Revisión actual del 19:37 6 dic 2025

Enlace al póster de Coordenadas Cilíndricas Parabólicas Grupo 56

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas

La resolución de problemas de contorno en física e ingeniería, como la difracción o el análisis de la distribución de potencial electrostático requiere el uso de sistemas especializados. Las coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) destacan por su ortogonalidad y adaptación a simetrías parabólicas. Este sistema generaliza las coordenadas planas al espacio tridimensional incorporando la altura cartesiana z.

Este marco coordenado transforma las coordenadas cartesianas habituales (x₁, x₂, x₃,) mediante las siguientes ecuaciones, donde la variable u se restringe a valores positivos (u>0):

\begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = uv \\ x_3 = z \end{cases}

El objetivo principal de este estudio es analizar las magnitudes fundamentales del sistema (factores de escala) así como obtener las expresiones para los operadores vectoriales (gradiente, divergencia y rotacional) en estas coordenadas. Todo este análisis se detallará en los apartados posteriores.

1 Parametrización y geometría de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas.

1.1 Parametrización teórica

A partir de las expresiones que vinculan las coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) con las coordenadas cartesianas (x₁, x₂, x₃) se deducen las siguientes parametrizaciones para las líneas coordenadas:

• Línea coordenada \(\gamma_u\): se mantienen constantes v y z, variando u.

\(\gamma_u (t)\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{t^2 - v^2}{2} , tv , z \right)[/math]

• Línea coordenada \(\gamma_v\): se mantienen constantes u y z, variando v.

\(\gamma_v(t)\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}, ut, z \right)[/math]

• Línea coordenada \(\gamma_z\): se mantienen constantes u y v, variando z.

\(\gamma_z(t)\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}, uv, t \right)[/math]

1.2 Representación gráfica en MATLAB

Para visualizar la geometría del sistema cilíndrico parabólico, se ha generado mediante MATLAB una representación conjunta de las líneas coordenadas en el plano x₃=0. Cumpliendo con lo solicitado, se han seleccionado valores discretos para los parámetros u y v con el fin de observar la formación de la malla coordenada.

En la gráfica generada se muestran simultáneamente:

• Las líneas coordenadas \(\gamma_u\) (variación de u con v constante), representadas en color azul.
• Las líneas coordenadas \(\gamma_v\) (variación de v con u constante), representadas en color rojo.

Esta visualización conjunta permite apreciar cómo ambas familias se entrecruzan formando una red curvilínea que cubre el plano.

%LIMPIEZA DE ENTORNO
clear; clc; close all;

%DEFINICIÓN DE PARÁMETROS
%Vectores de valores discretos para generar la malla
u_vals = linspace(0.2, 2.5, 6); 
v_vals = linspace(0.2, 2.5, 6); 

%Configuración inicial de la figura
figure;
hold on;
grid on;
axis equal;

%FAMILIA DE CURVAS GAMMA_U (Variación de u)
%Se mantiene v constante (v_fixed) y se barre el parámetro u
for idx = 1:length(v_vals)
    v_fixed = v_vals(idx);
    u = linspace(0, 3, 150);   %Vector continuo para el trazo suave
    %Transformación a coordenadas cartesianas (x1, x2)
    x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2; 
    x2_u = u .* v_fixed; 
    %Graficado: Tonalidades frías
    color_val = idx/length(v_vals);
    p1 = plot(x1_u, x2_u, 'Color', [0, 0.6*color_val, 0.8], 'LineWidth', 2); 
end

%FAMILIA DE CURVAS GAMMA_V (Variación de v)
%Se mantiene u constante (u_fixed) y se barre el parámetro v
for idx = 1:length(u_vals)
    u_fixed = u_vals(idx);
    v = linspace(0, 3, 150);    %Vector continuo para el trazo suave
    %Transformación a coordenadas cartesianas (x1, x2)
    x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2; 
    x2_v = u_fixed .* v; 
    %Graficado: Tonalidades cálidas
    color_val = idx/length(u_vals);
    p2 = plot(x1_v, x2_v, 'Color', [0.9, 0.4*color_val, 0.1], 'LineWidth', 2); 
end

