Diferencia entre revisiones de «Ecuacion de vigas»

Revisión actual del 22:59 19 may 2014

1 Ecuación de viga apoyada en ambos extremos

El trabajo a realizar consiste en el estudio de la deflexión de una viga apoyada en ambos extremos, de sección trasversal S, sometida al momento de unas fuerzas (Fi) aplicadas sobre esta. Entendemos como momento flector al producto de la fuerza por la distancia que hay entre la fuerza y el punto a estudiar.

Flexión de una viga al ser sometida a una fuerza F.

1.1 Flexión de una viga con sección constante sometida a momentos flectores

Suponemos que el eje de la viga va en la dirección del eje X, ocupando un intervalo [0,L] de forma que estudiaremos la deflexión de ésta en su eje perpendicular, eje Y.

Para estudiar dicha situación, la representamos por un problema de contorno que solucionamos mediante el método de diferencias finitas expuesto a continuación.

\[\left\{\begin{matrix}\ y=\frac{M(x)}{E I(x)}\ , & \\ y(0)=0 \ , \\ y(L)=0\ & \end{matrix}\right.\]

Cabe destacar que las condiciones de frontera son nulas debido a que la viga, como nos requiere el enunciado, está apoyada en sus extremos.

Como datos tenemos:

• El módulo de elasticidad (módulo de Young) que depende de las propiedades elásticas del material, y que en nuestro caso permanece constante

• Conocemos como I(x) el momento de inercia de la sección transversal S respecto al centro (cuadrado de lado a=0.5 metros).

• Finalmente disponemos del momento flector definido antes, M(x).

• Longitud de la viga (L=10 metros):

[math] L=10 \ ; \ E= 5*10^4 \ ; \ M(x)= L/2- | x- L/2 | \ ; \ I(x)= \frac {a*b^3}{12} [/math]

El código Matlab empleado para su estudio es :

%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0

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% datos generales
L=10;               % longitud viga
E=5E4;              % módulo de Young
a=0.5;              % altura sección rectangular
b=1-a;              % anchura sección rectangular
I=(1/12)*b*a^3;     % momento de inercia

% partición espacial
x0=0;xN=L;
N=50;dx=(xN-x0)/N;
x=x0:dx:xN;
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);

% f(x)
y0=0;yL=0;
M=L/2-abs(xi-L/2);
f=(M/(E*I))';       % vector columna
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);

% matriz K
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*KK;  

%solución
y=K\f;

y=[y0;y;yL];            % añadimos los valores del contorno
fle_max=-max(abs(y))


% dibujamos
figure(314)
plot(x,y)

Como se puede ver en la siguiente gráfica, el punto de mayor deflexión es en el centro de vano (x=5 m) y de valor absoluto 0.16013 en sentido negativo del eje.

Deflexión de la viga.

1.2 Flexión de viga dependiendo del valor del canto

A continuación hemos ido variando los datos iniciales de la sección trasversal de la viga de forma que el canto (a) toma valores del intervalo [0.1,0.9]. A su vez, el ancho de la viga también cambia de forma que b=1-a.

Con estos cambios, realizamos un estudio de diferentes secciones de la viga, tomando como condición que el volumen se mantenga constante, con la finalidad de determinar en cuál de ellos se sufre la menor deflexión y, a su vez, la flecha máxima de la mayor deflexión

Numéricamente, el código que exponemos a continuación nos resuelve este apartado:

%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0

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% partición espacial
L=10;               % longitud viga
x0=0;xN=L;
N=50;dx=(xN-x0)/N;
x=x0:dx:xN;
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);

% matriz K
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*KK;

% datos generales
E=5E4;              % módulo de Young
y0=0;yL=0;
M=L/2-abs(xi-L/2);

n=0;fle_max=zeros(1,9);
for a=0.1:0.1:0.9      % altura sección rectangular
    n=n+1;
    b=1-a;              % anchura sección rectangular
    I=(1/12)*b*a^3;     % momento de inercia
    
