|
|
| (No se muestran 10 ediciones intermedias del mismo usuario) |
| Línea 1: |
Línea 1: |
| − | {{ TrabajoED | Modelos epidemiológicos. Grupo A11 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Nuestros nombres }}
| + | NOMBRE DEL ARTICULO ERRONEO. |
| | | | |
Deprecated: The each() function is deprecated. This message will be suppressed on further calls in /home/mat/public_html/w/includes/diff/DairikiDiff.php on line 434
| − | =PÁGINA EN CONSTRUCCIÓN=
| + | IR A https://mat.caminos.upm.es/wiki/Modelos_epidemiol%C3%B3gicos_(Grupo_11A) |
| − | | + | |
| − | = Exposición del problema =
| + | |
| − | | + | |
| − | En el desarrollo de una epidemia se distinguen dos tipos de individuos: los que ya han contraído la enfermedad o infectados I, y los que son susceptibles de contraerla por encontrarse en zona de riesgo S. Supongamos que se dan las siguientes hipótesis:
| + | |
| − | | + | |
| − | 1.'' La población de personas infectadas se altera por el fallecimiento o la cura de las mismas.En ambos casos, la tasa de cambio depende del número de personas infectadas.''
| + | |
| − | | + | |
| − | 2.'' La tasa de individuos que pasan de ser susceptibles a contraer la enfermedad a estar infectados es proporcional a la interacción entre el número de individuos en ambas clases.''
| + | |
| − | | + | |
| − | Consideramos las variables: t tiempo, S(t) población de individuos susceptibles a contraer la enfermedad, I(t) población de individuos infectados; y el sistema:
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | <math> dS/dt=-aSI
| + | |
| − |
| + | |
| − | dI/dt=aSI-bI-cI </math>
| + | |
| − | | + | |
| − | Donde: a, b y c son parámetros.
| + | |
| − | | + | |
| − | = Estudio de poblaciones mediante el método de Runge-Kutta =
| + | |
| − | | + | |
| − | 1.Realizaremos varias simulaciones con diferentes valores de las poblaciones iniciales de infectaos y susceptibles, el tiempo del estudio y el numero de intervalos.
| + | |
| − | 2. Tomamos los mismos valores de los parámetros que en el apartado anterior: a = 0.003, b = 0.3 y c = 0.01
| + | |
| − | | + | |
| − | 3. Los datos de poblaciones iniciales los nombraremos como 'S0' para los individuos susceptibles e 'I0' para los infectados. El tiempo de estudio lo indica la variable 'tN' y el paso la variable 'h'.
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | 4.Aplicamos el metodo Runge-Kutta y lo programamos en Octave UPM. Escribimos el código una sola vez. Para sacar todas las gráficas de los diferentes modelos solo hay que cambiar los valores de las poblaciones iniciales, tiempo y paso.
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | {{matlab|codigo=
| + | |
| − | clear all
| + | |
| − | | + | |
| − | %Valores del tiempo | + | |
| − | t0 = 0;
| + | |
| − | tN = 40;
| + | |
| − | h = 0.1;
| + | |
| − | N = round((tN-t0)/h);
| + | |
| − | t = t0:h:tN;
| + | |
| − | | + | |
| − | %Vectores que contendrán la solución | + | |
| − | S = zeros(1,N+1);
| + | |
| − | I = zeros(1,N+1);
| + | |
| − | | + | |
| − | %Valores iniciales
| + | |
| − | S(1) = 800;
| + | |
| − | I(1) = 20;
| + | |
| − | | + | |
| − | %Valores de los parámetros
| + | |
| − | a = 0.003;
| + | |
| − | b = 0.3;
| + | |
| − | c = 0.01;
| + | |
| − | | + | |
| − | %Bucle para sacar la componente i+1 de cada vector desde la primera hasta la N
| + | |
| − | for i = 1:N
| + | |
| − | | + | |
| − | K1 = -a*S(i)*I(i);
| + | |
| − | K2 = -a*S(i)*I(i) + 1/2*K1*h;
| + | |
| − | K3 = -a*S(i)*I(i) + 1/2*K2*h;
| + | |
| − | K4 = -a*S(i)*I(i) + K3*h;
| + | |
| − | S(i+1) = S(i) + h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
| + | |
| − | | + | |
| − | L1 = (a*S(i)*I(i)) -I(i)*(b+c);
| + | |
| − | L2 = (a*S(i)*I(i)) -I(i)*(b+c) + 1/2*L1*h;
| + | |
| − | L3 = (a*S(i)*I(i)) -I(i)*(b+c) + 1/2*L2*h;
| + | |
| − | L4 = (a*S(i)*I(i)) -I(i)*(b+c) + L3*h;
| + | |
| − | I(i+1) = I(i) + h/6*(L1+2*L2+2*L3+L4);
| + | |
| − | | + | |
| − | end
| + | |
| − | | + | |
| − | %Gráficas
| + | |
| − | hold on
| + | |
| − | plot (t,S,'-')
| + | |
| − | plot (t,I,'-r')
| + | |
| − | hold off
| + | |
| − | }}
| + | |
| − | --------------
| + | |
| − | ------grafica del codigo de arriba-------
| + | |
| − | ----------
| + | |
| − | ------grafica con poblaciones 10000,40--------
| + | |
| − | --------------
| + | |
| − | En esta grafica se observa que al aumentar mucho los valores de la población el metodo no funciona. Es obvio, por ejemplo, que no puede haber poblaciones negativas ni existir las variaciones que se muestran en la gráfica. Esto es debido a que el paso es demasiado grande y en el bucle al haber numeros grandes tambien en la operaciones dan un error que provoca resultados incorrectos. Para solucionar esto simplemente disminuimos el paso a h=0.01 para analizar una mayor cantidad de intervalos y la nueva grafica sale con la forma correcta. Añadimos también las graficas con pasos h=0.001 y h=0.0001 en --colores-- y vemos que no hay mucha variación entre ellas.
| + | |
| − | ---------------
| + | |
| − | -------gráfica arreglada + otros h-------
| + | |
| − | ----------------
| + | |
| − | Hacemos un tercer analisis variando de nuevo las poblaciones y el tiempo de estudio. En los casos anteriores toda la poblacion susceptible acababa infectada y posteriormente la poblacion infectada tambien llegaba a 0. En este caso vemos que el parametro 'a' que es el de contagio, junto con los datos de las poblaciones iniciales no consiguen que toda la poblacion susceptible sea infectada antes de que la poblacion infectada desaparezca; por lo que cuando esta desaparece la poblacion de susceptibles se mantiene constante.
| + | |
| − | --------------------
| + | |
| − | -------grafica con gente salvada----------
| + | |
| − | ---------------------
| + | |
| − | | + | |
| − | <gallery>
| + | |
| − | Archivo:Euler(700,1).jpeg|(s0,i0)=(700,1)
| + | |
| − | Archivo:Euler(5000,5).JPG|(s0,i0)=(5000,5)
| + | |
| − | </gallery>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | Utilizamos los metodos de Euler y Runge-Kutta porque son metodos explicitos, es decir, que para calcular el valor del termino 'i+i' solo se necesitan los valores de los términos 'i' anteriores. por el contrario, en los metodos implicitos para calcular el valor 'i+1' se necesitan los propios vaores 'i+1' lo que conlleva a despejar manualmente los parametros que se buscan, loq eu en muchos casos es complicado o incluso imposible.
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | [[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
| + | |
| − | [[Categoría:ED14/15]]
| + | |
| − | [[Categoría:Trabajos 2014-15]]
| + | |
