Diferencia entre revisiones de «Onda Longitudinal plana (Grupo 60)»

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(→‎Mallado del sólido)
 
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*Sandra Dragu Saraguro
 
*Sandra Dragu Saraguro
 
*Sebastián Taipe Alvarado
 
*Sebastián Taipe Alvarado
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*Angelina Nerea Chicaiza Chalén Nombres }}
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*Angelina Nerea Chicaiza Chalén }}
 
==Introducción==
 
==Introducción==
−
Una onda longitudinal plana se caracteriza por su modo de vibración, donde las partículas???
+
Una onda longitudinal plana es un tipo de onda mecánica que  se caracteriza por su modo de vibración, las partículas de un medio vibran y se desplazan en la misma dirección en la que se propaga la onda. Como resultado las partículas se agrupan más (se comprime el medio) o menos (se expande el medio) uniformemente a lo largo del medio.
  
 +
En este trabajo se estudia la propagación de la onda longitudinal plana en una placa, definida en el dominio rectangular <math>[0, 4]\times[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]</math>, cuando se le aplica una fuerza desde uno de sus extremos.
  
−
Se estudia una onda definida por los siguientes parámetros partiendo de la expresión general de una onda plana:  <math>\vec{u}(\vec{r}, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r} - ct)</math>
 
  
−
Particularizando para los valores:
+
Una onda plana está definida por la expresión general: <math>\vec{u}(\vec{r_0}, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r_0} - ct)</math>
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<math>\vec{a} = \frac{\vec{i}}{10}, \quad \vec{b} = \pi \vec{i}, \quad t = 0</math> , se obtiene el campo de desplazamientos de la onda longitudinal plana: <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math>  
+
  
−
Se estudia la propagación de la onda en un dominio rectangular <math>[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}] \times [0, 4]</math>.
+
Donde <math>\vec{r_0}(x,y)</math> es el vector posición de los puntos de la placa en reposo, <math>\vec{a}</math> es la amplitud de la onda, <math>\vec{b}</math> es el vector de propagación y <math>c</math> es la velocidad de propagación de la onda.
  
−
Además, se considera el campo de temperatura definido por: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>
+
Luego, ya conociendo las ecuaciones principales del movimiento, se considera el vector de posición de los puntos de la placa para cualquier momento del movimiento ondulatorio: <math>\vec{r}(x,y,t)= \vec{r_0}(x,y)+\vec{u}(x,y,t)</math>
  
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Particularizando para los valores:
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<math>\vec{a} = \frac{\vec{i}}{10}, \quad \vec{b} = \pi \vec{i}, \quad t = 0</math> , se obtiene el campo de desplazamientos de la onda longitudinal plana: <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math>
  
 +
Además, se define el campo de temperatura en la placa por la expresión: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>
  
−
Los objetivos principales de este estudio incluyen el cálculo de los operadores diferenciales fundamentales como el gradiente de temperatura ,la divergencia y el rotacional del campo de desplazamientos. Determinaremos el tensor de deformaciones y el de tensiones aplicando la teoría de elasticidad lineal.  
+
 
 +
Los objetivos principales de este estudio incluyen el cálculo de los operadores diferenciales fundamentales como el gradiente de temperatura ,la divergencia y el rotacional del campo de desplazamientos. Determinaremos el tensor de deformaciones y el de tensiones considerando que es un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo.  
 
Analizaremos las curva de nivel de temperatura y verificaremos la ortogonalidad del gradiente respecto a estas curvas. Además, identificaremos las zonas de la placa donde se concentran las mayores tensiones.
 
Analizaremos las curva de nivel de temperatura y verificaremos la ortogonalidad del gradiente respecto a estas curvas. Además, identificaremos las zonas de la placa donde se concentran las mayores tensiones.
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Como herramienta de cálculo y de representación se ha utilizado MATLAB.
  
 
==Mallado del sólido==
 
==Mallado del sólido==
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La gráfica muestra el mallado cuyo dominio rectangular es <math>[0, 4] \times [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]</math> , se ha generado un mallado con separación h= 0,1 en ambas direcciones. Para obtener la gráfica hemos utilizado el siguiente código en MATLAB.
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''' Mallado'''
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[[Archivo:cap6.png|center|1200px]]
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'''Código'''
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{{matlab|codigo=
 
{{matlab|codigo=
  
−
%Parámetros del dominio
+
%Parámetros del dominio y definición de los vectores
−
xmin=-0.5;
+
ymin=-0.5;
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xmax=0.5;
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ymax=0.5;
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ymin=0;
+
xmin=0;
−
ymax=4;
+
xmax=4;
 
h=0.1;
 
h=0.1;
  
−
% Definimos los vectores x, y en la región (xmin, xmax)x(ymin, ymax) con
 
−
% paso de muestreo h
 
 
x=xmin:h:xmax;
 
x=xmin:h:xmax;
 
y=ymin:h:ymax;
 
y=ymin:h:ymax;
  
−
%La instrucción meshgrid combina cada xi con yi formando parejas de
 
−
%puntos devolviendo dos matrices X, Y con las coordenadas xi en x y con las
 
−
%coordenadas yi en y
 
 
[X,Y]=meshgrid(x,y);
 
[X,Y]=meshgrid(x,y);
  
 
%Representación
 
%Representación
 
figure(1);
 
figure(1);
−
 
 
hold on
 
hold on
 +
 
plot(X,Y,'b-','LineWidth',1); %mallado vertical
 
plot(X,Y,'b-','LineWidth',1); %mallado vertical
 
plot(X',Y','b-','LineWidth',1); %mallado horizontal
 
plot(X',Y','b-','LineWidth',1); %mallado horizontal
 
plot(X,Y,'k.','MarkerSize',8); %puntos  
 
plot(X,Y,'k.','MarkerSize',8); %puntos  
−
axis equal; grid on; %ejes iguales; cuandrícula activada
+
axis equal; axis tight; grid on; %ejes iguales; cuandrícula activada
 
xlabel('x'); ylabel('y'); %nombres de los ejes
 
xlabel('x'); ylabel('y'); %nombres de los ejes
 
title('Mallado'); %título de la gráfica
 
title('Mallado'); %título de la gráfica
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==Campo de Temperatura==
 