    % f(x)
    f=(M/(E*I))';       % vector columna
    f(1)=f(1)-y0/(dx^2);
    f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);
    
    %solución
    y=K\f;
    
    y=[y0;y;yL];            % añadimos los valores del contorno
    fle_max(n)=-max(abs(y));
    
    % el valor de x en el que se da la flecha máxima hay que calcularlo
    % es en L/2, claro
    
    % dibujamos
    figure(314)
    hold on
    plot(x,y)
end
 fle_max(n)=-max(abs(y))
hold off
figure(628)
plot(0.1:0.1:0.9,fle_max,'-or')

Finalmente tenemos como resultado gráfico la deflexión con cada medida de canto del intervalo.También obtenemos las flechas máximas para cada valor de a.

Deflexiones sufridas para las diferentes secciones.

Flechas máximas para las diferentes secciones.

Hemos deducido que la menor deflexión se produce con a=0.7 y b=0.3 con una flecha de 0.00973.

Por el contrario, la flecha máxima se obtiene con a=0.1 y b=0.9 con un valor de flecha de 1.112. Físicamente este fenómeno se explica debido a que a mayor canto de la viga menor deformación. Así, obligamos a que el canto de la sección trasversal de la viga sea lo más grande posible dentro del intervalo.

1.3 Flexión de una viga con sección cuadrada de lado variable sometida a momentos flectores

El problema que a continuación se expone es equivalente al anterior, con la modificación de que el lado de la sección pasa a ser variable y dependiente de x de forma que:

[math] a(x)=c*(x-L/2)^2 +d [/math]

siendo c y d parámetros que eligiendo adecuadamente nos permitirán obtener el diseño con menor deflexión.

Para obtener la relación entre estos valores tenemos en cuenta que la condición que se nos impone es que el volumen total de la viga tiene que ser constante y de valor igual al de la viga de sección cuadrada de lado a=0.5 metros.

[math] L*a^2=\int_{0}^{L} [c(x-L/2)^2+d]^2 dx[/math]

Necesitamos encontrar la relación entre los parámetros c y d siendo esta:

[math] d=\frac{c*L^2}{12} ± \sqrt{a^2-\frac{c^2*L^4}{180}} [/math]

El código que resuelve el problema es el que seguidamente aparece:

%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0

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% partición espacial
L=10;               % longitud viga
x0=0;xN=L;
N=50;dx=(xN-x0)/N;
x=x0:dx:xN;
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);

% matriz K
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*KK;

% datos generales
E=5E4;              % módulo de Young
y0=0;yL=0;
M=L/2-abs(xi-L/2);

n=0;
c0=-.025;cf=-0.005;
dc=0.0005;
for c=c0:dc:cf         
    n=n+1;
    d=-(c*L^2/12)+sqrt((.5)^2-c^2*L^4/180) 
    a=c*(xi-L/2).^2+d; 
    I=(1/12).*a.^4;     % momento de inercia
    
    % f(x)
    f=(M./(E*I))';       % vector columna
    f(1)=f(1)-y0/(dx^2);
    f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);
    
    %solución
    y=K\f;
    
    y=[y0;y;yL];            % añadimos los valores del contorno
    fle_max(n)=-max(abs(y));
     
    % dibujamos
    figure(100)
    hold on
    plot(x,y)
    hold on
    end
hold off
figure(200)
plot(c0:dc:cf ,fle_max,'-or')

figure(300) % perfil de la viga óptima
C=-0.0161
D=-(C*L^2/12)+sqrt((.5)^2-C^2*L^4/180)
A=C*(x-L/2).^2+D;
plot(x,A)

Como resultado obtenemos que c=-0.0161 y d=0.54028 son los valores correspondientes a la viga con menor deflexión.

Deflexiones de la viga para diferentes c y d.