%ESTÉTICA Y ETIQUETAS
title('Red de Coordenadas Cilíndrico-Parabólicas (Plano x_3=0)');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
xlim([-4 4]); 
ylim([0 6]);

%Leyenda representativa
legend([p1, p2], {'Líneas \gamma_u (v=cte)', 'Líneas \gamma_v (u=cte)'}, ...
       'Location', 'best');

hold off;

1.3 Análisis geométrico

El análisis gráfico confirma que las líneas coordenadas en el plano x₃=0 forman dos familias de parábolas confocales con foco común en el origen. Las curvas asociadas a la variable u son parábolas abiertas hacia la derecha (semieje positivo de x₁), mientras que las asociadas a v se abren hacia la izquierda (semieje negativo). Ambas familias se intersecan perpendicularmente en todo punto, verificando la ortogonalidad del sistema, mientras que la coordenada z genera simplemente rectas verticales.

2 Cálculos teóricos de las coordenadas cilíndrico-parabólicas \( \vec{\gamma}_u , \vec{\gamma}_v , \vec{\gamma}_z \)

2.1 Campos de velocidad de las líneas coordenadas

Los campos de velocidad son los vectores tangentes a las curvas de coordenadas del sistema. Indican cómo cambia la posición de un punto del espacio cuando varía una sola de las coordenadas \((u, v, z)\), manteniendo las demás fijas.

A partir del vector de posición:[math]r'=x_1\vec{i}+x_2\vec{j}+x_3\vec{k} = (\frac{u^2 - v^2}{2})\vec{x_1}+uv\vec{x_2}+z\vec{x_3}[/math]. se obtienen los campos de velocidad \(\vec{\gamma}_u , \vec{\gamma}_v , \vec{\gamma}_z\) derivando \(\vec{r}\) respecto a cada coordenada.

1. Derivada respecto a \(u\): [math] \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\ \frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\ \frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j}. \end{aligned} [/math]

2. Derivada respecto a \(v\): [math] \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\ \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\ \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j}. \end{aligned} [/math]

3. Derivada respecto a \(z\): [math] \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\ \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\ \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k}. \end{aligned} [/math]

2.2 Factores de escala

El módulo de cada campo de velocidad define el factor de escala correspondiente \((h_u, h_v, h_z)\). Estos factores representan la relación entre un incremento infinitesimal de coordenada y la distancia real recorrida en el espacio físico.

Para cada campo de velocidad:

1. Para \(\gamma'_u\)→ [math] h_u = |\gamma'_u| = \sqrt{u^2 + v^2} [/math]

2. Para \(\gamma'_v\)→ [math] h_v = |\gamma'_v| = \sqrt{(-v)^2 + u^2} = \sqrt{v^2 + u^2} [/math]

3. Para \(\gamma'_z\)→ [math] h_z = |\gamma'_z| =1 [/math]

2.3 Vectores tangentes

Los vectores tangentes unitarios \(\vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z\) se obtienen normalizando los campos de velocidad, es decir, dividiendo cada uno entre su correspondiente factor de escala.

\begin{aligned} \vec{e}_u &= \frac{\gamma'_u}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} (u,\, v,\, 0) \\[6pt] \vec{e}_v &= \frac{\gamma'_v}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} (-v,\, u,\, 0) \\[6pt] \vec{e}_z &= \frac{\gamma'_z}{h_z} = (0,\, 0,\, 1) \end{aligned}

2.4 Comprobación de ortonormalidad

Para comprobar que los vectores \(\vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z\) forman una base ortonormal, se calculan sus respectivos productos escalares:

1. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = [math]\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0[/math]

2. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= [math]\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0[/math]

3. Producto escalar \(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=[math] \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0[/math]

Dado que \( |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1 \) se verifica que los vectores son unitarios y por lo tanto forman una base ortonormal.

2.5 Comprobación de ortonormalidad orientada positivamente

El producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) [math] = \begin{bmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0 \end{bmatrix} = \vec{k} = \vec{e}_z [/math]

Se puede concluir que la orientación es positiva ya que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector.

Conclusión
Al cumplirse los puntos anteriores, los vectores \(\{\vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z\}\) forman una base ortonormal orientada positivamente.