==Campo de Temperatura==
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El campo de temperatura está definido por: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>
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 +
En la formula observamos que el campo solo depende de \(\theta \), esto significa que la temperatura varía con la orientación. A medida que aumenta \(\theta \), la temperatuta disminuye exponencialmente. Esto se observa muy bien en la siguiente representación.
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{| style="width:100%;"
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| style="width:50%; vertical-align:top;" |
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'''Representación del campo <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>'''
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[[Archivo:figure2_tight1.png|center|900px]]
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| style="width:50%; vertical-align:top;" |
 +
''' '''
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[[Archivo:Videogif.gif|center|300px]]
 +
|}
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{{matlab|codigo=
 +
 +
%Parámetros del dominio y definición de los vectores
 +
ymin=-0.5;
 +
ymax=0.5;
 +
xmin=0;
 +
xmax=4;
 +
h=0.1;
 +
 +
x=xmin:h:xmax;
 +
y=ymin:h:ymax;
 +
 +
[X,Y]=meshgrid(x,y);
 +
 +
%Pasamos las coordenadas cartesianas a polares
 +
rho= sqrt(X.^2+Y.^2);
 +
theta=atan2(Y,X);
 +
T=exp(-theta); %Función temperatura
 +
 +
%Representación
 +
figure(2);
 +
 +
pcolor(X, Y, T);
 +
shading interp;
 +
ylabel(colorbar, 'Temperatura');
 +
axis equal; axis tight; grid on;
 +
title('Campo de Temperatura T(rho, theta) = e^{-\theta}');
 +
xlabel('x'); ylabel('y');
 +
}}
 +
 
==Gradiente de Temperatura y Curvas de Nivel==
 
==Gradiente de Temperatura y Curvas de Nivel==
 +
La función de temperatura esta definida por: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>. Como esta en coordenadas polares debemos pasarlas a cartesianas para poder trabajar en MATLAB, usando, <math>x= \rho\cos\theta , \quad  y = \rho\sin\theta
 +
</math>
 +
 +
El gradiente de un campo escalar representa la dirección de mayor crecimiento de una función, además indica la rapidez de este crecimiento. El gradiente es ortogonal a las curvas de nível.
 +
 +
En coordenadas polares el gradiente se expresa de la siguiente forma:
 +
<math>
 +
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho}\,\mathbf{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial T}{\partial \theta}\,\mathbf{e}_{\theta}
 +
</math>
 +
 +
Como T depende únicamente de \(\theta \), derivando:  <math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = 0, \qquad
 +
\frac{\partial T}{\partial \theta} = -e^{-\theta} </math>
 +
 +
Entonces, el gradiente resulta: <math> \nabla T = -\frac{e^{-\theta}}{\rho}\,\mathbf{e}_\theta </math>
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 +
Las curvas de nivel son lineas donde la temperatura es constante.
 +
En este caso:    Si  <math> T= C = Cte </math> , entonces <math> e^{-\theta} = C </math>. Despejando \(\theta \) : <math> \theta = -\ln C </math>
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 +
Esto significa que para cada valor de temperatura C hay un único angulo \(\theta \) .Como \(\rho\) no aparece el la ecuación, la distancia al origen no influye en la temperatura, por lo que las curvas de nivel parten del origen.
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 +
[[Archivo:Gradientecurvas.png|center|1200px]]
 +
 +
{{matlab|codigo=
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 +
%Parámetros del dominio y definición de los vectores
 +
ymin=-0.5;
 +
ymax=0.5;
 +
xmin=0;
 +
xmax=4;
 +
h=0.1;
 +
 +
x=xmin:h:xmax;
 +
y=ymin:h:ymax;
 +
 +
[X,Y]=meshgrid(x,y);
 +
 +
%Pasamos las coordenadas cartesianas a polares
 +
rho= sqrt(X.^2+Y.^2);
 +
theta=atan2(Y,X);
 +
T=exp(-theta); %Función temperatura
 +
 +
%Cálculo numérico del gradiente de la temperatura
 +
[dTx,dTy] = gradient(T,h,h);
 +
 +
%Representación
 +
figure(3)
 +
[C, h_contour] = contourf(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 0.1 , 'Color', 'k');
 +
hold on
 +
colorbar;
 +
axis equal;grid on;
 +
quiver(X,Y,dTx,dTy,'MarkerSize',10,'color','r');
 +
 +
title('Gradiente de Temperatura y Curvas de Nivel');
 +
xlabel('x'); ylabel('y');
 +
 +
}}
 +
 
==Campo de Desplazamiento==
 
==Campo de Desplazamiento==
 +
 +
El campo de deslazamiento describe el movimiento que realiza cada punto de la placa, que debido a la onda, se propaga en el eje X.
 +
Se representa el mallado en azul y el campo vectorial desplazamiento en rojo.
 +
En este apartado, calcularemos y representaremos sobre el mallado de los puntos de la placa en reposo el campo vectorial desplazamiento <math>\vec{u}(\vec{r_0}, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r_0} - ct)</math>
 +
 +
En este caso, se procuce un desplazamiento periódico a lo largo de la placa. Para observar más claramente el campo desplazamiento, se adjunta una segunda imagen en la que se ha duplicado su módulo y ampliado la imagen.
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 +
 +
'''<math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math>'''
 +
 +
[[Archivo:cap7.png|center|1200px]]
 +
 +
{| style="width:100%;"
 +
| style="width:50%; vertical-align:top;" |
 +
'''Duplicando el módulo: <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{5} \vec{i}</math> '''
 +
 +
 +
 +
[[Archivo:Imagen_Campo_Desplazamientox2.png|center|600px]]
 +
 +
| style="width:50%; vertical-align:top;" |
 +
'''Código'''
 +
 +
{{matlab|codigo=
 +
 +
%Parámetros del dominio y definición de los vectores
 +
ymin=-0.5;
 +
ymax=0.5;
 +
xmin=0;
 +
xmax=4;
 +
h=0.1;
 +
 +
x=xmin:h:xmax;
 +
y=ymin:h:ymax;
 +
 +
[X,Y]=meshgrid(x,y);
 +
 +
Ux=cos(pi.*X)/10; % componente X del desplazamiento
 +
Uy=zeros(size(Ux)); % componente Y del desplazamiento
 +
 +
%Representación
 +
figure(4)
 +
hold on
 +
plot(X,Y,'b-','LineWidth',0.2); %mallado vertical
 +
plot(X',Y','b-','LineWidth',0.2); %mallado horizontal
 +
quiver(X,Y,Ux,Uy,0,'r','LineWidth',1);
 +
title('Campo desplazamiento');
 +
xlabel('x'); ylabel('y');
 +
axis equal;grid on;
 +
hold off
 +
 +
}}
 +
|}
 +
 +
 +
A continuación, se adjunta el código con el que se ha calculado y representado el campo desplazamiento y el mallado.
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 +
 +
Como se puede observar, las partículas "huirían" del entorno de las rectas <math>x=1.5 , x=3.5</math> para "reunirse" en el entorno de las rectas <math>x=0.5 , x=2.5</math>. En los siguientes apartados se sacarán más conclusiones sobre este movimiento, relacionados con este comentario.
 +
 
==Desplazamiento del sólido==
 
==Desplazamiento del sólido==
−
==Divergencia del campo de desplazamiento==
+
 
 +
Una vez calculado el campo desplazamiento, es interesante observar como ha afectado este movimiento a la placa. La mejor forma es analizando la posición de los puntos previa al desplazamiento y la posición después del desplazamiento.
 +
 
 +
La ecuación del vector posición de un punto es la siguiente <math>\vec{r}(x,y,t)= \vec{r_0}(x,y)+\vec{u}(x,y,t)</math>, como se comentó previamente en la Introducción.
 +
 