2 Flexión de una viga encastrada con sección constante sometida a una carga

A continuación se presenta la situación de una viga encastrada en ambos extremos de ésta con la misma sección trasversal que en el problema inicial (sección cuadrada de lado a=b=0.5 metros). En este caso abordamos el problema con cuatro condiciones de frontera ya que la ecuación de la viga que se nos proporciona es de orden 4.

Respecto al problema inicial encontramos varias diferencias:

- La viga en cuestión deja de estar apoyada en ambos extremos y pasa a estar encastrada en ellos.

- La función deja de depender del momento flector y dependerá de la carga aplicada sobre ésta (W(x)).

Conservando los valores numéricos dados en el apartado 1 y siendo [math] \ W(x)= L/2- | x- L/2 | \ [/math] (dato) definimos el problema de contorno:

\[\left\{\begin{matrix}y'=\frac{-W(x)}{E I(x)}\ , & \\ y(0)=0 \ , \\ y(L)=0\ , & \\ y'(0)=0\ , \\ y'(L)=0\ , \end{matrix}\right.\]

Buscamos plantear el método de diferencias finitas para aproximar las soluciones del problema anterior. Para obtenerlo usamos las siguientes aproximaciones:

[math] y''''(x_j)=\frac{y(x_j-2)-4y(x_j-1)+6y(x_j)-4y(x_j+1)+y(x_j+2)}{h^4}+f(h^2)[/math]

[math] y'(x_0)=\frac{y(x_1)-y(x_-1)}{2h}+f(h^2)[/math]

[math] y'(x_N)=\frac{y(x_N+1)-y(x_N-1)}{2h}+f(h^2)[/math]

El código que hemos desarrollado para la evaluación de este ejercicio es el que aquí mostramos:

%%% y''''(x)=-w(x)/(EI)=g(x)=-f(x)
%%% y(0)=y'(0)=y(L)=y'(L)=0

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% datos generales
L=10;               % longitud viga
E=5E4;              % módulo de Young
a=0.5;              % altura sección rectangular
b=1-a;              % anchura sección rectangular
I=(1/12)*b*a^3;     % momento de inercia

% partición espacial
x0=0;xN=L;
N=10;dx=(xN-x0)/N;
x=x0:dx:xN;
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);

% g(x)
w=L/2-abs(xi-L/2);
g=-(w/(E*I))';       % vector columna


% matriz K
KK=6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2);
KK(1,1)=7;KK(N-1,N-1)=7;
K=(1/dx^4)*KK;  

%solución
y=K\g;

y=[0;y;0];            % añadimos los valores del contorno
fle_max=-max(abs(y))


% dibujamos
figure(314)
W=L/2-abs(x-L/2);
plot(x,W,'r',x,y,'b')

Al desarrollar el código numérico, calculamos el valor de mayor deflexión siendo este en valor absoluto 0.38064 y el punto en el que se alcanza es L/2=5.

Gráfica con la carga y la deflexión.

3 Flexión de una viga apoyada en sus extremos dependiendo del tiempo. Problema dinámico.

Consideramos ahora el problema dinámico. En este caso la deflexión de la viga depende también del tiempo y(x,t) quedando la ecuación:

[math]ρy_tt + EIy_xxxx = -w(x,t) [/math]

Siendo "p" la densidad de la viga que mantendremos constante y de valor la unidad. De esta forma nuestra ecuación final será:

[math] y_tt + EIy_xxxx = -w(x,t) [/math]

Al tratarse de un problema dependiente de 2 variables necesitamos dos condiciones iniciales [math] y(x,0)=y_0(x) \ ; \ y_t(x,0)=y_(x) [/math]

De esta forma planteamos el sistema de ecuaciones completo y su aproximación de diferencias finitas considerando el método del trapecio para resolver el problema en tiempo.

\[\left\{\begin{matrix}\ y=\ ky + b(t)\ , & \\ y(0)=y_0 \ , \\ y'(0)=z_0\ & \end{matrix}\right.\]

Tras realizar las derivaciones respecto al tiempo y respecto a x y despejando los valores conocidos nuestro sistema queda definido por:

[math] vec{y''}=k*vec{y} +vec{b(1)} [/math]

donde si tenemos en cuenta las condiciones iniciales resultaria: \[\left\{\begin{matrix}\vec{y}=k*\vec{y} +\vec{b(1)} \ , & \\\vec{y(0)}=\vec{y_0} \ , \\ \vec{y'(0)}=\vec{z_0}\ & \end{matrix}\right.\] Realizando el cambio de variable:

[math] \vec{y'}=\vec{z} [/math]

[math] \vec{z'}=k*\vec{y} +\vec{b} [/math]

Nuestro sistema final sobre el cual aplicaremos el método del trapecio es:

\[\left\{\begin{matrix} \vec{W'}= K*\vec{W} + \vec{B} \ , & \\ \vec{W(0)}=\vec{W_0} \ & \end{matrix}\right.\]

El código que a continuación mostramos nos permite calcular el sistema anteriomente mostrado siendo:

[math] y(0,t)=sin(\frac{8pix}{L}) [/math]

[math] y_t(0,t)=0 [/math]

Además nos permitirá obtener el comportamiento de y(x,t) en el punto x=0.5 en un intervalo de t [0,5]:

%%% (ro)ytt+EIyxxxx=-w(x)
%%% ytt+(EI/ro)yxxxx=-w(x)/ro=f(x)
%%% y(0,t)=y'(0,t)=y(L,t)=y'(L,t)=0
%%% y(x,0)=(1/3)*sin(8*pi*x/L); yt(x,0)=0

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% datos generales
L=10;               % longitud viga
E=5E4;              % módulo de Young
ro=1;               % densidad
a=0.5;              % altura sección rectangular
b=1-a;              % anchura sección rectangular
I=(1/12)*b*a^3;     % momento de inercia

% partición espacial
x0=0;xN=L;
N=100;dx=(xN-x0)/N;
x=x0:dx:xN;
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);

% condiciones iniciales
y0=((1/3)*sin(8*pi*xi/L))';      % y(x,0) // column vector
z0=zeros(1,length(xi))';        % yt(x,0) // column vector
W0=[y0;z0];

% f(x)=-w(x)/ro
w=1*(L/2-abs(xi-L/2));
f=-(w/ro)';         % vector columna

% matriz K
KK=6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2);
KK(1,1)=7;KK(N-1,N-1)=7;
K=-(E*I/ro)*(1/dx^4)*KK;  

% matriz Q=[O,I;K,O]
I=eye(N-1);O=zeros(N-1);
Q=[O,I;K,O];

% partición temporal
tM=5;M=100;dt=tM/M;t=0:dt:tM;

% theta=0(Euler),0.5(Crank-Nicholson),1(Euler implícito)
theta=1/2;  % Crank-Nicholson

% matriz P=inv(L)*R
I2=eye(2*(N-1)); 
L=I2-dt*theta*Q;
R=I2+dt*(1-theta)*Q;
% P=L\R;

% término B
B=[zeros(length(f),1);f];
% B=[zeros(length(f),1);zeros(length(f),1)];

% programa
W=zeros(2*(N-1),M+1);   
W(:,1)=W0;

for n=1:M
    W(:,n+1)=L\(R*W(:,n)+dt*B);  
end

Y=W(1:N-1,1:M+1);
Y0=zeros(1,M+1);
YN=zeros(1,M+1);
Y=[Y0;Y;YN];           

figure(100)     % gráfico y(x,t)
[X,T]=meshgrid(x,t);
figure(100)
surf(X,T,Y') 

figure(200)     % curva y(0.5,t)
xc=0.5;
plot(t,Y(round(xc/dx+1),:))

Obteniendo las siguientes gráficas:

Aproximación de y(x,t) con las condiciones iniciales anteriormente mostradas en el intervalo [0,5].

Comportamiento de y(x,t) en el punto x=0.5 en un intervalo de tiempo [0,5].