2.6 Representación gráfica y código MATLAB

%% LIMPIEZA
clear; clc; close all;

%% RANGO DE PARÁMETROS
u = linspace(0.2, 2, 200);   % u varía
v = linspace(0.2, 2, 200);   % v varía

%% PUNTO DE INTERÉS (u0,v0)
u_point = 1;      % donde se cortan las curvas
v_point = 1;

% Coordenadas cartesianas del punto
x_point = (u_point^2 - v_point^2)/2;   % = 0
y_point = u_point * v_point;           % = 1

%% CURVA gamma_u (u varía, v fijo = v_point)
v_fixed = v_point;
x_u = (u.^2 - v_fixed^2)/2;
y_u = u .* v_fixed;

%% CURVA gamma_v (v varía, u fijo = u_point)
u_fixed = u_point;
x_v = (u_fixed^2 - v.^2)/2;
y_v = u_fixed .* v;

%% VECTORES UNITARIOS e_u y e_v EN (u_point, v_point)
% Vectores tangentes
ru = [u_point,  v_point];   % r_u = (u,v)
rv = [-v_point, u_point];   % r_v = (-v,u)

% Módulo común
h  = norm(ru);

% Unitarios
eu = ru / h;
ev = rv / h;

%% GRÁFICO
figure;
hold on; grid on;

% Colores para que coincidan con tu red:
col_gamma_u = [0,   0.6, 0.8];   % azul/celeste (v = cte)
col_gamma_v = [0.9, 0.4, 0.1];   % naranja (u = cte)

% Curvas
p1 = plot(x_u, y_u, 'LineWidth', 1.5, 'Color', col_gamma_u); % gamma_u
p2 = plot(x_v, y_v, 'LineWidth', 1.5, 'Color', col_gamma_v); % gamma_v

% Vectores (flechas)
q1 = quiver(x_point, y_point, eu(1), eu(2), 0, ...
    'm', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.7);    % e_u
q2 = quiver(x_point, y_point, ev(1), ev(2), 0, ...
    'g', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.7);    % e_v

% Estética
title('Vectores tangentes a las líneas coordenadas');
xlabel('x');
ylabel('y');
xlim([-1.5 1.5]);
ylim([0 2.1]);
axis equal;

legend([p1, p2, q1, q2], ...
    {'Líneas \gamma_u', ...
     'Líneas \gamma_v', ...
     'Vector e_u', ...
     'Vector e_v'}, ...
    'Location', 'best');

hold off;

3 Matrices de cambio de base

Como ya hemos visto, en este sistema de coordenadas se produce la transformación de las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) a las cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\).

Habiendo calculado en el apartado anterior una base ortonormal definida por los vectores {\(\vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z\)}, estos serán necesarios para realizar la matriz de cambio de base, donde aparecerán cada uno de ellos como columnas de dicha matriz.

Llamaremos [math] Q [/math] a la matriz que transforma las coordenadas de la base cilíndrica parabólica {\(\vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z\)} a la del sistema cartesiano {\(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\)}, cuyas columnas serán los vectores de la base cilíndrica parabólica.

[math] Q = \begin{bmatrix} \dfrac{u}{h_u} & -\dfrac{v}{h_v} & 0 \\ \dfrac{v}{h_u} & \dfrac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]

[math] Q = \begin{bmatrix} \dfrac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & -\dfrac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \dfrac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \dfrac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]

Por otro lado, [math] Q^{-1} [/math] será la matriz que transforma las coordenadas de la base cartesiana {\(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\)} a la base cilíndrica parabólica {\(\vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z\)}, y será la inversa de la matriz [math] Q [/math]. Además, se cumple que [math] Q^{-1} = Q^{T} [/math].