 +
En la segunda imagen se puede apreciar más claramente el desplazamiento de los puntos, ya que se ha duplicado el módulo del desplazamiento para una mejor visualización
 +
 
 +
 
 +
'''<math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math> '''
 +
 
 +
[[Archivo:CapAntes.png|center|1200px]]
 +
 
 +
'''Duplicando el módulo:  <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{5} \vec{i}</math> '''
 +
 
 +
[[Archivo:CapDespues.png|center|1200px]]
 +
 
 +
{{matlab|codigo=
 +
 
 +
%Parámetros del dominio y definición de los vectores
 +
ymin=-0.5;
 +
ymax=0.5;
 +
xmin=0;
 +
xmax=4;
 +
h=0.1;
 +
 
 +
x=xmin:h:xmax;
 +
y=ymin:h:ymax;
 +
 
 +
[X,Y]=meshgrid(x,y);
 +
 
 +
% Xn y Yn son las desplazadas
 +
Xn=X+Ux; Yn=Y+Uy;
 +
 
 +
figure(5)
 +
 
 +
%Representación antes del desplazamiento
 +
subplot(1,2,1)
 +
plot(X,Y,'.r','MarkerSize',8);
 +
title('Antes del desplazamiento');
 +
xlabel('x'); ylabel('y');
 +
grid on;axis equal;axis tight;
 +
 
 +
%Reprersentación después del desplazamiento
 +
 
 +
subplot(1,2,2)
 +
plot(Xn,Yn,'.r','MarkerSize',8);
 +
title('Después del desplazamiento');
 +
xlabel('x'); ylabel('y');
 +
grid on;axis equal; axis tight;
 +
 
 +
}}
 +
 
 +
Se puede apreciar lo comentado en el apartado anterior que con proximidad, se relacionará con el término divergencia.
 +
 
 +
==Divergencia y gradiente del campo de desplazamiento==
 +
 
 +
La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante a través de una superficie. Si el flujo es entrante entorno a un punto se dice que en ese punto hay un "sumidero" , en cambio, si el flujo es saliente, hablamos de una "fuente", por el comportamiento de las partículas alrededor de ese punto.
 +
Cuando el flujo es saliente, la divergencia es positiva, si es entrante, la divergencia es negativa. Además, cuánto mayor es el valor absoluto de la divergencia, más intensa es la acción de la fuente que "aleja" las partículas de su alrededor, o con la que el sumidero "absorbe" las partículas a su alrededor.
 +
 
 +
La siguiente es la fórmula de la divergencia
 +
<math>\nabla \cdot \vec{U} = \frac{\partial U_x}{\partial x} + \frac{\partial U_y}{\partial y} + \frac{\partial U_z}{\partial z}</math>
 +
 
 +
[[Archivo:cap5.png|center|1200px]]
 +
 
 +
El gradiente de un campo escalar es un vector que indica la dirección en la que la función experimenta un mayor incremento,  representando la tasa de variación máxima de la función en un punto. La magnitud del gradiente es la pendiente de la gráfica en esa dirección.
 +
 
 +
<math>\nabla u(x,y,z) = \frac{\partial u}{\partial x}\,\hat{i} + \frac{\partial u}{\partial y}\,\hat{j}</math>
 +
 
 +
[[Archivo:cap3.png|center|1200px]]
 +
 
 +
Los componentes del gradiente en coordenadas son los coeficientes de las variables presentes en la ecuación del espacio tangente al gráfico.
 +
 
 +
{{matlab|codigo=
 +
 
 +
%Parámetros del dominio y definición de los vectores
 +
ymin=-0.5;
 +
ymax=0.5;
 +
xmin=0;
 +
xmax=4;
 +
h=0.1;
 +
 
 +
x=xmin:h:xmax;
 +
y=ymin:h:ymax;
 +
 
 +
[X,Y]=meshgrid(x,y);
 +
 
 +
figure(6)
 +
 
 +
%Cálculo numérico del gradiente del desplazamiento
 +
[dUx,dUy] = gradient(Ux,h,h);
 +
 
 +
%Representación del campo gradiente del desplazamiento
 +
subplot(1,2,1)
 +
quiver(X, Y, dUx, dUy, 'r', 'LineWidth', 1);
 +
axis equal; grid on; axis tight;
 +
xlabel('x'); ylabel('y');
 +
title('Campo gradiente del desplazamiento U(x,y)');
 +
 
 +
%Representación de la divergencia
 +
subplot(1,2,2)
 +
div_U = divergence(X, Y, Ux, Uy);
 +
pcolor(X, Y, div_U);
 +
shading interp;
 +
colorbar;
 +
axis equal; grid on; axis tight;
 +
xlabel('x'); ylabel('y');
 +
title('Divergencia del campo de desplazamiento U(x,y)');
 +
}}
 +
 
 
==Rotacional del campo de desplazamiento==
 
==Rotacional del campo de desplazamiento==
 +
 +
El rotacional se calcula como: <math>
 +
\nabla \times \vec{u} =
 +
\begin{vmatrix}
 +
\mathbf{e}_x & \mathbf{e}_y & \mathbf{e}_z \\
 +
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
 +
u_x & u_y & u_z
 +
\end{vmatrix}
 +
= \mathbf{0}
 +
</math>
 +
 +
Particularizando con nuestro campo, tenemos: <math>
 +
u_x = \frac{\cos(\pi x)}{10}, \quad u_y = 0, \quad u_z = 0
 +
</math>
 +
 +
Entonces: <math> \nabla \times \vec{u} = \mathbf{0} </math>
 +
 +
Como estamos trabajando con una onda longitudinal plana, las partículas de esta onda no rotan alrededor de un punto, sino que se mueven en dirección de propagación. Al realizar los cálculos anteriores se confirma lo explicado, llegando a la conclusión de que el rotacional es cero, este campo no presenta giro.
 +
 
