K2*h)/M2));
 K4=-r*(R(i)+K3*h)*(1-((R(i)+K3*h)/M1))*(1-((R(i)+K3*h)/M2));
 R(i+1)= R(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
 
     
end
%Ahora dibujamos las gráficas resultantes:
hold on  %Para mostrar todas las gráfcas a la vez
plot(t,E,'k') 
plot(t,HE,'r')
plot(t,R,'g')

hold off

legend('EULER','HEUN','RUNGE-KUTTA','location','best')

format long

%Máximo error entre métodos (2 a 2)
C1=max(abs(R-E))    %Runge-Kutta y Euler
C2=max(abs(E-HE))   %Euler y Heun
C3=max(abs(HE-R))   %Heun y Runge-Kutta

2.2 Interpretación Numérica

Se aprecia que con tamaño de paso 1 exite una leve diferencia entre los métodos de Runge-kutta y Heun frente al método de Euler, mientras que según vamos disminuyendo el tamaño de paso las diferencias entre los diferentes métodos disminuyen de manera sustancial, aún así se percibe que los métodos de Runge-Kutta y Heun siguen siendo mas precisos que el de Euler.

2.3 Interepretacion según la dinámica de poblaciones

Analizando el problema de valor inicial podemos observar que con una población inicaial de 60 millones de individuos, el ecosistema (el planeta Tierra por ejemplo) es capaz de una mayor población, por lo que la especie empieza a crecer de manera exponencial pues no encuentra ningún tipo de obstácuulo tales como una guerra, una enfermedad o una época de sequía y escasez que impidan un óptimo desarrollo, este crecimiento continúa teniendo un caracter exponencial hasta que la población se aproxima a los 100 millones de individuos, nivel sobre el cual la población se estabiliza, esto se debe a que todo ecosistema tiene un número limitado de recursos naturales, al ser esto una cantidad fimita, por lo tanto la población que este puede sostener tambien lo va a ser; por lo tanto por mucho que avncemos en el tiempo la población nunca va a superar el umbral de los 100 millones de individuos.

2.4 Interpretación del problema con una población inicial de 120 millones

Se observa que al ser la población inicial de 120 millones de individuos, esta está avocada la reducción del número de ejemlares de la especie de una manera drástica reduciendose la población en 20 millones en poco mas de 20 años, esto se debe a que el ecosistema no puede proveer a la especie de los reursos suficientes para la subsistencia de todos los miembros, por lo que si no pueden cubrir sus necesidades básicas de comida por ejemplo van a sufrir una desnutrición la cual impide que se reproduzcan pues esto supone un gasto extra de recursos los cuales no poseen, pero aparte convierte a los miembros ya existenetes en mas vulnerables a enfermedades por lo que suy esperanza de vida se ve reducida, por lo que si no hay nuevos miembros que hagan aumentar el numero de cabezas y las ya existentes van muriendo la población se va a reducir hasta el limite que el ecosistema permita mantener con garantías de salud.

En conclusión, si la población supera el umbral de los 100 millones de individuos esta va a tender a reducirse hasta llegar a los 100 millones pues es el limite máximo de individuos que puede soportar el ecosistema.

2.5 Interpretación del problema con una población inicial de 30 millones

En este caso nos percatamos que la especie se extingue, esto se debe a que esta especie necesita como mínimo 60 millones de individuos para poder asegurar su continuidad en el tiempo. La extinción de esta especie se debe a que con menos de 30 millones de individuos no pueden desarrollar todas las actividades básicas para la subsitencia de la misma, por ejemplo con menos de 30 millones de individuos no son capaces de desarrolar la tecnología neceaaria para así poder construir embalses que permitan tener unas reservas estables de agua, para asi no tener que depender de las lluvias momentaneas, creándose con ello una estabilidad en las condicinoes de vida haciendolas propicias para que el número de individuos siga aumentando.