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Revisión actual del 19:24 7 dic 2023

Bienvenido a MateWiki! Esperamos que contribuyas mucho y bien. Probablemente desearás leer las páginas de ayuda. Nuevamente, bienvenido y diviértete! Carlos Castro (discusión) 00:54 7 dic 2023 (CET)

1 7 CÁLCULO DEL ROTACIONAL Y LOS PUNTOS QUE MAS LA SUFREN

En este apartado buscamos calcular la rotación de los puntos del sólido en t=0. La ecuación general de la que queremos obtener la rotación es u(x, y) = asin(πk(d·r0(x, y))). sustituyendo a=1/3i,k=1, d=1/3j, conseguimos una ecuación final u(x, y) = 1/3 sin(π/3y)i, a esta ecuación final le aplicamos el rotacional. Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

[math] \mathbb (▽×u) = \; \begin{pmatrix}{\vec i} & {\vec j} &{\vec k}\\{∂/∂x} & {∂/∂y} & {∂/∂z}\\{ux} & {uy} & {uz}\\\end{pmatrix} [/math] =\begin{pmatrix}{\vec i} & {\vec j} & {\vec k}\\{∂/∂x} & {∂/∂y} & {∂/∂z}\\{1/3sin(π/3y)} & {0} & {0}\\\end{pmatrix}= -π/9cos(π/3y)k

Ahora introducimos el código:

y como visualizamos en el dibujo los puntos que sufren más rotacional son:

2 8TENSIONES NORMALES

En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula σ = λ∇·u1+2µ‽ (donde 1 es tensor identidad, λ y µ son coeficientes Lamé).

Calculamos ‽ como la parte simétrica del tensor gradiente de u. [math]\vec u[/math] como [math] ‽ (\vec u) = \frac{(\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t)}{2} [/math] siendo [math] \nabla \vec u = \frac{\delta u_i}{\delta x^j} \vec e_i \otimes \vec e_j =π/9cos(π/3y) \vec i \otimes \vec j [/math] y su transpuesto [math] \nabla \vec u^t = π/9 cos(π/3y) \vec j \otimes \vec i [/math].

Por lo tanto [math] \epsilon (\vec u) = (π/18cos(π/3y)\vec i \otimes \vec j + \vec j \otimes \vec i [/math]) = \begin{pmatrix} 0 & π18 cos(π/3y) & 0 \\ π/18 cos(π/3y)& 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

cogemos la ecuación dl principio σ = λ∇·u1+2µ‽ y sustituimos sabiendo que λ=μ =1 y como ∇⋅u=0 [math] \sigma = 2‽ = π/9 cos(π/3y) (\vec i \otimes \vec j + \vec j \otimes \vec i) [/math]

tensiones normales en la dirección de [math] \vec i[/math]

Las tensiones normales con respecto a [math] \vec i [/math] se definen como, [math] \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i [/math], resolviendolo [math]\sigma = 2‽ = π/9 cos(π/3y)(\vec i \otimes \vec j + \vec j \otimes \vec i) [/math]: [math] \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 [/math]

tensiones normales en la dirección de [math] \vec j[/math]

Las tensiones normales con respecto a [math] \vec j [/math] se definen como [math] \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j [/math], resolviendo con el tensor [math] \sigma = 2‽ = (π/9 cos(π/3y) (\vec i \otimes \vec j + \vec j \otimes \vec i) [/math]: [math] \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j = 0 [/math]

tensiones normales en la dirección de [math] \vec k[/math]