==Tensor de deformaciones==
 
==Tensor de deformaciones==
 +
{| style="width:100%;"
 +
 +
| style="width:60%; vertical-align:top;" |
 +
 +
La tensión es una medida de las fuerzas internas de las partículas de la placa a causa de la deformación provocada por el desplazamiento. Las tensiones normales corresponden a las componentes de la fuerza que actúan sobre ella de manera perpendicular a ella, en este caso, solo ocurren en dirección X.
 +
 +
El campo vectorial de desplazamiento es;  <math>\vec{u}(x, y) = u_x \vec{i} + u_y \vec{j} = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i} + 0 \vec{j}</math>
 +
 +
Si consideramos el Tensor Gradiente de el desplazamiento (∇u), calculadas a partir de sus derivadas parciales;
 +
 +
<math>\nabla \vec{u} = \begin{pmatrix} \frac{\partial u_x}{\partial x} & \frac{\partial u_x}{\partial y} \\ \frac{\partial u_y}{\partial x} & \frac{\partial u_y}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math>
 +
 +
Siguiendo la fórmula del Tensor de Deformaciones  <math> \epsilon(\vec{u})=\frac{1}{2}(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{t})</math> = <math>\epsilon = \begin{pmatrix} -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) & 0  \\ 0 & 0  \end{pmatrix}</math>
 +
 +
Considerando que el Tensor de Tensiones es; <math>\sigma=\lambda(\nabla\cdot\vec{u})\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math> y que los coeficientes de Lamé son:  <math> \quad \lambda = 1, \quad \mu = 1</math>
 +
 +
Si sustituimos los valores anteriores obtenemos como valor final σ;  <math>\sigma = \begin{pmatrix} -\frac{3\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x)  \end{pmatrix}</math>
 +
 +
Entonces tendremos que:
 +
 +
<math>\text{Dirección } \vec{i} (\sigma_{11}): \sigma_{\vec{i}\vec{i}} = \vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i} = \sigma_{11} = -\frac{3\pi}{10} \sin(\pi x).</math>
 +
 +
<math>\text{Dirección } \vec{j} (\sigma_{22}): \sigma_{\vec{j}\vec{j}} = \vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j} = \sigma_{22} = -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x).</math>
 +
 +
 +
| style="width:35%; vertical-align:top;" |
 +
 +
'''Tensiones normales en <math>\vec{i}</math>'''
 +
 +
[[Archivo:tensinormal.png|center|450px]]
 +
 +
'''Tensiones normales en <math>\vec{j}</math>'''
 +
 +
[[Archivo:tensjnormal.png|center|450px]]
 +
 +
|}
 +
 +
{{matlab|codigo=
 +
 +
%Parámetros del dominio y definición de los vectores
 +
ymin=-0.5;
 +
ymax=0.5;
 +
xmin=0;
 +
xmax=4;
 +
h=0.1;
 +
 +
x=xmin:h:xmax;
 +
y=ymin:h:ymax;
 +
 +
[X,Y]=meshgrid(x,y);
 +
 +
Sigma_11 = -(3*pi/10) * sin(pi * X); % Tensión normal en dirección i
 +
Sigma_22 = -(pi/10) * sin(pi * X);  % Tensión normal en dirección j (igual a la de k)
 +
 +
figure(8);
 +
subplot(1, 2, 1);
 +
pcolor(X, Y, Sigma_11);
 +
shading interp; colorbar;
 +
axis equal; grid on
 +
title('Tensión Normal en i');
 +
 +
subplot(1, 2, 2);
 +
pcolor(X, Y, Sigma_22);
 +
shading interp; colorbar;
 +
axis equal; grid on
 +
title('Tensión Normal en j');
 +
}}
 +
 
==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==
 
==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==
 +
Las tensiones tangenciales son aquellas que sus componentes de fuerza que actúan de forma paralela al plano, indican un corte o cizalla. Dado que en este caso lo estamos calculando con respecto a planos ortogonales a planos principales como el i, j o k da 0. En el caso que se tratara de algún plano con un ángulo distinto, este resultado no tiene por qué ser 0.
 +
 +
La magnitud de la tensión tangencial es:  <math>\left| \sigma \cdot \vec{i} - (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i} \right|</math>
 +
 +
<math>\mathbf{1. ~Tensión~ Total}~(\sigma \cdot \vec{i}): \quad \sigma \cdot \vec{i} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \sigma_{11} \vec{i}</math>
 +
 +
<math>\mathbf{2. ~Tensión~ Normal}~( (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i}): \quad (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i} = \sigma_{11} \vec{i}</math>
 +
 +
<math>\mathbf{3. ~Tensión~ Tangencial}: \quad (\sigma_{11} \vec{i}) - (\sigma_{11} \vec{i}) = \vec{0}</math>
 +
 
==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==
 
==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==
 +
En este caso, ocurre exactamente igual al plano ortogonal a i.
 +
La magnitud de la tensión tangencial es:  <math>\left| \sigma \cdot \vec{j} - (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j} \right|</math>
 +
 +
<math>\mathbf{1. ~Tensión~ Total}~(\sigma \cdot \vec{j}): \quad \sigma \cdot \vec{j} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \sigma_{22} \\ 0 \end{pmatrix} = \sigma_{22} \vec{j}</math>
 +
 +
<math>\mathbf{2. ~Tensión~ Normal}~( (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j}): \quad (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j} = \sigma_{22} \vec{j}</math>
 +
 +
<math>\mathbf{3. ~Tensión~ Tangencial}: \quad (\sigma_{22} \vec{j}) - (\sigma_{22} \vec{j}) = \vec{0}</math>
 +
 
==Masa de la placa==
 
==Masa de la placa==
−
==Aplicaciones en la ingenieria==
+
Para calcular la masa de la placa hay que tener en cuenta la fórmula para sacar la integral de un campo escalar <math>f</math> en a lo largo de una superficie <math>S</math>
 +
[[Archivo:Crecimiento_Densidad_LIGHT.gif|300px|thumb|Animación que muestra el desarrollo exponencial de la anomalía de densidad a lo largo del tiempo.]]
 +
 
 +
[[Archivo:Distribucion_Masa_Logaritmica.jpg|thumb|300px]]
 +
 
 +
<math>
 +
    \iint_{S} f dS = \iint_{D} f(\vec{r}(u,v)) \left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial u}(u,v) \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}(u,v) \right| dudv = \iint_{D} f(\vec{r}(u,v)) |\vec{r}_u \times \vec{r}_v| dudv
 +
</math>
 +
 
 +
Donde  <math>
 +
    \left| \vec{r}_u \times \vec{r}_v \right|
 +
</math>
 +
(también llamado Jacobiano) se trata de un factor de escala que cambia la medición de una región plana a una curva.
 +
 
 +
En este caso como el mallado se trata de una superficie plana, el jacobiano es constante, por lo que se le considera que es igual a 1.
 +
 
 +
Dicho esto se sustituye la formula con los datos que nos dan:
 +
 
 +
Campo escalar (densidad):<math>f(\rho, \theta) = 1+e^{\rho^2 \cos \theta}</math>
 +
 
 +
Jacobiano: 1
 +
 
 +
Superficie:<math>[0, 4]\times[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]</math>
 +
 
 +
Como la región de la placa está en cartesianas y el campo escalar densidad en polares, se cambia la expresión de la densidad para expresarla en cartesianas.
 +
Pero al dar la superficie en cartesianas, el campo tiene que cambiarse
 +
 
 +
Para cambiarlo se hace la siguiente conversión:
 +
 
 +
<math>
 +
    e^{\rho^2 \cos \theta} \longrightarrow e^{\rho^2 \frac{x}{\rho}} \longrightarrow e^{x \rho} \longrightarrow e^{x \sqrt{x^2+y^2}}</math>
 +
 
 +
Siendo la fórmula final
 +
 
 +
<math>
 +
    \text{masa} = \int_{0}^{4} \int_{-1/2}^{1/2} \left(1 + e^{x \sqrt{x^2 + y^2}}\right) \ dx dy</math>
 +
 