[math] Q^{-1} = \begin{bmatrix} \dfrac{u}{h_u} & \dfrac{v}{h_u} & 0 \\ -\dfrac{v}{h_v} & \dfrac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]

[math] Q^{-1} = \begin{bmatrix} \dfrac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \dfrac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ -\dfrac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \dfrac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]

4 Campo de posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico.

En el sistema de coordenadas cilíndricas parabólicas (u,v,z) las nuevas coordenadas se obtienen a partir del producto de la matriz inversa [math]Q^-1[/math] y el vector de posición en coordenas cartesianas \(\vec{r}\). Por un lado, la matriz inversa se ha obtenido en el apartado anterior. Para el vector posición en coordenadas cartesianas, se conoce la siguiente relación:

[math] x_1= \frac{\left(u^2-v^2\right)}{2}\\ x_2 = uv\\ x_3 = z\\ [/math]

[math] \vec{r}_{\mathrm{[Cartesianas]}} = \begin{bmatrix} \dfrac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix} [/math]

Sabiendo la matriz inversa, obtenemos:

[math] \vec{r}_{\mathrm{[Cilíndricas Parabólicas]}} = Q^{-1}* \vec{r}_{\mathrm{[Cartesianas]}} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}= [/math] [math] \begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix} [/math]

Su forma vectorial sería la siguiente:

[math]\vec{r}_{\mathrm{[Cilíndricas Parabólicas]}} = \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\[/math]

5 Gradiente de un campo escalar

En este apartado se pide calcular la expresión del gradiente de un campo escalar en el sistema cilíndrico parabólico. Para después usar esta expresión para calcular el gradiente del campo escalar [math] f(x_1,x_2,x_3)=x_2 [/math] en el punto de coordenadas cartesianas [math] (x_1,x_2,x_3)=(0,1,1) [/math].

5.1 Calcular la expresión del gradiente de un campo escalar en el sistema cilíndrico parabólico

Si tomamos la fórmula general del gradiente:

[math] \nabla = \frac{e_1}{h_1} \frac{\partial}{\partial x_1} + \frac{e_2}{h_2} \frac{\partial}{\partial x_2} + \frac{e_3}{h_3} \frac{\partial}{\partial x_3} [/math]

Aplicado a coordenadas cilíndricas parabólicas sería:

[math] \nabla = \frac{e_u}{h_u} \frac{\partial}{\partial u} + \frac{e_v}{h_v} \frac{\partial}{\partial v} + \frac{e_z}{h_z} \frac{\partial}{\partial z} [/math]

Donde [math] h_u, h_v, h_z [/math] son los factores de escala calculados en el apartado 2:

[math] h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \qquad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \qquad h_z = 1 [/math]

Por lo tanto, la fórmula para calcular el gradiente de un campo [math] f(u,v,z) [/math] será:

[math] \nabla f(u,v,z) = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \left( \frac{\partial f}{\partial u} e_u + \frac{\partial f}{\partial v} e_v \right) + \frac{\partial f}{\partial z} e_z [/math]

5.2 Calcular el gradiente del campo escalar en un punto

Para calcular el gradiente del campo escalar [math] f(x_1,x_2,x_3)=x_2 [/math] en el punto [math] (0,1,1) [/math], primero se realiza el cambio de coordenadas:

[math] f(u,v,z) = uv [/math]

Para el punto se tiene el sistema de ecuaciones:

[math] 0 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \qquad 1 = uv, \qquad 1 = z [/math]

Resolviéndolo se obtiene el punto:

[math] (u,v,z) = (1,1,1) [/math]

Para calcular el gradiente se comienzan calculando las derivadas parciales:

[math] \frac{\partial f}{\partial u} = v, \qquad \frac{\partial f}{\partial v} = u, \qquad \frac{\partial f}{\partial z} = 0 [/math]

En consecuencia, el gradiente del campo es:

[math] \nabla f(u,v,z) = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \left( v\,e_u + u\,e_v \right) + 0\cdot e_z [/math]

Aplicándolo al punto:

[math] \nabla f(1,1,1) = \frac{1}{\sqrt{2}} (1,1,0) [/math]

6 Divergencia de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico.

Continuando con el estudio de los operadores diferenciales en coordenadas cilíndricas parabólicas, este apartado se centra en la obtención de la expresión analítica de la divergencia. Para ello, se partirá de la expresión estándar en coordenadas ortogonales, la cual será particularizada sustituyendo los coeficientes métricos del sistema. Finalmente, se aplicará la ecuación resultante al vector de posición \(\vec{r}\) para obtener su valor de divergencia como ejemplo práctico de cálculo.

