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¡Bienvenido a MateWiki! Esperamos que contribuyas mucho y bien. Probablemente quieras leer las páginas de ayuda. Nuevamente, bienvenido y ¡diviértete! Carlos Castro (discusión) 08:16 25 feb 2014 (CET)

1 Interpretación en términos de las leyes de Kirchoff

Éste es el sistema de ecuaciones diferenciales corresponde al circuito de la derecha en la figura: \[ E(t)=R_1i_1(t)+L_2\frac{\partial }{\partial t}i_2(t)+R_2i_2(t)\]\[ E(t)=R_1i_1(t)+L_1\frac{\partial }{\partial t}i_3(t)+R_3i_3(t)\]\[ i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)\] Como vemos se cumplen las leyes de Kirchoff que dicen:

·En cada malla, la suma de las tensiones es igual a la tensión total que se suministra al circuito.

·La intensidad que entra en un nodo es igual a la suma de las intensidades que salen de él.

Vemos que en la primera ecuación, la tensión total esta igualada a la tensión de la malla grande, formada por R1,L2 y R2. A su vez la tensión total también está igualada a la malla pequeña formada por R1,L1 y R3. La tercera ecuacion se refiere a la segunda ley de Kirchoff que dice que la intensidad que entra en un nodo es igual a la suma de las intensidades que salen de él.

Escribiendo el sistema anterior en términos de \(i_2 (t)\) y de \(i_3 (t)\) el sistema nos queda de la forma: \[ E(t)=R_1i_2(t)+R_1i_3 (t)+L_2\frac{\partial}{\partial t}i_2(t)+R_2i_2(t)\]\[ E(t)=R_1i_2(t)+R_1i_3(t)+L_1\frac{\partial }{\partial t}i_3(t)+R_3i_3(t)\]

Para unas condiciones iniciales de \(i_2 (0)\)=\(i_3 (0)\)=\(0\), las intensidades que salen del nodo son iguales a cero, con lo cual la intensidad que entra en dicho nodo, que será la intensidad total en el circuito, dará cero también. Esto significa que no entra corriente en el circuito, lo que afecta a las tensiones. Tensiones = 0 por lo que la tensión total es igual a 0.

2 Resolución del sistema con datos

Resolvemos el sistema de ecuaciones anterior con los datos \(R_1 = R_2 = 6, R_3 = 3, L_1 = 0,3H, L_2 = 0,11H\) y la fuente de alimentación \(E(t) = 20V\).

Vamos a resolverlo utilizando el método de Euler explícito y el método implícito del trapecio. El intervalo de tiempo considerado paqra el estuido es de [0, 0.4].

2.1 Método de Euler

%Introducimos los datos del sistema de ecuaciones diferenciales
E=20;
R1=6;
R2=6;
R3=3;
L1=0.3;
L2=0.11;
%Introducimos el intervalo de tiempo en el que vamos a evaluar nuestra ecuación
t0=0; tN=0.4;
%Creamos un vector columna que tendrá como datos la intensidad en el instante inicial 
i0=[0 0]';
%Dividimos nuestro intervalo de tiempo en N subintervalos separados un paso h
N=10000; h=(tN-t0)/N;
%Reescribimos el sistema en forma matricial
X=[-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -(R1+R3)/L1];
Y=[20/L2 20/L1]';
i=i0;
i2(1)=i(1);
i3(1)=i(2);
%creamos un bucle para el calculo de las intensidades a lo largo del tiempo
%definido
for n=1:N
    i=i+h*((X*i)+Y);
    i2(n+1)=i(1);
    i3(n+1)=i(2);    
end
%creamos el vector de abcisas
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(3,1,1)
plot(x,i2,'b')
subplot(3,1,2)
plot(x,i3,'g')
subplot(3,1,3)
hold on
plot(x,i2,'b')
plot(x,i3,'g')
plot(x,i1,'r')
hold off
legend('i2', 'i3', 'i1');

Podemos observar que a partir de t=0.15 tienden a estabilizarse.

2.2 Método del trapecio

E=20;
R1=6;
R2=6;
R3=3;
L1=0.3;
L2=0.11;
t0=0; tN=0.4;
i0=[0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
X=[-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -(R1+R3)/L1];
Y=[20/L2 20/L1]';
i=i0;
i2(1)=i(1);
i3(1)=i(2);
for n=1:N
    i=inv(eye(2)-(h/2)*X)*((eye(2)+(h/2)*A)*i+h*Y);
    i2(n+1)=i(1);
    i3(n+1)=i(2);    
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(3,1,1)
plot(x,i2,'b')
subplot(3,1,2)
plot(x,i3,'g')
subplot(3,1,3)
hold on
plot(x,i2,'b')
plot(x,i3,'g')
plot(x,i1,'r')
hold off
legend('i2', 'i3', 'i1');