 +
Dando un resultado de 
 +
 
 +
<math>
 +
    \mathbf{\text{masa} \approx 1,199,011.7874}</math>
 +
 
 +
En la imagen se puede ver que cuanto más avanzan las párticulas de la placa en la dirección X, más aumenta de densidad.
 +
 
 +
{| style="width:100%;"
 +
| style="width:50%; vertical-align:top;" |
 +
'''Código'''
 +
{{matlab|codigo=
 +
%Definir la densidad d(x,y), función anónima
 +
 
 +
d = @(x,y) 1 + exp(x.*sqrt(x.^2 + y.^2));
 +
 
 +
%Calculamos la masa total con integral2
 +
M=integral2(d, 0, 4, -0.5, 0.5);
 +
 
 +
%Mostramos el resultado
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fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n', M);
 +
}}
 +
 
 +
==Aplicaciones en la Ingeniería==
 +
Para poder indagar más en este estudio es fundamental ver cómo se puede aplicar el modelo de las ondas longitudinales en el ámbito de la ingeniería. Para ello, se comentarán a continuación distintas aplicaciones en las que se utiliza el estudio de este tipo de ondas.
 +
 
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#'''Sismología:'''
 +
Las ondas P, si bien son menos destructivas que las de cizalla, al tener esfuerzos de compresión y tracción suponen un movimiento repetitivo y pueden provocar fatiga en las estructuras. Por ello, se han de estudiar bien las zonas sísmicas para considerar que este tipos de esfuerzos, tanto de cizalla y de compresión-tracción son más recurrentes. En segundo lugar, las ondas P se reciben antes en los sismógrafos y el periodo de tiempo de llegada entre las ondas S y P permite establecer una alerta sísmica temprana. Esto resulta muy eficiente para alertar antes de que lleguen los esfuerzos de cizalla (los más destructivos).
 +
 
 +
#'''Controles de calidad de materiales y de suelos:'''
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Mediante el estudio y el cálculo de las velocidades de propagación que alcanzan en el medio podemos establecer sus características. En materiales se puede controlar tanto si existen grietas, vacíos o fracturas en pilares, cimentaciones o estructuras ya hechas para comprobar si es necesario realizar algún mantenimiento en específico o no. En el caso particular de los suelos, la velocidad con la que los atraviesan permite evaluar lo rígido y compacto que es y, en general, las propiedades mecánicas que este tiene. Esto se utiliza especialmente para evitar cierto tipos de suelos que no son ideales para trabajar o si es necesario tratarlos previamente.
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#'''Evaluación de densidades'''
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La velocidad de las ondas P proporcionan información sobre la densidad del medio que se está evaluando y viceversa. Se establece que la velocidad es inversamente proporcional a la densidad del mismo, por esto mismo si en el estudio encontramos subidas o bajadas repentinas de velocidades indicará muy probablemente variaciones de la densidad. Esta información es útil para saber aquellas zonas que sean de mayor densidad o por la presencia de fluidos.
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<math>v_P = \sqrt{\frac{K + \frac{4}{3}\mu}{\rho}}</math>
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Siendo <math>K</math> el módulo de compresión y <math>μ</math> el módulo de cizalladura.
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{| style="width:50%; vertical-align:top;" |
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[[Archivo:tipos_de_suelos_y_sus_principales_caracteristicas_1645_600.jpg|center|300px]]
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|}
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 +
==Bibliografía y Herramientas==
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 +
* Higuera de Frutos, S., & Lantarón Sánchez, S. (2023). ''Programación y métodos numéricos para ingeniería con MATLAB y Octave''. Garceta Grupo Editorial.
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 +
* Universidad Politécnica de Madrid. (2014). ''Ayuda: Contenidos – MateWiki''. Recuperado de: https://mat.caminos.upm.es/wiki/Ayuda:Contenidos
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*MATLAB
 +
 
 +
*GeoGebra
 +
 
 +
*Sismología-Instituto Geográfico Nacional. Recuperado de: https://www.ign.es/web/sis-teoria-general
 +
 
 +
*''Estudio de la respuesta sísmica de edificios mediante la dinámica de propagación de ondas''. Astroza Eulufi, Rodrigo Renato. (2007) Recuperado de: https://repositorio.uchile.cl/handle/2250/102893
 +
==Poster==
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{| style="width:50%; vertical-align:top;" |
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[[ Archivo: poster1.jpg|center|750px]]|}
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[[Categoría:Teoría de Campos]]
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
 
[[Categoría:TC25/26]]
 
[[Categoría:TC25/26]]

Revisión actual del 02:31 7 dic 2025

Trabajo realizado por estudiantes
Título Onda longitudinal plana
Asignatura Teoría de Campos
Curso 2025-26
Autores
  • Paula Berrón Velasco
  • Valentina Alejandra Tapia Donaire
  • Sandra Dragu Saraguro
  • Sebastián Taipe Alvarado
  • Angelina Nerea Chicaiza Chalén
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

Una onda longitudinal plana es un tipo de onda mecánica que se caracteriza por su modo de vibración, las partículas de un medio vibran y se desplazan en la misma dirección en la que se propaga la onda. Como resultado las partículas se agrupan más (se comprime el medio) o menos (se expande el medio) uniformemente a lo largo del medio.

En este trabajo se estudia la propagación de la onda longitudinal plana en una placa, definida en el dominio rectangular [math][0, 4]\times[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}][/math], cuando se le aplica una fuerza desde uno de sus extremos.


Una onda plana está definida por la expresión general: [math]\vec{u}(\vec{r_0}, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r_0} - ct)[/math]

Donde [math]\vec{r_0}(x,y)[/math] es el vector posición de los puntos de la placa en reposo, [math]\vec{a}[/math] es la amplitud de la onda, [math]\vec{b}[/math] es el vector de propagación y [math]c[/math] es la velocidad de propagación de la onda.

Luego, ya conociendo las ecuaciones principales del movimiento, se considera el vector de posición de los puntos de la placa para cualquier momento del movimiento ondulatorio: [math]\vec{r}(x,y,t)= \vec{r_0}(x,y)+\vec{u}(x,y,t)[/math]

Particularizando para los valores: [math]\vec{a} = \frac{\vec{i}}{10}, \quad \vec{b} = \pi \vec{i}, \quad t = 0[/math] , se obtiene el campo de desplazamientos de la onda longitudinal plana: [math]\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}[/math]

Además, se define el campo de temperatura en la placa por la expresión: [math]T(\rho, \theta) = e^{-\theta}[/math]


Los objetivos principales de este estudio incluyen el cálculo de los operadores diferenciales fundamentales como el gradiente de temperatura ,la divergencia y el rotacional del campo de desplazamientos. Determinaremos el tensor de deformaciones y el de tensiones considerando que es un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo. Analizaremos las curva de nivel de temperatura y verificaremos la ortogonalidad del gradiente respecto a estas curvas. Además, identificaremos las zonas de la placa donde se concentran las mayores tensiones.