La divergencia de un campo vectorial genérico \(\vec{F}\) = [math]F_u[/math] [math]\vec{e}_u[/math] + [math]F_v[/math] [math]\vec{e}_v[/math] + [math]F_z[/math] [math]\vec{e}_z[/math] en coordenadas cilíndricas parabólicas se define mediante la siguiente relación:

[math]\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right].[/math]

Para aplicar esta fórmula al vector de posición \(\vec{r}\), recopilamos primero los elementos característicos del sistema calculados en secciones previas:

• Factores de escala: [math] h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad h_z = 1. [/math]
• Jacobiano: [math]h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2+v^2})(\sqrt{u^2+v^2})(1) = u^2 + v^2[/math]

Sustituyendo las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

[math] F_u = r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad F_v = r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad F_z = r_z = z. [/math]

Las derivadas parciales son:

• Respecto a u: [math]\frac{\partial}{\partial u} \left( \frac{u^3 + uv^2}{2} \right) = \frac{3u^2 + v^2}{2}[/math]
• Respecto a v: [math]\frac{\partial}{\partial v} \left( \frac{vu^2 + v^3}{2} \right) = \frac{u^2 + 3v^2}{2}[/math]
• Respecto a z: [math]\frac{\partial}{\partial z} \left( z(u^2+v^2) \right) = u^2 + v^2[/math]

Sustituyendo cada una de las derivadas parciales y el valor del jacobiano en la expresión de la divergencia:

[math]\nabla\cdot\vec r=\frac{1}{u^2+v^2}[(\frac{3u^2+v^2}{2})+(\frac{u^2+3v^2}{2})+(u^2 + v^2)] = \frac{1}{u^2+v^2}·2(u^2+v^2)+1 = 2+1 = 3[/math]

Obteniendo finalmente: [math]\nabla\cdot\vec r = 3[/math]

7 Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico.

El rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico \((u, v, z)\) es la medida del giro local del campo expresada en la base \(\{\vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z\}\). El rotacional en coordenadas cilíndrico-parabólicas se calcula particularizando en la siguiente fórmula:

[math] \nabla \times \vec{F} = \frac{1}{h_u h_v h_z} \left| \begin{matrix} h_u \vec{e}_u & h_v \vec{e}_v & h_z \vec{e}_z \\ \dfrac{\partial}{\partial u} & \dfrac{\partial}{\partial v} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ h_u F_u & h_v F_v & h_z F_z \end{matrix} \right| [/math]

[math] h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \qquad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \qquad h_z = 1 [/math]

y por tanto:

[math] h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 \cdot 1 = u^2 + v^2 [/math]

Sustituyendo los factores de escala en la expresión anterior, obtenemos:

[math] \nabla \times \vec{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left| \begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}\,\vec{e}_u & \sqrt{u^2 + v^2}\,\vec{e}_v & \vec{e}_z \\[6pt] \dfrac{\partial}{\partial u} & \dfrac{\partial}{\partial v} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \sqrt{u^2 + v^2}\,F_u & \sqrt{u^2 + v^2}\,F_v & F_z \end{matrix} \right| [/math]

Se calcula el rotacional por componentes

[math] \vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0 [/math]

[math] \vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0 [/math]

[math] \vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0 [/math]

Como el resultado del gradiente es [math] 0 [/math], se puede concluir que se trata de un campo irrotacional.

[math] \operatorname{rot}(\vec{r}) = \nabla \times \vec{r} = 0\cdot \vec{e}_u + 0\cdot \vec{e}_v + 0\cdot \vec{e}_z = \vec{0} [/math]

8 Superficies de nivel \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\)

8.1 Cómo son las superficies

Una superficie de nivel, con campos escalares dados, se define como el conjunto de puntos S_c = {(u,v,z): f(u,v,z)=c}.

