Diferencia entre revisiones de «Enunciado del trabajo 4»
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\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t). | \vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t). | ||
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| − | Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por | + | Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por: |
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\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}. | \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}. | ||
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# Calcular la <math>\nabla \cdot \vec u</math> en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. | # Calcular la <math>\nabla \cdot \vec u</math> en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. | ||
# Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional? | # Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional? | ||
| − | # Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula: | + | # Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula: |
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\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}, | \sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}, | ||
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| − | donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta</math>, es decir <math>\vec g_\theta \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta</math>. | + | donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math>. |
# Dibujar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math>, es decir <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>. ¿Donde son mayores? Compararlas con los puntos de mayor deformación de la malla. | # Dibujar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math>, es decir <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>. ¿Donde son mayores? Compararlas con los puntos de mayor deformación de la malla. | ||
| − | # Dibujar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta</math>, es decir <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta-(\vec g_\theta \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta) \vec g_\theta|</math>. ¿Donde son mayores? Compararla con los puntos de mayor deformación de la malla. | + | # Dibujar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>. ¿Donde son mayores? Compararla con los puntos de mayor deformación de la malla. |
[[Categoría:Teoría de Campos]] | [[Categoría:Teoría de Campos]] | ||
Revisión actual del 12:23 3 dic 2013
Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura [math]T(\rho,\theta,t)[/math], que depende de las dos coordenadas polares [math](\rho,\theta)[/math] y el tiempo [math]t[/math], y los desplazamientos [math]\vec u(\rho,\theta,t)[/math]. De esta forma, si definimos [math]r_0(\rho,\theta)[/math] el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto [math](\rho,\theta)[/math] de la placa en un instante de tiempo [math]t[/math] viene dada por: [math] \vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t). [/math] Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante [math]t_0[/math] vienen dados por: [math] \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}. [/math]
Se pide:
- Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido (ver figura). Tomar como paso de muestreo [math]h=1/10[/math] para las variables [math]x[/math] e [math]y[/math].
- La temperatura del sólido proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen. Supongamos que la conocemos y viene dada por [math]T(x,y)=e^{-y}[/math]. Dibujarla.
- Calcular [math]\nabla T[/math] y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que [math]\nabla T[/math] es ortogonal a dichas curvas.
- Consideramos ahora el campo de vectores [math]\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}[/math]. Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
- Si [math]\vec u[/math] determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido, dibujar el sólido antes y después del desplazamiento. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.
- Calcular la [math]\nabla \cdot \vec u[/math] en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.
- Calcular [math]|\nabla \times \vec u|[/math] en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?
- Definamos [math]\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2[/math], la parte simétrica del tensor gradiente de [math]\vec u[/math], que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones [math]\sigma_{ij}[/math] a través de la fórmula:
[math] \sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}, [/math] donde [math]\lambda[/math] y [math]\mu[/math] son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando [math]\lambda=\mu=1[/math], dibujar las tensiones normales en la dirección [math]\vec g_{\rho}[/math], es decir [math]\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho[/math] y las tensiones normales en la dirección [math]\vec g_\theta/\rho[/math], es decir [math]\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho[/math].
- Dibujar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a [math]\vec g_\rho[/math], es decir [math]|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|[/math]. ¿Donde son mayores? Compararlas con los puntos de mayor deformación de la malla.
- Dibujar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a [math]\vec g_\theta/\rho[/math], es decir [math]|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|[/math]. ¿Donde son mayores? Compararla con los puntos de mayor deformación de la malla.