Como herramienta de cálculo y de representación se ha utilizado MATLAB.

2 Mallado del sólido

La gráfica muestra el mallado cuyo dominio rectangular es [math][0, 4] \times [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}][/math] , se ha generado un mallado con separación h= 0,1 en ambas direcciones. Para obtener la gráfica hemos utilizado el siguiente código en MATLAB.

Mallado

center


Código 

%Parámetros del dominio y definición de los vectores
ymin=-0.5;
ymax=0.5;
xmin=0;
xmax=4;
h=0.1;

x=xmin:h:xmax;
y=ymin:h:ymax;

[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Representación
figure(1);
hold on

plot(X,Y,'b-','LineWidth',1); %mallado vertical
plot(X',Y','b-','LineWidth',1); %mallado horizontal
plot(X,Y,'k.','MarkerSize',8); %puntos 
axis equal; axis tight; grid on; %ejes iguales; cuandrícula activada
xlabel('x'); ylabel('y'); %nombres de los ejes
title('Mallado'); %título de la gráfica

hold off


3 Campo de Temperatura

El campo de temperatura está definido por: [math]T(\rho, \theta) = e^{-\theta}[/math]

En la formula observamos que el campo solo depende de \(\theta \), esto significa que la temperatura varía con la orientación. A medida que aumenta \(\theta \), la temperatuta disminuye exponencialmente. Esto se observa muy bien en la siguiente representación.

Representación del campo [math]T(\rho, \theta) = e^{-\theta}[/math] center

center 

%Parámetros del dominio y definición de los vectores
ymin=-0.5;
ymax=0.5;
xmin=0;
xmax=4;
h=0.1;

x=xmin:h:xmax;
y=ymin:h:ymax;

[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Pasamos las coordenadas cartesianas a polares
rho= sqrt(X.^2+Y.^2); 
theta=atan2(Y,X);
T=exp(-theta); %Función temperatura

%Representación
figure(2);

pcolor(X, Y, T);
shading interp;
ylabel(colorbar, 'Temperatura'); 
axis equal; axis tight; grid on;
title('Campo de Temperatura T(rho, theta) = e^{-\theta}');
xlabel('x'); ylabel('y');


4 Gradiente de Temperatura y Curvas de Nivel

La función de temperatura esta definida por: [math]T(\rho, \theta) = e^{-\theta}[/math]. Como esta en coordenadas polares debemos pasarlas a cartesianas para poder trabajar en MATLAB, usando, [math]x= \rho\cos\theta , \quad y = \rho\sin\theta [/math]

El gradiente de un campo escalar representa la dirección de mayor crecimiento de una función, además indica la rapidez de este crecimiento. El gradiente es ortogonal a las curvas de nível.

En coordenadas polares el gradiente se expresa de la siguiente forma: [math] \nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho}\,\mathbf{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial T}{\partial \theta}\,\mathbf{e}_{\theta} [/math]

Como T depende únicamente de \(\theta \), derivando: [math] \frac{\partial T}{\partial \rho} = 0, \qquad \frac{\partial T}{\partial \theta} = -e^{-\theta} [/math]

Entonces, el gradiente resulta: [math] \nabla T = -\frac{e^{-\theta}}{\rho}\,\mathbf{e}_\theta [/math]

Las curvas de nivel son lineas donde la temperatura es constante. En este caso: Si [math] T= C = Cte [/math] , entonces [math] e^{-\theta} = C [/math]. Despejando \(\theta \) : [math] \theta = -\ln C [/math]

Esto significa que para cada valor de temperatura C hay un único angulo \(\theta \) .Como \(\rho\) no aparece el la ecuación, la distancia al origen no influye en la temperatura, por lo que las curvas de nivel parten del origen.

center 

%Parámetros del dominio y definición de los vectores
ymin=-0.5;
ymax=0.5;
xmin=0;
xmax=4;
h=0.1;

x=xmin:h:xmax;
y=ymin:h:ymax;

[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Pasamos las coordenadas cartesianas a polares
rho= sqrt(X.^2+Y.^2); 
theta=atan2(Y,X);
T=exp(-theta); %Función temperatura

%Cálculo numérico del gradiente de la temperatura
[dTx,dTy] = gradient(T,h,h);

%Representación
figure(3)
[C, h_contour] = contourf(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 0.1 , 'Color', 'k');
hold on
colorbar; 
axis equal;grid on;
quiver(X,Y,dTx,dTy,'MarkerSize',10,'color','r');

title('Gradiente de Temperatura y Curvas de Nivel');
xlabel('x'); ylabel('y');


5 Campo de Desplazamiento

El campo de deslazamiento describe el movimiento que realiza cada punto de la placa, que debido a la onda, se propaga en el eje X. Se representa el mallado en azul y el campo vectorial desplazamiento en rojo. En este apartado, calcularemos y representaremos sobre el mallado de los puntos de la placa en reposo el campo vectorial desplazamiento [math]\vec{u}(\vec{r_0}, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r_0} - ct)[/math]

En este caso, se procuce un desplazamiento periódico a lo largo de la placa. Para observar más claramente el campo desplazamiento, se adjunta una segunda imagen en la que se ha duplicado su módulo y ampliado la imagen.


[math]\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}[/math]

center

Duplicando el módulo: [math]\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{5} \vec{i}[/math]


center

Código 

%Parámetros del dominio y definición de los vectores
ymin=-0.5;
ymax=0.5;
xmin=0;
xmax=4;
h=0.1;

x=xmin:h:xmax;
y=ymin:h:ymax;

[X,Y]=meshgrid(x,y);

Ux=cos(pi.*X)/10; % componente X del desplazamiento
Uy=zeros(size(Ux)); % componente Y del desplazamiento

%Representación
figure(4)
hold on
plot(X,Y,'b-','LineWidth',0.2); %mallado vertical
plot(X',Y','b-','LineWidth',0.2); %mallado horizontal
quiver(X,Y,Ux,Uy,0,'r','LineWidth',1);
title('Campo desplazamiento');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;grid on;
hold off


A continuación, se adjunta el código con el que se ha calculado y representado el campo desplazamiento y el mallado.


Como se puede observar, las partículas "huirían" del entorno de las rectas [math]x=1.5 , x=3.5[/math] para "reunirse" en el entorno de las rectas [math]x=0.5 , x=2.5[/math]. En los siguientes apartados se sacarán más conclusiones sobre este movimiento, relacionados con este comentario.

6 Desplazamiento del sólido

Una vez calculado el campo desplazamiento, es interesante observar como ha afectado este movimiento a la placa. La mejor forma es analizando la posición de los puntos previa al desplazamiento y la posición después del desplazamiento.

La ecuación del vector posición de un punto es la siguiente [math]\vec{r}(x,y,t)= \vec{r_0}(x,y)+\vec{u}(x,y,t)[/math], como se comentó previamente en la Introducción.