Por tanto, serán:

• Para \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
• Para \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
• Para \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas se relacionan con las cartesianas de la siguiente forma:

[math] \begin{cases} x_1 = \frac{1}{2}(u^2 - v^2) \\ x_2 = uv \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

Sustituyendo en cada caso en dichas ecuaciones llegamos a las siguientes conclusiones:

• En f₁, u=c. Las variables libres serán v y z, por lo que:

[math] \begin{aligned} x_1 &= \frac{1}{2}(c^2 - v^2) \\ x_2 &= cv \\ x_3 &= z \end{aligned} [/math]

Interpretación geométrica:

Para cada altura z, la curva en el plano X₁X₂ viene dada por:

[math] \begin{aligned} x_1 &= \frac{1}{2}(c^2 - v^2) \\ x_2 &= cv \end{aligned} [/math]

Eliminando v, obtenemos una parábola. Se forma un cilindro parabólico con concavidad hacia la dirección positiva del eje x₁.

• En f₂, v=c. Las variables libres serán u y z, por lo que:

[math] \begin{aligned} x_1 &= \frac{1}{2}(u^2 - c^2) \\ x_2 &= uc \\ x_3 &= z \end{aligned} [/math]

Interpretación geométrica:

Para cada altura z:

[math] \begin{aligned} x_1 &= \frac{1}{2}(u^2 - c^2) \\ x_2 &= uc \end{aligned} [/math]

La proyección sobre el plano X₁X₂ es una parábola con concavidad en sentido contrario al caso anterior. Por tanto, es un cilindro parabólico con concavidad hacia la dirección negativa del eje x₁.

• En f₃, z=c. Las variables libres serán u y z, por lo

[math] \begin{aligned} x_1 &= \frac{1}{2}(u^2 - v^2) \\ x_2 &= uv \\ x_3 &= c \end{aligned} [/math]

Se obtiene un plano horizontal paralelo al plano X₁X₂.

8.2 Dibujo de las superficies f₁, f₂ y f₃ en MATLAB

% Imponemos un número de variables                
u = linspace(0, 2, 35);
v = linspace(0, 2, 35);
z = linspace(0, 2, 35);

% Se crean las mayas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Superficie f1 fijando u=1
cte = 1;
x1_f1 = (cte.^2 - V.^2)/2;
x2_f1 = cte.*V;
x3_f1 = z;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie f2
x1_f2 = (U.^2 - cte.^2)/2;
x2_f2 = U.*cte;
x3_f2 = z;

subplot(1,3,2);
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 35);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 35);

[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);
z_malla = cte * ones(size(x1_malla));

subplot(1, 3, 3);
surf(x1_malla, x_2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;

8.3 Superficies regladas y su uso en ingeniería

Se define como superficie reglada a toda aquella que esté asociada a una curva generatriz γ y formada por directrices, es decir, rectas de longitud d y un vector director [math]\vec{w}[/math], pudiendo parametrizarse así:

[math] \phi(v,z)=\gamma(v)+z\vec{k}(v), \qquad \gamma(v)= \begin{cases} x_1 = \frac{1 - v^2}{2} \\ x_2 = v \\ x_3 = 0 \end{cases} [/math]

Por tanto, las tres superficies de nivel asociadas a f₁, f₂ y f₃ son superficies regladas.

• La parametrización de la superficie f₁, en la que u actúa como una constante (igual a 1), como superficie reglada será:

[math] \phi(v,z)=\gamma(v)+z\vec{k}(v), \qquad \gamma(v)= \begin{cases} x_1 = \frac{1 - v^2}{2} \\ x_2 = v \\ x_3 = 0 \end{cases} [/math]

• La parametrización de la superficie f₂, en la que v actúa como una constante (igual a 1), como superficie reglada será:

[math] \phi(u,z)=\gamma(u)+z\vec{k}(u), \qquad \gamma(u)= \begin{cases} x_1 = \frac{u^2 - 1}{2} \\ x_2 = u \\ x_3 = 0 \end{cases} [/math]

• La parametrización de la superficie f₃, en la que z actúa como una constante (igual a 1), como superficie reglada será:

[math] \phi(u,v)=\gamma(u)+v\vec{i}(v), \qquad \gamma(u)= \begin{cases} x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2} \\ x_2 = uv \\ x_3 = 1 \end{cases} [/math]