En la segunda imagen se puede apreciar más claramente el desplazamiento de los puntos, ya que se ha duplicado el módulo del desplazamiento para una mejor visualización


[math]\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}[/math]

center

Duplicando el módulo: [math]\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{5} \vec{i}[/math]

center 

%Parámetros del dominio y definición de los vectores
ymin=-0.5;
ymax=0.5;
xmin=0;
xmax=4;
h=0.1;

x=xmin:h:xmax;
y=ymin:h:ymax;

[X,Y]=meshgrid(x,y);

% Xn y Yn son las desplazadas
Xn=X+Ux; Yn=Y+Uy;

figure(5)

%Representación antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
plot(X,Y,'.r','MarkerSize',8); 
title('Antes del desplazamiento');
xlabel('x'); ylabel('y');
grid on;axis equal;axis tight;

%Reprersentación después del desplazamiento

subplot(1,2,2)
plot(Xn,Yn,'.r','MarkerSize',8); 
title('Después del desplazamiento'); 
xlabel('x'); ylabel('y');
grid on;axis equal; axis tight;


Se puede apreciar lo comentado en el apartado anterior que con proximidad, se relacionará con el término divergencia.

7 Divergencia y gradiente del campo de desplazamiento

La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante a través de una superficie. Si el flujo es entrante entorno a un punto se dice que en ese punto hay un "sumidero" , en cambio, si el flujo es saliente, hablamos de una "fuente", por el comportamiento de las partículas alrededor de ese punto. Cuando el flujo es saliente, la divergencia es positiva, si es entrante, la divergencia es negativa. Además, cuánto mayor es el valor absoluto de la divergencia, más intensa es la acción de la fuente que "aleja" las partículas de su alrededor, o con la que el sumidero "absorbe" las partículas a su alrededor.

La siguiente es la fórmula de la divergencia [math]\nabla \cdot \vec{U} = \frac{\partial U_x}{\partial x} + \frac{\partial U_y}{\partial y} + \frac{\partial U_z}{\partial z}[/math]

center

El gradiente de un campo escalar es un vector que indica la dirección en la que la función experimenta un mayor incremento, representando la tasa de variación máxima de la función en un punto. La magnitud del gradiente es la pendiente de la gráfica en esa dirección.

[math]\nabla u(x,y,z) = \frac{\partial u}{\partial x}\,\hat{i} + \frac{\partial u}{\partial y}\,\hat{j}[/math]

center

Los componentes del gradiente en coordenadas son los coeficientes de las variables presentes en la ecuación del espacio tangente al gráfico. 

%Parámetros del dominio y definición de los vectores
ymin=-0.5;
ymax=0.5;
xmin=0;
xmax=4;
h=0.1;

x=xmin:h:xmax;
y=ymin:h:ymax;

[X,Y]=meshgrid(x,y);

figure(6)

%Cálculo numérico del gradiente del desplazamiento
[dUx,dUy] = gradient(Ux,h,h);

%Representación del campo gradiente del desplazamiento
subplot(1,2,1)
quiver(X, Y, dUx, dUy, 'r', 'LineWidth', 1);
axis equal; grid on; axis tight;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo gradiente del desplazamiento U(x,y)');

%Representación de la divergencia
subplot(1,2,2)
div_U = divergence(X, Y, Ux, Uy);
pcolor(X, Y, div_U);
shading interp;
colorbar;
axis equal; grid on; axis tight;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Divergencia del campo de desplazamiento U(x,y)');


8 Rotacional del campo de desplazamiento

El rotacional se calcula como: [math] \nabla \times \vec{u} = \begin{vmatrix} \mathbf{e}_x & \mathbf{e}_y & \mathbf{e}_z \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_x & u_y & u_z \end{vmatrix} = \mathbf{0} [/math]

Particularizando con nuestro campo, tenemos: [math] u_x = \frac{\cos(\pi x)}{10}, \quad u_y = 0, \quad u_z = 0 [/math]

Entonces: [math] \nabla \times \vec{u} = \mathbf{0} [/math]

Como estamos trabajando con una onda longitudinal plana, las partículas de esta onda no rotan alrededor de un punto, sino que se mueven en dirección de propagación. Al realizar los cálculos anteriores se confirma lo explicado, llegando a la conclusión de que el rotacional es cero, este campo no presenta giro.

9 Tensor de deformaciones

La tensión es una medida de las fuerzas internas de las partículas de la placa a causa de la deformación provocada por el desplazamiento. Las tensiones normales corresponden a las componentes de la fuerza que actúan sobre ella de manera perpendicular a ella, en este caso, solo ocurren en dirección X.

El campo vectorial de desplazamiento es; [math]\vec{u}(x, y) = u_x \vec{i} + u_y \vec{j} = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i} + 0 \vec{j}[/math]

Si consideramos el Tensor Gradiente de el desplazamiento (∇u), calculadas a partir de sus derivadas parciales;

[math]\nabla \vec{u} = \begin{pmatrix} \frac{\partial u_x}{\partial x} & \frac{\partial u_x}{\partial y} \\ \frac{\partial u_y}{\partial x} & \frac{\partial u_y}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}[/math]

Siguiendo la fórmula del Tensor de Deformaciones [math] \epsilon(\vec{u})=\frac{1}{2}(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{t})[/math] = [math]\epsilon = \begin{pmatrix} -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}[/math]

Considerando que el Tensor de Tensiones es; [math]\sigma=\lambda(\nabla\cdot\vec{u})\mathbf{I}+2\mu\epsilon[/math] y que los coeficientes de Lamé son: [math] \quad \lambda = 1, \quad \mu = 1[/math]

Si sustituimos los valores anteriores obtenemos como valor final σ; [math]\sigma = \begin{pmatrix} -\frac{3\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) \end{pmatrix}[/math]

Entonces tendremos que:

[math]\text{Dirección } \vec{i} (\sigma_{11}): \sigma_{\vec{i}\vec{i}} = \vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i} = \sigma_{11} = -\frac{3\pi}{10} \sin(\pi x).[/math]

[math]\text{Dirección } \vec{j} (\sigma_{22}): \sigma_{\vec{j}\vec{j}} = \vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j} = \sigma_{22} = -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x).[/math]


Tensiones normales en [math]\vec{i}[/math] 

center

Tensiones normales en [math]\vec{j}[/math] 

center

%Parámetros del dominio y definición de los vectores
ymin=-0.5;
ymax=0.5;
xmin=0;
xmax=4;
h=0.1;

x=xmin:h:xmax;
y=ymin:h:ymax;

[X,Y]=meshgrid(x,y);

Sigma_11 = -(3*pi/10) * sin(pi * X); % Tensión normal en dirección i
Sigma_22 = -(pi/10) * sin(pi * X);   % Tensión normal en dirección j (igual a la de k)

figure(8);
subplot(1, 2, 1);
pcolor(X, Y, Sigma_11);
shading interp; colorbar;
axis equal; grid on
title('Tensión Normal en i');

subplot(1, 2, 2);
pcolor(X, Y, Sigma_22);
shading interp; colorbar;
axis equal; grid on
title('Tensión Normal en j');


10 Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i

Las tensiones tangenciales son aquellas que sus componentes de fuerza que actúan de forma paralela al plano, indican un corte o cizalla. Dado que en este caso lo estamos calculando con respecto a planos ortogonales a planos principales como el i, j o k da 0. En el caso que se tratara de algún plano con un ángulo distinto, este resultado no tiene por qué ser 0.

La magnitud de la tensión tangencial es: [math]\left| \sigma \cdot \vec{i} - (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i} \right|[/math]

[math]\mathbf{1. ~Tensión~ Total}~(\sigma \cdot \vec{i}): \quad \sigma \cdot \vec{i} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \sigma_{11} \vec{i}[/math]

[math]\mathbf{2. ~Tensión~ Normal}~( (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i}): \quad (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i} = \sigma_{11} \vec{i}[/math]

[math]\mathbf{3. ~Tensión~ Tangencial}: \quad (\sigma_{11} \vec{i}) - (\sigma_{11} \vec{i}) = \vec{0}[/math]

11 Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j

En este caso, ocurre exactamente igual al plano ortogonal a i. La magnitud de la tensión tangencial es: [math]\left| \sigma \cdot \vec{j} - (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j} \right|[/math]

[math]\mathbf{1. ~Tensión~ Total}~(\sigma \cdot \vec{j}): \quad \sigma \cdot \vec{j} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \sigma_{22} \\ 0 \end{pmatrix} = \sigma_{22} \vec{j}[/math]

[math]\mathbf{2. ~Tensión~ Normal}~( (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j}): \quad (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j} = \sigma_{22} \vec{j}[/math]

[math]\mathbf{3. ~Tensión~ Tangencial}: \quad (\sigma_{22} \vec{j}) - (\sigma_{22} \vec{j}) = \vec{0}[/math]

12 Masa de la placa

Para calcular la masa de la placa hay que tener en cuenta la fórmula para sacar la integral de un campo escalar [math]f[/math] en a lo largo de una superficie [math]S[/math]

Animación que muestra el desarrollo exponencial de la anomalía de densidad a lo largo del tiempo.
Distribucion Masa Logaritmica.jpg

[math] \iint_{S} f dS = \iint_{D} f(\vec{r}(u,v)) \left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial u}(u,v) \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}(u,v) \right| dudv = \iint_{D} f(\vec{r}(u,v)) |\vec{r}_u \times \vec{r}_v| dudv [/math]

Donde [math] \left| \vec{r}_u \times \vec{r}_v \right| [/math] (también llamado Jacobiano) se trata de un factor de escala que cambia la medición de una región plana a una curva.

En este caso como el mallado se trata de una superficie plana, el jacobiano es constante, por lo que se le considera que es igual a 1.

Dicho esto se sustituye la formula con los datos que nos dan:

Campo escalar (densidad):[math]f(\rho, \theta) = 1+e^{\rho^2 \cos \theta}[/math]

Jacobiano: 1

Superficie:[math][0, 4]\times[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}][/math]

Como la región de la placa está en cartesianas y el campo escalar densidad en polares, se cambia la expresión de la densidad para expresarla en cartesianas. Pero al dar la superficie en cartesianas, el campo tiene que cambiarse

Para cambiarlo se hace la siguiente conversión:

[math] e^{\rho^2 \cos \theta} \longrightarrow e^{\rho^2 \frac{x}{\rho}} \longrightarrow e^{x \rho} \longrightarrow e^{x \sqrt{x^2+y^2}}[/math]

Siendo la fórmula final

[math] \text{masa} = \int_{0}^{4} \int_{-1/2}^{1/2} \left(1 + e^{x \sqrt{x^2 + y^2}}\right) \ dx dy[/math]

Dando un resultado de

[math] \mathbf{\text{masa} \approx 1,199,011.7874}[/math]

En la imagen se puede ver que cuanto más avanzan las párticulas de la placa en la dirección X, más aumenta de densidad.

Código 

%Definir la densidad d(x,y), función anónima

d = @(x,y) 1 + exp(x.*sqrt(x.^2 + y.^2));

%Calculamos la masa total con integral2
M=integral2(d, 0, 4, -0.5, 0.5);

%Mostramos el resultado
fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n', M);


13 Aplicaciones en la Ingeniería

Para poder indagar más en este estudio es fundamental ver cómo se puede aplicar el modelo de las ondas longitudinales en el ámbito de la ingeniería. Para ello, se comentarán a continuación distintas aplicaciones en las que se utiliza el estudio de este tipo de ondas.

  1. Sismología:

Las ondas P, si bien son menos destructivas que las de cizalla, al tener esfuerzos de compresión y tracción suponen un movimiento repetitivo y pueden provocar fatiga en las estructuras. Por ello, se han de estudiar bien las zonas sísmicas para considerar que este tipos de esfuerzos, tanto de cizalla y de compresión-tracción son más recurrentes. En segundo lugar, las ondas P se reciben antes en los sismógrafos y el periodo de tiempo de llegada entre las ondas S y P permite establecer una alerta sísmica temprana. Esto resulta muy eficiente para alertar antes de que lleguen los esfuerzos de cizalla (los más destructivos).

  1. Controles de calidad de materiales y de suelos:

Mediante el estudio y el cálculo de las velocidades de propagación que alcanzan en el medio podemos establecer sus características. En materiales se puede controlar tanto si existen grietas, vacíos o fracturas en pilares, cimentaciones o estructuras ya hechas para comprobar si es necesario realizar algún mantenimiento en específico o no. En el caso particular de los suelos, la velocidad con la que los atraviesan permite evaluar lo rígido y compacto que es y, en general, las propiedades mecánicas que este tiene. Esto se utiliza especialmente para evitar cierto tipos de suelos que no son ideales para trabajar o si es necesario tratarlos previamente.

  1. Evaluación de densidades

La velocidad de las ondas P proporcionan información sobre la densidad del medio que se está evaluando y viceversa. Se establece que la velocidad es inversamente proporcional a la densidad del mismo, por esto mismo si en el estudio encontramos subidas o bajadas repentinas de velocidades indicará muy probablemente variaciones de la densidad. Esta información es útil para saber aquellas zonas que sean de mayor densidad o por la presencia de fluidos.

[math]v_P = \sqrt{\frac{K + \frac{4}{3}\mu}{\rho}}[/math]

Siendo [math]K[/math] el módulo de compresión y [math]μ[/math] el módulo de cizalladura.

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14 Bibliografía y Herramientas

  • Higuera de Frutos, S., & Lantarón Sánchez, S. (2023). Programación y métodos numéricos para ingeniería con MATLAB y Octave. Garceta Grupo Editorial.
  • MATLAB
  • GeoGebra

15 Poster

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