Uso de las superficies regladas en ingeniería

Las superficies regladas tienen buenas características geométricas y estructurales para su uso en ingeniería, ya que ofrecen ventajas como una estabilidad estructural, gracias a la distribución geométrica de las rectas de muchas de estas superficies (como paraboloides hiperbólicos) son capaces de soportar grandes cargas y presentar rigidez. También hacen que la construcción sea eficaz, ya que se basan en rectas, por lo que reducen costes, tiempo y complejidad, un ejemplo es el hiperboloide de Shujóv. Además, permiten una flexibilidad en el diseño de obras, pudiendo modificar la curvatura de la generatriz o de la orientación de las rectas, obteniendo superficies con curvaturas variadas, geometrías estéticas o excelente comportamiento aerodinámico. Este tipo de superficies son muy útiles especialmente para cubiertas y fachadas, torres eléctricas o de refrigeración, alas de aviones, o para el diseño industrial realizando formas estilizadas.

9 Curvatura de la parábola.

9.1 Cálculo de la curvatura de la parábola

Dada la parábola [math] y=-Ax^2+B; [/math] dónde A y B son 3 y 1, respectivamente. Tenemos [math] y=-3x^2+1 x ∈ [−1, 1]. [/math]

Para sacar la curvatura [math] \kappa(t) [/math], primero hay que parametrizar: [math]f(t)= (t,-3t^2+1,0)[/math] t ∈ [−1, 1].

[math] y=f(t)=3t^2+1\\ f'(t)=-6t\\ f''(t)=-6\\ [/math]

Además, la fórmula de la curvatura es:

[math] \kappa(t)=\frac{|\vec{v}(t)×\vec{a}(t)|}{|\vec{v}(t)|^3} [/math]

Los valores de velocidad y aceleración serán:

[math] \vec{r}= t\vec{i}+f(t)\vec{j}+0\vec{k}\\ [/math]

[math] \vec{v}(t)=\vec{r}'=\vec{i}+f'(t)\vec{j}\\ [/math]

[math] \vec{a}(t)=\vec{r}''=f''(t)\vec{j}\\ [/math]

El producto vectorial será:

[math] \vec{v}(t)×\vec{a}(t)= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & f'(t) & 0 \\ 0 & f''(t) & 0 \end{vmatrix}=f''(t)\vec{k}= -6\vec{k}\\ [/math]

Para el cubo del módulo de la velocidad:

[math]|\vec{v}(t)|^3 = \left(\sqrt{1^2 + (f'(t))^2}\right)^3[/math]

Con todo ello, sustituimos en la fórmula de la curvatura y obtenemos:

[math] \kappa(t)=\frac{|-6|}{(1+(-6t)^2)^{3/2}}=\frac{6}{(1+36t^2)^{3/2}} [/math]

9.2 Puntos de mayor y menor curvatura

Evaluaremos en puntos específicos de la curvatura:

1. Para t=0 [math] \kappa(0)=\frac{6}{(1)^{3/2}}= 6\\ [/math] 2. Para t=1 [math] \kappa(1)=\frac{6}{(1+36)^{3/2}}=\frac{6}{37^{3/2}} \\ [/math] 3. Para t=-1 [math] \kappa(-1)=\frac{6}{(1+36)^{3/2}}= \frac{6}{37^{3/2}} \\[/math]

La curvatura depende de x, pero no tiene puntos críticos en los que esta cambie. La curvatura es mayor en el vértice de la parábola, el cual se encuentra en t=0, con un valor de 4. Por otro lado, la curvatura disminuye a medida que nos alejemos del vértice, en este caso como t ∈ [−1, 1], los puntos de menor curvatura serán t=1 y t=-1, con un valor de [math]\frac{6}{37^{3/2}}[/math].

9.3 Representación gráfica en MATLAB y su código

Curvatura

x = linspace(-1, 1, 400);
y = -3*x.^2 + 1;

% Derivadas
y1 = gradient(y, x);
y2 = gradient(y1, x);

% Curvatura: 
kappa = abs(y2) ./ (1 + y1.^2).^(3/2);

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa,'r', 'LineWidth', 1.5)
title('Curvatura de la parábola y = -3x^2 + 1')
xlabel('t(x)')
ylabel('\kappa(x)')
xticks(-1:0.25:1);   % ticks del eje X cada 0.25
yticks(0:1:6);       % ticks del eje X cada 1
grid on

10 Usos de la parábola en la ingeniería.

La parábola es una curva con propiedades de gran utilidad debido a sus diversas aplicaciones. A continuación, se van a explicar algunos ejemplos en los que se emplea:

10.1 Puentes

Puentes colgantes

La parábola permite una alta capacidad para soportar cargas pesadas de forma estable y eficiente. Es por ello que se emplea para los puentes colgantes, con la colocación de los cables en forma parabólica permite que el peso del cable se distribuya de manera uniforme a lo largo de la curva.

Golden Gate I (San Francisco, EEUU)

Puentes arco

A su vez, también se emplea en puestes de tipo arco, ya que la forma de la parábola permite que las fuerzas de compresión se distribuyan a lo largo del arco de manera uniforme, trasladando el peso a los apoyos y reduciendo los costes en materiales.

Viaducto de Garabit I (Francia)

10.2 Presas

Del mismo modo que con los puentes, la forma de parábola en las presas tipo arco permite transmitir la presión del agua a los estribos de la montaña, reduciendo la cantidad de material necesario. A la vez que aporta una mayor resistencia.

Presa Hoover (Río Colorado)

10.3 Antenas parabólicas

La parábola no solo tiene utilidad en aplicaciones estructurales, ya que permite concentrar señales de radio y televisión débiles en un punto focal para mejorar su recepción. La forma parabólica refleja las ondas electromagnéticas entrantes y las dirige hacia el receptor, que se sitúa en el foco. A su vez, la antena puede dirigir las señales en un haz estrecho para la transmisión.

Antena parabólica

10.4 Faros

La parábola se emplea en la forma de los faros para ayudar a concentrar la luz en un haz potente y paralelo. Esto se debe a la propiedad de que cualquier rayo que sale de su foco se va a reflejar de manera paralela al eje. Por ello, si se coloca la bombilla en el foco de la parábola los faros dirigen la luz hacia delante sin dispersarla, maximizando el alcance y la intensidad de iluminación.

Faro

11 Bibiografía

Cortez, A. (2017) “Antena Parabólica: Información y Diseño (Calculos)”, Blogspot.com. Blogger, 8 octubre. Disponible en: https://tica970322.blogspot.com/2017/10/antena-parabolica-informacion-y-diseno.html (Consultado: el 3 de diciembre de 2025).

Danielson, D.A. (2003) Vectors and tensors in engineering and physics: Second edition. 2a ed. Filadelfia, PA, Estados Unidos de América: Westview Press.

iancEducacion - Aplicacion de las funciones cuadr�ticas (sin fecha) Ianceducacion.es.tl. Disponible en: https://ianceducacion.es.tl/Aplicacion-de-las-funciones-cuadr%E1ticas.htm (Consultado: el 3 de diciembre de 2025).

Parábolas de Estudio (sin fecha) Foto321.com. Disponible en: https://foto321.com/comprar/modificadores-de-luz/parabola/ (Consultado: el 3 de diciembre de 2025).

PRESA HOOVER: CONSTRUCCIÓN Y PATOLOGÍA DE UN ÍCONO DE LA INGENIERÍA (2022) 360 EN CONCRETO. Comunidad 360 En Concreto. Disponible en: https://360enconcreto.com/blog/detalle/presa-hoover-construccion-y-patologia-de-un-icono-de-la-ingenieria/ (Consultado: el 3 de diciembre de 2025).

Wikipedia contributors (sin fecha) Wikipedia, The Free Encyclopedia. Disponible en: https://www.google.com/url?sa=i&url=https%3A%2F%2Fes.wikipedia.org%2Fwiki%2FViaducto_de_Garabit&psig=AOvVaw062wnypAbGlVAOYyXPIzfR&ust=1764841573724000&source=images&cd=vfe&opi=89978449&ved=0CBUQjRxqFwoTCKiLxK2RoZEDFQAAAAAdAAAAABAE.